高等数学 期末复习题

期末复习,第7章 多元函数微分学及其应用(20%左右),3、会求空间曲面的切平面、法向量,4、会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数与函数在某一点的梯度,5、会用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值。,2、会求空间曲线的切线及法平面,1,1、熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的计算,例1,解,例2,解,例3 在曲面z = xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程,解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为,已知平面的法向量为n1=1，3，1，依题意应有nn1，即,故所求点为(3，1，3)，所求法线方程为,9,解,又因,所以,在M点的内法线方向为,例4,10,解,11,解,12,13,14,可得,即,15,第8章 重积分(20%左右),1、 会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次 积分,会交换积分次序,会适当选取坐标系来计算二重积分.,2、 会适当选取直角坐标（投影法、截面法）、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。,3、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。,(注意对称性的应用),16,1、交换积分次序,D1,D2,解,I,例题,17,解 积分区域如图所示。,18,解,解,4、计算,19,解,交线的投影为:,20,用截面法。,解,用球面坐标。,21,D,解,22,第9章 曲线积分、曲面积分(20%左右),1. 两类曲线积分的直接计算。,2. 掌握格林公式及其应用。,（注意第一类曲线对称性的应用),23,3. 掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当的路径来计算曲线积分,4、掌握两类曲面积分的直接计算。,5、会用高斯公式计算曲面积分。,6、散度、旋度的计算。,例题,解：,24,25,积分与路径无关，,逆时针方向。,解：,除原点外处处有,取L：4x2+y2=1,逆时针方向，则,或利用椭圆的参数方程直接计算。,27,(1) 已知,解：,又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以,于是 I = 12a。,L的长度为a，求,即3x2+4y2=12，所以,6、计算下列曲线积分,7、选择与填空,例题,解：Dxy ：x2+y2 2ax，,8、 计算 其中：锥面,被柱面x2+y2=2ax（a0）割下的部分,因为关于xoz面对称，xy+yz是y的奇函数，所以,解,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,无穷级数（20%左右）,1、 掌握正项级数敛散性的比值、根值、比较判别法。,3、掌握幂级数的收敛半径、收敛域及和函数的求法 ，理解Abel定理,2、 掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。,会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出收敛域。,麦克劳林展开式，,5、会将函数展开成以2为周期的傅立叶级数，会将定义在0， 上的函数展开成正弦、余弦级数，并写出收敛区间。,6、给定f (x)，会根据收敛定理求f (x)的傅里叶级数在x0处收敛于何值。,1、填空题,例题,2、 判断下列级数的敛散性,所给级数收敛。,则级数收敛。,3、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,解,所以,(2),解：,所以原级数不绝对收敛。,该级数发散。,所以原级数条件收敛。,4、 求和函数,解：余弦级数：将 进行偶延拓，则,将 进行奇延拓，则,复变函数（20%左右）,1、掌握复数的各种表示法及其基本运算：,(1).四则运算、乘方、开方,2、掌握复变函数利用C-R方程判别可导及解析性的方法，并求导数,3、掌握复变函数积分的各种方法：,(1).开路积分：,(2).闭路积分：,4、会将 内解析的函数展成洛朗级