高中数学第1章直线多边形圆1.1.4平行线分线段成比例定理学案北师大版.docx

1.4平行线分线段成比例定理1.理解平行线分线段成比例定理及其推论.2.理解三角形内角平分线定理.3.能利用平行线分线段成比例定理及三角形内角平分线定理证明比例式或求值.基础初探教材整理1平行线分线段成比例定理(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例.(2)符号语言表示：如图1123，若l1l2l3，则.图11231.如图1124，已知DEBC，则下列比例式成立的是()图1124A. B. C. D.【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，.【答案】C2.如图1125所示，已知AABBCC，ABBC13，那么下列等式成立的是()图1125A.AB2ABB.3ABBCC.BCBCD.ABAB【解析】根据平行线分线段成比例定理知，3ABBC.【答案】B教材整理2平行线分线段成比例定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例.(2)符号语言表示：如图1126，若l1l2l3，则.图11263.如图1127，已知，DEBC，则等于()图1127A. B.C.D.【解析】DEBC，.，.又，.【答案】C教材整理3三角形内角平分线定理(1)定理的内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.(2)符号语言表示：如图1128，AD为BAC的平分线，则.图11284.在ABC中，若AB3，AC5，BAC的平分线交BC于D，则_.【解析】根据三角形内角平分线定理知，.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型平行线分线段成比例定理如图1129所示，已知l1l2l3，.求证：.图1129【精彩点拨】根据平行线分线段成比例定理，寻求与的关系，再用合比性质证明.【自主解答】l1l2l3，.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明.首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式.在计算或几何证明的同时，注意等比性质、合比性质等的运用.再练一题1.如图1130所示，已知：abc，那么下列结论中错误的是()图1130A.由ABBC，可得FGGHB.由ABBC，可得OBOGC.由CE2CD，可得CA2BCD.由GHFH，可得CDDE【解析】选项正误原因分析Aabc，由定理知，若ABBC，则FGGHB由于OB，OG不是一条直线被平行线组截得的线段，因此OBOG是错误的CCE2CD，CDDE，由定理，知CBBA，CA2BCDGHFH，FGGH，由定理，知CDDE【答案】B平行线分线段成比例定理的推论如图1131，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB延长线于N，若AE2，AD6.求AFAC的值.图1131【精彩点拨】由ADBC，AMMB推出AEBN可得AFAC的值.【自主解答】ADBC，AMMB，.1，AEBN.AE2，BCAD6，即AFAC15.1.解答本题时，根据题意寻找使用平行线分线段成比例定理的推论的条件是解题的关键.2.运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值.应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等.再练一题2.如图1132，已知AECFDG，ABBCCD123，CF12 cm，求AE，DG的长. 【导学号：96990004】图1132【解】AECF，AECF，ABBC12，CF12 cm，AE126(cm)，CFDG，.，DGCF1230(cm).三角形内角平分线定理如图1133所示，在ABC中，AD平分BAC，E为底边BC上的任意一点，过E作与AD平行的直线，分别交直线AB，CA于F，G，求证：.图1133【精彩点拨】在三角形中，只要存在内角平分线，要考虑三角形内角平分线定理的应用.【自主解答】EFAD，.又AD平分BAC，.即，.ADEG，.解题时注意角平分线定理与平行线分线段成比例定理的综合应用，关键是寻找由公共边构成的比例关系.再练一题3.如图1134所示，CD是ACB的角平分线，DECB，BC2，AC3，则DE_.图1134【解析】CD平分ACB，.又DECB，DE.【答案】综合应用如图1135所示，在四边形ABCD中，AC，BD交于O，过O作AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K.图1135求证：KO2KEKF.【精彩点拨】延长CK，BA，设它们交于点H，则图形中出现两个基本图形，将，进行转换而找到中间比.【自主解答】延长CK，BA，设它们交于点H.KOHB，.，即.KFHB，同理可得.，即KO2KEKF.本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到与的中间比，使问题得以突破，也可以由两个基本图形直接得到，.再练一题4.已知：如图1136，点E是ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2OEOF.图1136【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ADBC.由ABCE，得.由AFBC，得.所以(等量代换).即OB2OEOF.探究共研型平行线分线段成比例定理及其推论探究1怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】(1)它包括以下三种基本图形(DE为截线)，如下图.习惯上称图a与c为“A”型.称图b为“X”型.(2)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.探究2如何构造利用平行线分线段成比例定理的条件？【提示】在已有三条(或三条以上)平行线时，可作直线与这些平行直线都相交；在三角形中作边的平行线或在梯形中作两底的平行线等.这些线的作出并非随意，而是根据题目的具体条件和要求而定.如图1137，在ABC中，CDAB于D，E为BC中点，延长AC，DE相交于点F，求证：.图1137【精彩点拨】由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证.【自主解答】作EHAB交AC于点H，则，.同理：，.BDC为直角三角形，且E为BC边中点，BECEDE.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究.有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的.再练一题5.已知ADEFBC，点E，F分别在AB，CD上，AEBE23，AD10 cm，BC15 cm，求EF的长.【解】法一：如图(1)，连接BD交EF于点G.(1)(2)，.ADEFBC，.BC15 cm，GF6 cm.同理可得EG6 cm.EFEGGF12 cm.法二：如图(2)，过点D作DHAB交EF于点G，交BC于点H.ADEF，DHAB，四边形AEGD是平行四边形.EGAD10 cm.同理可得BH10 cm.又BC15 cm，HC5 cm.ADEFBC，.又HC5 cm，GF2 cm，EFEGGF12 cm.构建体系1.如图1138，D、E、F分别在AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC，则以下比例成立的是()图1138A.B.C.D.【解析】DEBC，.又DFAC，.由知，即.【答案】D2.如图1139所示，在ABC中，AB3，AC4，BC5，AD平分BAC，则BD的值是()【导学号：96990005】图1139A. B.C.D.【解析】AD平分BAC，即，BD.【答案】B3.如图1140，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则为()图1140A. B.1C.D.【解析】ADBM，.又DCAN，.，1.【答案】B4.如图114