函数恒成立存在性及有解问题

函数恒成立存在性问题精品资料知识点梳理1 、恒成立问题的转化：afx恒成立afx2 、能成立问题的转化：afx能成立afxmax ； afx恒成立afxminmin； afx能成立afxafxmax在m 上恒成立3 、恰成立问题的转化：afx 在 m 上恰成立afx 的解集为mafx在cr m 上恒成立另一转化方法：若xd, f(x)a 在 d 上恰成立，等价于f (x)在 d 上的最小值f min ( x)a ，若xd,f (x)b 在 d 上恰成立，则等价于f (x)在 d 上的最大值f max (x)b .4 、设函数fx 、 g x，对任意的x1a , b，存在 x2c , d，使得f x1g x2，则 f minxg minx5 、设函数fx 、 g x，对任意的x1a , b，存在 x2c , d，使得f x1g x2 ，则fmaxxg maxx6 、设函数7 、设函数f x 、 g x fx 、 g x，存在 x1，存在 x1a , ba , b，存在 x2，存在 x2c , dc , d，使得fx1，使得fx1g x2g x2，则 f max x，则 f min xgminxg max x8 、若不等式fxgx在区间 d 上恒成立，则等价于在区间d 上函数 yfx和图象在函数ygx图象上方；9 、若不等式fxgx在区间 d 上恒成立，则等价于在区间d 上函数 yfx和图象在函数ygx图象下方；例题讲解：题型一、常见方法2a1 、已知函数f ( x)x2ax1 ， g( x)，其中 ax0 ， x0 1） ）对任意x1,2，都有f ( x)g ( x)恒成立，求实数a 的取值范围；2） ）对任意x11,2, x22,4 ，都有f ( x1 )g( x2 ) 恒成立，求实数a 的取值范围；2 、设函数h( x)axxb ，对任意 a1,22，都有h( x)10 在 x1,1 恒成立，求实数b 的取值范围43 、已知两函数f (x)2x， g( x)x11m ，对任意x20,2，存在 x21,2，使得f (x1 )g x2，则实数 m 的取值范围为题型二、主参换位法( 已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1 、对于满足p2 的所有实数p, 求使不等式x2px1p2x 恒成立的x 的取值范围。2 、已知函数f ( x)ln( exa)( a为常数） 是实数集r上的奇函数，函数g xf ( x)sin x 是区间1,1 上的减函数，( )求 a 的值； ()若g( x)t 2t1在x1,1 上恒成立，求t 的取值范围；题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1 、当 x1,2时，不等式x2mx40 恒成立，则m 的取值范围是.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1 、若对任意xr,不等式 | x |ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 2 、已知函数fxx22kx2 ，在 x1 恒有 fxk ，求实数 k 的取值范围。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间d 上存在实数x 使不等式fxa 成立 ,则等价于在区间d 上fx maxa；2若在区间d 上存在实数x 使不等式fxb 成立 ,则等价于在区间d 上的fxb .min1 、存在实数x ，使得不等式x3x1a 3a 有解，则实数a 的取值范围为 。2 、已知函数fxln x1 ax222 xa0存在单调递减区间，求a 的取值范围小结：恒成立与有解的区别fxmfxmfxmfxm恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式对 xi 时恒成立fmax ( x)m?， xi 。即 fx 的上界小于或等于m ；不等式对 xi 时有解f min ( x)m?， xi 。 或 fx的下界小于或等于m ；不等式对 xi 时恒成立fmin ( x)m?， xi 。即 fx 的下界大于或等于m ；不等式课后作业：对 xi 时有解f max ( x)m ， xi . 。 或 fx 的上界大于或等于m ；1 、设 a1，若对于任意的x a,2 a ，都有 ya, a2 满足方程 logxlog a y3 ，这时 a 的取值集合为 （）a（ a ） a |1a2xy（ b ） a | a20（ c ） a | 2a3（ d） 2,32 、若任意满足xy50 的实数x , y ，不等式a( x2y2 )( xy) 2 恒成立，则实数a 的最大值是 .y303 、不等式2sin x4sin x1a0 有解，则 a 的取值范围是4 、不等式axx 4x在 x0,3内恒成立，求实数a 的取值范围。5 、已知两函数fx7x 228xc ， g x2x34x240 x 。（ 1 ）对任意 x3,3，都有fxg x)成立，求实数c 的取值范围；（ 2 ）存在 x3,3，使 fxg x 成立，求实数c 的取值范围；（ 3 ）对任意x1 , x23,3，都有f x1g x2，求实数 c 的取值范围；（ 4 ）存在x1 , x23,3，都有f x1g x2，求实数 c 的取值范围；13226 、设函数f ( x)x2ax33a xb (0a1,b r) .（）求函数 fx 的单调区间和极值；（）若对任意的x a1, a2, 不等式fxa 成立，求a 的取值范围。7 、已知 a 、b、c 是直线上的三点，向量 ， ， 满足： oay2f1obln x1oc0 .（ 1 ）求函数y f(x) 的表达式；2x（ 2 ）若 x 0 ，证明： f(x) x 2 ；oaoboc12（ 3 ）若不等式x2f x 2m 22bm3 时， x1 ,1 及 b1 , 1都恒成立，求实数m 的取值范围8 、设 f xqpx2 ln x ，且 f e xpqe2 （ e 为自然对数的底数）e(i) 求 p 与 q 的关系；(ii) 若 f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；(iii) 设 g x2e，若在x1 , e上至少存在一点x 0 ，使得 f x 0g x 0成立 , 求实数p 的取值范围 .函数专题 4 ：恒成立问题参考答案：题型一、常见方法1 、分析： 1 ）思路、等价转化为函数f(x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决2）思路、对在不同区间内的两个函数f (x) 和3g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x)3gmax(x)即可2简解：（ 1 ）由 x2ax1a0xax2 x 2x成立，只需满足1(x)x 2 x2x 的最小值大于a 即可对1( x)x32 x 2x求导，12( x)2x4(2x 2x 211) 20 ，故( x) 在 x1,2是增函数，min(x)(1)2 ，所以 a 的3取值范围是0a32 、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值，h( x)10hmax ( x) a10 ；2方法 2：变量分离，b10(x1x) 或 ax(10b)x ；1方法 3：变更主元，(a)axb10xa0 ， a,22a (xa)(xa)简解：方法1: 对 h( x)g( x)xbxb 求导，xh (x)122，xx由此可知，1h(x)1在,141上的最大值为39h( 1 ) 与 h(1) 中的较大者4h( )1044ab104b4a4，对于任意a 1 ,2，得 b 的取值范围是b 7 h(1)101ab10b9a24x3 、解析：对任意x10,2，存在x21,2，使得f ( x1 )g x2等价于g( x)12m 在 1,2上的最小值1m 不大于4f ( x)x2 在0,21上的最小值0，既m 40 ，m14题型二、主参换位法( 已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1 、解：不等式即x1 px22x10 ,设fpx1 px22x1 ，则 fp在-2,2 上恒大于0 ，故f20有：f20x24x30x210x3或x1xx1或x11或 x32 、 ( ) 分析：在不等式中出现了两个字母：及 t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在, 1 内 关于的一次函数大于等于0 恒成立的问题。()略解：由()知：f ( x)x ，g( x)xsin x ，g( x) 在1，1上单调递减，g ( x)cosx0cos x 在1，1上恒成立，1， g( x)22maxg ( 1)sin1 ，只需sin1t 2t1 ，(t1)tsin110 （其中1 ）恒成立，由上述结论：可令f(t1)tsin110(1）,则tt1t 210sin110t，t 2t12sin10 ，而 ttsin10 恒成y立，t1 。y| x |y| x |题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）yaxyax精品资料xo1 、当 x1,2时，不等式x2mx40 恒成立，则m 的取值范围是.精品资料解析 : 当 x(1,2)时，由x2mx40 得 mx24 x.m5 .题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1 、解析：对xr,不等式 | x |ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知1a1，即1a1。2 、分析：为了使fxk 在 x1,恒成立，构造一个新函数fxfxk ，则把原题转化成左边二次函数2在区间1,时恒大于等于0 的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令fxfxkx2kx2k ，则 fx0 对 x1,恒成立，而fx 是开口向上的抛物线。当图象与x 轴无交点满足0 ，即4k 22 2k0 ，解得2k1 。当图象与x 轴有交点，且在x1,时 fx0 ，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：0f10解得3k2 ，故由知3k1 。2k12小结：若二次函数ayax20bxc a0 大于 0 恒成立，则有a00 ，同理，若二次函数yax2bxc a0 小 于 0恒成立，则有求解。0 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间d 上存在实数x 使不等式fxa 成立 ,则等价于在区间d 上fx maxa；若在区间d 上存在实数x 使不等式fxb 成立 ,则等价于在区间d 上的fx minb .1 、解：设fxx3x1 ，由fxa23a 有解，a23afxmin ，又 x3x1x3x14 ，a23a4 ，解得 a4或a1 。1ax22 x12 、解：因为函数fx存在单调递减区间，所以fxax20xx12120,有解 .即 ax0,x2x能成立 , 设 uxx2x .由 ux121211得,uminx1.于是, a1 ,x2xx由题设 a0 ,所以 a 的取值范围是1,00,课后作业：1 、b 。解析：由方程log a xa2log a y3 可得 ya 3，对于任意的xxa, 2a ，可得 a22aa2 ，依题意得3xa2a2a2a2 。25a12y32 、 答案：。解析：由不等式13a( x2y2 )( xy) 2 可得x y ，由线性规划可得1。y xx23 、解：原不等式有解asin 2 x4sin x21sin x231sin x1 有解，而2sin x23min2 ，所以 a2 。4 、解：画出两个凼数yax 和 yx 4x在 x30,3yyax上的图象如图知当x3 时 y3 ， a3当 a3 ， x30,3时总有axx 4x所以 a3 303x5 、解析：（ 1 ）设h xg xfx2 x33x212xc，问题转化为x3,3时， h x0 恒成立，故hminx0 。令hx6 x26x126 x1x20 ，得 x1 或 2 。由导数知识，可知h x在3, 1 单调递增，在1,2 单调递减，在 2,3 单调递增， 且 h3c45 ，h x极大值h1c7 ，h x极小值h 2c20 ，h 3c9 ，hnmixh3c45，由 c450 ，得 c45 。（ 2 ）据题意：存在x3,3，使 fxg x 成立，即为：h xg xfx0 在 x3,3有解，故hmaxx0 ，由（ 1 ）知hmaxxc70 ，于是得 c7 。（ 3 ）它与（ 1 ）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1 , x23,3，都有f x1g x2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1 ， x2 的取值在3,3 上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：fmax ( x)g min ( x),?x 3?,3。 fx27 x2c28,x3,3 fx maxf3147c ，gx6 x28x402 3x10x2 ，gx0 在区间3,3 上只有一个解x2 。g xming 248 ，147c48 ，即 c195 .（ 4 ）存在x1 , x23,3，都有f x1g x2，等价于fminx1gmaxx2，由 (3) 得f minx1f2c28 ，gmaxx2g3102 ，c28102c130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6 、解：（）f( x)x24ax3a 2（ 1 分）令 f( x)令 f( x)0, 得0, 得f ( x)f ( x)的单调递增区间为（a,3a ）的单调递减区间为（，a）和（ 3a ， +） （ 4 分）当x=a 时，f ( x)极小值 =3 a 3b;4当 x=3a 时，f (x)极小值 =b.（ 6 分）（）由| f( x) |a，得 ax2+4ax 3a2 a. （ 7 分）0a2a.f( x)x 24ax3a 2 在 a1,a2 上是减函数 .（ 9 分）f( x) maxf(a1)2a1. f( x) minf (a2)4a4.于是，对任意x a1, a2 ，不等式恒成立，等价于a4aa2a1.4,解得 45a1.又 0a1,4a1.57 、解： (1)oa y2f /(1)ob ln(x 1)oc 0， y 2f /(1)ob ln(x 1)ocoa由于 a 、b、c 三点共线即y 2f /(1) ln(x 1) 12 分y f(x) ln(x 1) 1 2f /(1)11f /(x) x1 ，得 f /(1) 2 ，故 f(x) ln(x 1)4 分2x1（ 2 ）令 g(x) f(x) x2 ，由 g/(x) x 12(x 2) 2xx2(x 2)2 (x 1)(x 2)2x 0，g/(x) 0 ，g(x) 在(0 ，)上是增函数6 分故 g(x) g(0) 02x即 f(x) x 28 分1（ 3）原不等式等价于12x2 f(x2) m2 2bm 312xx3 x令 h(x) 2 x2 f(x2) 2x2 ln(1 x2) ，由 h/(x) x 1 x2 1 x210 分当 x 1， 1 时， h(x)max 0，m2 2bm 30q(1) m2 2m 30令 q(b) m2 2bm 3 ，则q( 1) m2 2m 30得 m3 或 m312 分8 、解： (i) 由题意得fepeq2lneqep2pqe10 而 e1 0 ，所以 pqeeeepp2px 22 xp(ii) 由 (i) 知fxpx2lnxx ， fxp2xxx 24 分2令 hxpx2xp ，要使 fx 在其定义域(0,+) 内为单调函数， 只需h(x)在 (0,+) 内满足：h(x) 0 或h(x) 0 恒成立 .5 分 当 p0 时，px20 ,2x0hx0 ，所以fx在 (0,+) 内为单调递减，故p0 ； 当 p0 时，h xpx22xp，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x10 ，phxh1p1 ，只需p10 ，即 p1 时，h(x) 0 ， fx0 ，ppminpf (x)在 (0,+) 内为单调递增，故p 1 适合题意 .综上可得， p 1 或 p 0pp212另解： (ii)由 (i) 知 f (x) = px x 2ln xf (x) = p +x 2 x = p (1 +x 2 ) x要使f (x)在其定义域(0,+) 内为单调函数，只需f (x)在 (0,+) 内满足： f(x) 0或 f (x) 0 恒成立 .1222由 f (x) 0p (1 +x 2 ) x 0p 1x +xp (x +1 )max ， x 0 x21 21= 1 ，且x = 1时等号成立，故(21 )max = 1x +xp 12 x x12x +x2x2