江苏省苏州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题3：方程(组)和不等式(组).doc

2001-2012年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题3：方程（组）和不等式（组）锦元数学工作室 编辑1、 选择题1.（江苏省苏州市2002年3分） 某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程【 】 A. B. C. D. 【答案】A。【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的。关键描述语是：“提前4天完成任务”，等量关系为：原计划时间现在时间=4，根据等量关系列式：原计划用的时间为：，实际用的时间为：，所列方程为：，故选A。2.（江苏省苏州市2003年3分）不等式组的解集在数轴上表示应是【 】 A. B. C. D.【答案】A。【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，由第一个不等式得：x2，又x4，所以2x4。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。故选A。3.（江苏省苏州市2003年3分）为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务。则可以列出方程为【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】分析题意，本题的关键描述语是：提前5天完成了任务，所以等量关系为：原计划天数现在所用天数=5，根据等量关系列出方程：设原计划种树x棵，那么原计划天数为1200x，现在所用天数为：1200x40，所以可列方程：。故选A。4.（江苏省苏州市2004年3分）西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。改还后，林地面积和耕地面积共有180km2, 耕地面积是林地面积的25%。设改还后耕地面积为x km2 ，林地面积为ykm2,则下列方程组中，正确的是【 】 . . . 【答案】A。【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】林地面积和耕地面积共有180km2，则xy=180；耕地面积是林地面积的25%，即x是y的25%，所以x=25%y。则方程组中正确的是。故选A。5.（江苏省苏州市2004年3分）已知A=A0（1+mt）(m、A、A0均不为0)，则t=【 】. . 【答案】D。【考点】解一元一次方程。【分析】把t看作未知数，其他的都看作常数去解一元一次方程即可：原式可化为：，移项：得A，化系数为1得：。故选D。6.（江苏省苏州市2007年3分）方程组的解是 【 】A B C D 【答案】D。【考点】解二元一次方程组。【分析】本题解法有多种可用加减消元法解方程组；也可以将A、B、C、D四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程的左右两边相等的、的值即是方程组的解：两方程相加，得7=14，=2，把=2代入第一个方程，得32+7=9，。原方程组的解为。故选D。7.（江苏省苏州市2010年3分）方程组的解是【 】A B C D【答案】D。【考点】解二元一次方程组。【分析】因为，故选D。8.（江苏省苏州市2010年3分）下列四个说法中，正确的是【 】 A一元二次方程有实数根； B一元二次方程有实数根； C一元二次方程有实数根； D一元二次方程有实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的个数的判别方法，实数的大小比较。【分析】对于一元二次方程是否有实数根，只需将一元二次方程化为一般形式（， ），计算是否大于等于0。因此， A，。一元二次方程无实数根。B，。一元二次方程无实数根。C，。一元二次方程无实数根。D，。一元二次方程有实数根。故选D。9.（江苏省苏州市2011年3分）不等式组的所有整数解之和是【 】 A9 B12 C13 D15【答案】B。【考点】解一元一次不等式组。【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），得,其间所有整数解之和是34512。故选B。二、填空题1. （2001江苏苏州2分）方程组 的解是 。 【答案】。【考点】解二元一次方程组。【分析】。2. （2001江苏苏州2分）甲走12km的时间等于乙走15km的时间，乙比甲每小时多走1km，若设甲每小时走xkm，则可列方程 。 【答案】。【考点】分式方程的应用。【分析】由题意甲每小时走xkm，则乙每小时走x1km；甲走12km的时间为，乙走15km的时间为，由甲走12km的时间等于乙走15km的时间，得到方程：。3. （江苏省苏州市2002年2分）已知是方程的一个解，则 【答案】11。【考点】二元一次方程的解的定义。【分析】根据二元一次方程的解的定义，把方程的解代入方程即可得到关于的方程，解之即得的值：把代入方程，得，解得。4. （江苏省苏州市2007年3分）某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有 名。【答案】40。【考点】一元一次方程的应用。【分析】设参加美术活动的同学有x人，因为参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，所以参加体育活动的人有3x人，参加音乐活动的有2x人。又因240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，即三者的和是240人。根据这个相等关系，即可列方程求解：x+3x+2x=240，即6x=240，解得：x=40，即参加美术活动的同学有40名。5. （江苏省苏州市2008年3分）关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 【答案】m1。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】一元二次方程有实数根，由根的判别式方程0，根据建立关于m的不等式，即可m的取值范围：由题意知，=44m0，m1。6. （江苏省苏州市2008年3分）6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤。6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市 元 【答案】8。【考点】不等式的应用。【分析】依题意，设购买每只售价1元、2元和3元分别为只，为非负整数，则 ，即，。 （元）。7. （江苏省2009年3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元设人均年收入的平均增长率为，则可列方程 【答案】7800(1)29100。【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。【分析】由人均年收入的平均增长率为，2009年农民人均年收入为7800(1)，则2010年农民人均年收入为7800(1) (1) 7800(1)29100。8. （江苏省苏州市2010年3分）若代数式的值为2，则= 【答案】3。【考点】一元一次方程的解。【分析】根据代数式的值的概念，列出一元一次方程，解之得。9. （江苏省苏州市2010年3分）若一元二次方程的两个实数根分别是3、，则= 【答案】5。【考点】方程的解的定义，解一元二次方程。【分析】把代入方程得，解得，再将代入原方程，得，求出另一个根。10. （江苏省苏州市2011年3分）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 【答案】1。【考点】一元二次方程根与系数的关系，等量代换。【分析】a、b是一元二次方程的两个实数根，。 。三、解答题2. （2001江苏苏州5分）解不等式组：。【答案】解：解第一个不等式得：x；解第二个不等式得：x12。不等式组的解集是：12x。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。3. （2001江苏苏州5分）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且，求k的值。【答案】解：（1）证明：关于x的一元二次方程， =。2k2+80恒成立，不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。（2）x1、x2是方程的两个根，x1x2=，。 又 ，解得。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的根。【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使0恒成立。（2）欲求k的值，先表示出和x1x2=，代入数值计算即可。4. （2001江苏苏州6分）某园林的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。【答案】解：（1）直接买票可购买：8010=8（张）；12080，不够购买A类年票；可购买B类年票：（80-60）2=10（张）； 可购买C类年票：，即可买13张。综上所述，用80元花在该园林门票上，买C类年票次数最多，为13次。（2）设一年中进入该园林x次时，购买A类票比较合算，根据题意得： ，解得：x30。答：一年中进入该园林至少31次时，购买A类比较合算。【考点】一元一次不等式组的应用。【分析】（1）由题意可知：若直接买票可以买到8010=8张；若买A类票，则80120，买不到；若买B类票，则剩余80-60=20元，可以买到202=10张票；若买C类票，则剩余80-40=40元，可以买到40313张；所以用80元花在寺院门票上，买C类票次数最多。（2）设一年中进入该园林x次时，购买A类票比较合算，购买A类年票才比较合算说明购B和C票花的钱多余购A票花的钱，购B票花的钱为60+2x，购C票花的钱为40+3x，则60+2x120，40+3x120解得x的取值范围，即可确定x的值。5. （江苏省苏州市2002年5分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。【答案】解：去分母，得，去括号，得，原不等式的解集为。在数轴上表示为：【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。【分析】利用不等式的基本性质，先去分母、去括号，再移项、合并同类项即可求得原不等式的解集。不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。6. （江苏省苏州市2002年5分）解方程：【答案】解：设，则原方程可化为解之，得。当时，解之，得。当时，无意义，舍去。经检验，原方程的解为。【考点】换元法解无理方程。【分析】用换元法解方程，设，则原方程可化为关于的一元二次方程。先求，再求，结果需检验。7. （江苏省苏州市2002年6分） 已知关于的方程： （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根； （2）若这个方程的两个实根、满足，求的值及相应的、。【答案】解：（1）证明：， 无论为什么实数时，总有，即。 无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 （2），或。 若，则， 。 ，即。 这时，解得，。 若，则， 。，即。 这时，解得，。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式的值恒为正值即可。（2）由得，或。故分，和，分别讨论即可。8. （江苏省苏州市2002年6分）某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如下图： 一般货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港。已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离开水面的距离）。该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港。 根据题目中所给的条件，回答下列问题： （1）要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_m，卸货最多只能用_小时； （2）已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨。如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应工作几小时，才能交给乙队接着卸？【答案】解：（1）6：8。 （2）设甲队工作小时，才能交给乙队接着卸令，解得。 答：甲队至少应工作4小时。【考点】一元一次不等式的应用。【分析】（1）因为吃水深度为2.5m，即船底离开水面的距离2.5m，该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，这样出港时水深就不能少于2.5+3.5=6m。 从图中可知，15时之后水深即小于6m，故从上午7时在该港码头开始卸货，卸货最多只能用157=8小时。（2）设甲队至少应工作小时，才能交给乙队接着卸，依题意列出不等式，解不等式，取最小值即可。9.（江苏省苏州市2003年5分）解方程组：【答案】解：，2，得4x2y=8 ，得7x=21，x=3。把x=3代入，得6y=4，y=2。方程组的解为。【考点】解二元一次方程组【分析】先用加减消元法，再用代入消元法即可。10. （江苏省苏州市2003年6分）我国东南沿海某地区的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天。为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：日平均风速V（米/秒）日发电量A型发电机0（千瓦时）B型发电机0根据上面的数据回答：（1）若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为_千瓦时；（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元。该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦时，请你提供符合条件的购机方案。【答案】解：（1）。 （2）设购A型风力发电机台，则购B型风力发电机台， 根据题意，得，解得。 符合条件的购机方案有二个： 方案1：购A型风力发电机5台，购B型风力发电机5台； 方案2：购A型风力发电机6台，购B型风力发电机4台。【考点】一元一次不等式组的应用。【分析】（1）根据题意，有一台A型风力发电机一年的发电总量至少为60150（16060）36=12600千瓦时，所以x台A型风力发电机一年的发电总量至少为千瓦时。 （2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为： 购A型风力发电机的费用购B型风力发电机的费用“不超过”2.6万元 ； A型风力发电机每年的发电量B型风力发电机每年的发电量“不少于”102000千瓦时 其中一台B型风力发电机一年的发电总量至少为6090（16060）24=7800千瓦时。11. （江苏省苏州市2004年5分）解方程：。【答案】解：设，则。则原方程可化为：，即：，解得。当时，当时，。经检验，是原方程的根原方程的解为，。【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。【分析】观察方程可得与互为倒数，所以可采用换元法将方程转化。12. （江苏省苏州市2004年6分）已知关于x的一元二次方程 ax2+xa=0 ( a0 ) （1） 求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根;（2） 设x1、 x2是该方程的两个根，若，求a的值。【答案】解：（）证明：4a2，0 。 方程恒有两个不相等的实数根。设方程的两根为x1，x2, a0，x1x2= 方程恒有两个异号的实数根。（2），两边平方，得x1x20，即又，解得。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根，即证明一元二次方程的根的判别式=b24ac0，则方程有两个不相等的实数根，若两根之积小于0，则方程有两个异号的实数根。（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x1|+|x2|=4变形成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值。13. （江苏省苏州市2004年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表。印数a (单位：千册)1a55a10彩色 (单位：元/张)2.22.0黑白（单位：元/张）0.70.6（1）印制这批纪念册的制版费为 元；（2）若印制2千册，则共需多少费用？（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60 000元，求印数的取值范围。（精确到0。01千册）14. （江苏省苏州市2005年5分）解方程组：【答案】解：原方程组可化为，得，；得，。原方程组的解为。【考点】解二元一次方程组。【分析】先把方程组中的化简，利用加减消元法或者代入消元法求解即可。15. （江苏省苏州市2005年7分）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面亩，则年租金共需_元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益成本）；（3）李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？【答案】解：（1）500n。（2）每亩收益=41400+20160=8800，每亩成本=4（75+525）+20（15+85）+500=4900，每亩利润=88004900=3900。（3）设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元，则年内总成本为 4900n25000x，即x4900 n 25000 根据题意，有 将代入，得4900 n 2500025000， 即 n10.2。将代入，得 3508n33000，即 n9.4。 n10（亩）。x4900 10 2500024000（元）。李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元。【考点】一元一次不等式的应用【分析】（1）年租金=每亩水面的年租金亩数。（2）年利润=收益成本=（蟹苗收益虾苗收益）（蟹苗成本虾苗成本）水面年租金饲养总费用（3）设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元。依题意，有年内总成本为： 4900n25000x；向银行贷款不超过25000元：；年利润超过35000元：。解之即得所求。16. （江苏省苏州市2006年5分）解方程：【答案】解；原方程可化为解得经检验，原方程的解为。【考点】解分式方程，因式分解法解一元二次方程。【分析】本题的最简公分母是x（x2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。【也可用换元法设求解】17. （江苏省苏州市2007年5分）解不等式组：【答案】解：由，得0；由，得3原不等式组的解集为03。【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。18. （江苏省苏州市2007年6分）解方程：【答案】解：原方程可化为，。解得 。经检验，是原方程的根。原方程的解为。【考点】解分式方程。【分析】本题的最简公分母是方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解，结果需检验。也可用换元法，设求解。19. （江苏省苏州市2008年5分）解方程：【答案】解：设，则原方程可化为，即。 。 当，即，解得； 当，即，解得。 经检验，是原方程的根。 原方程的解为，。【考点】换元法解分式方程，因式分解法解一元二次方程。【分析】观察方程由方程特点设，则原方程可化为，应用因式分解法解之，然后代求解，注意分式方程的验根。20. （江苏省苏州市2008年6分） 解不等式组：，并判断是否满足该不等式组。【答案】解：由（1）得：x3，由（2）得：x1。原不等式组的解集是：3x1。，。又，31。满足该不等式组。【考点】解一元一次不等式组，估算无理数的大小。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。最后利用无理数的估算即可解决问题。21. （江苏省2009年8分）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程【答案】解： 解法一问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解：设普通公路长为km，高度公路长为km。根据题意，得，解得。答：普通公路长为60km，高速公路长为120km。解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了h，高速公路上行驶了h。根据题意，得，解得