值域经典题型

-可编辑修改 -1. 求f ( x)x 2x6 在1，1值域简单练习题上的值域2. 求函数f (x)2x3x1的值域3. 求函数f ( x)x 23xx13的值域4. 求函数f ( x)x3x11x 的值域5. f ( x)6. f ( x)23x1x 2xx 2x17. f8. f9. f( x)( x)( x)13x131-x3x42x- x 22x210. yx26 x1011. y12. y2 x25 x62cos x13cos x213. 求函数yx1x1,x 1的值域。值域的求法加强练习题解答题（共10 小题）1已知函数的定义域为集合a，函数的值域为集合b，求 ab 和（ cra） （ crb）2已知函数f（x） =x2bx+3 ，且 f（0 ）=f（4 ）（1 ）求函数 y=f （x）的零点，写出满足条件f（ x） 0 的 x 的集合；（2 ）求函数 y=f （x）在区间（ 0，3 上的值域3. 求函数的值域：4. 求下列函数的值域：（1 ）y=3x 2x+2 ；（ 2）；（ 3）；（4 ）；（5）（6）；5. 求下列函数的值域（1 ）；（ 2）；（3 ）x 0， 3 且 x 1 ；（4 ）6求函数的值域：y=|x 1|+|x+4| 7求下列函数的值域（1 ）y= x2+x+2 ；（2） y=3 2x ，x 2， 9 ；（3 ）y=x 2 2x 3 ，x（1， 2；（4）y=8已知函数f（x） =2 2x+2 x+1 +3 ，求 f（ x）的值域9已知 f（x）的值域为，求 y=的值域10 设的值域为 1，4 ，求 a、b 的值参考答案与试题解析一解答题（共10 小题）1已知函数的定义域为集合a，函数的值域为集合b，求 ab 和（ cra） （ crb）考点：函数的值域；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法。1457182专题：计算题。分析：由可求 a，由可求 b 可求解答：解：由题意可得a=2 ， + ），b= （1 ，+），cra= （，2 ），c rb= （， 1 4分（）a b=2 ，+）（c ra）（c rb） =（，1 6 分）（点评：本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题2已知函数f（x） =x2bx+3 ，且 f（0 ）=f（4 ）（1 ）求函数 y=f （x）的零点，写出满足条件f（ x） 0 的 x 的集合；（2 ）求函数 y=f （x）在区间（ 0，3 上的值域考点：函数的值域；二次函数的性质；一元二次不等式的解法。1457182专题：计算题。分析：（ 1）从 f（ 0） =f（ 4）可得函数图象关于直线x=2 对称，用公式可以求出b=4 ，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（ x） 0 的 x 的集合；（ 2）在（ 1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0 ， 3上的最值，从而可得函数在（0 ，3 上的值域 解答：解：（1）因为 f（ 0） =f （4 ），所以图象的对称轴为x=2 ，b= 4 ，函数表达式为f（ x）=x 24x+3 ，解 f（ x） =0 ，得 x1 =1 ，x2 =3 ，因此函数的零点为：1 和 3满足条件f（x） 0 的 x 的集合为（ 1 ，3 ）（ 2） f（x） =（x 2）21 ，在区间（ 0 ，2 ）上为增函数，在区间（2 ，3）上为减函数所以函数在x=2 时，有最小值为1 ，最大值小于f（0 ）=3因而函数在区间（0 ，3 上的值域的为 1 ，3 ）点评：本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题 只要掌握了对称轴公式， 利用函数的图象即可得出正确答案3. 求函数的值域：考点：函数的值域。 1457182专题：计算题；转化思想；判别式法。分析：由于对任意一个实数y，它在函数f（ x）的值域内的充要条件是关于x 的方程（ y2 ）x2+（ y+1 ）x+y 2=0 有实数解，因此 “求f（ x）的值域 ”这一问题可转化为“已知关于 x 的方程（ y2 ）x2+（ y+1 ）x+y 2=0 有实数解，求y 的取值范围 ”解答：解：判别式法： x2+x+1 0 恒成立，函数的定义域为r由得：（y 2）x 2+（y+1 ）x+y 2=0 当 y2=0 即 y=2 时，即 3x+0=0 ，x=0 r当 y2 0 即 y 2 时，xr 时方程（ y2） x 2+（y+1 ） x+y 2=0 恒有实根，=（ y+1 ）24（ y2 ）20，1 y5 且 y 2，原函数的值域为 1 ，5 点评：判别式法：把x 作为未知量， y 看作常量，将原式化成关于x 的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：（ 1）当二次项系数为0 时，将对应的y 值代入方程中进行检验以判断y 的这个取值是否符合x 有实数解的要求（ 2）当二次项系数不为0 时，利用 “xr，0 ”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形4. 求下列函数的值域：（1 ）y=3x 2x+2 ；（2）；（ 3）；（4 ）；（5 ）（ 6 ）考点：函数的值域。 1457182专题：常规题型。分析：（ 1）（配方法） y=3x 2x+2=3 （ x ） 2+（ 2）看作是复合函数先设=x 26x 5（ 0），则原函数可化为y=，再配方法求得的范围，可得的范围（ 3）可用分离变量法：将函数变形，y=3+，再利用反比例函数求解（ 4）用换元法设t=0，则 x=1 t2，原函数可化为y=1 t2+4t，再用配方法求解（ 5）由 1 x20 ? 1x1，可用三角换元法：设x=cos ，0，将函数转化为y=cos +sin =sin（+）用三角函数求解（ 6）由 x 2+x+1 0 恒成立，即函数的定义域为r，用判别式法，将函数转化为二次方程（y2）x 2+（y+1 ）x+y 2=0 有根求解解答：解：（1）（配方法） y=3x 2x+2=3 （x ） 2+，y=3x 2x+2 的值域为 ，+ ）（ 2）求复合函数的值域：设 = x26x 5（ 0），则原函数可化为y=又= x 26x 5= （x+3 ）2+4 4 ，0 4，故0， 2 ，y=的值域为 0，2（ 3）分离变量法：y=3+，0 ，3+3，函数y=的值域为 y r|y 3（ 4）换元法（代数换元法） ：设 t=0 ，则 x=1 t2，原函数可化为 y=1 t2+4t= （t2） 2+5 （ t0），y 5，原函数值域为（，5注：总结y=ax+b+型值域，变形： y=ax 2+b+或 y=ax 2+b+（ 5）三角换元法：1 x20? 1x1，设x=cos ， 0， ，则 y=cos +sin =sin （ +）0， ，+，sin （+） ， 1，sin （+）1，原函数的值域为 1 ，（ 6）判别式法： x 2+x+1 0 恒成立，函数的定义域为 r由 y=得：（ y 2）x 2+（y+1 ）x+y 2=0 当 y2=0 即 y=2 时，即 3x+0=0 ，x=0 r当 y2 0 即 y 2 时，xr 时方程（ y2） x 2+（y+1 ） x+y 2=0 恒有实根，=（ y+1 ）24（ y2 ）20，1 y5 且 y2 ，原函数的值域为 1 ，5点评：本题主要考查求函数值域的一些常用的方法配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法5. 求下列函数的值域（1 ）；（2 ）；（3 ）x0， 3 且 x 1 ；（4 ）考点：函数的值域。 1457182分析：（ 1）把函数转化成关于tanx 的函数，进而求值域（ 2）令因为 1x20，即1x1，故可 x=sinx ，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值（ 3）把原式变成2+，设 t=，通过幂函数t 的图象即可求出t 的值域，进而求出函数y=的值域（ 4）令 t=x 4，即 x=t+4 代入原函数得出y 关于 t 的函数，进而求出答案解答：解：（1）=1+4tanx+4=5+函数+4tan 2x2+5 9的值域为 9 ，+ ）（ 2）令 x=sin ，=sin cos =sin （）， ，sin （ ）1，的值域为 ，1（ 3） y=2+令 t=，则其函数图象如下如图可知函数在区间0， 1）单调减，在区间（1， 3 单调增t（6，3， +）y（4， 5， + ）即函数 y=的值域为（，4 5 ，+ ）（ 4）设 t=x 4，x=4+t则=|+2| |2|t=x 4 00y=y0 ，4即函数的值域为 0 ，4点评：本题主要考查求函数的值域问题此类题常用换元、配方、数形结合等方法6求函数的值域：y=|x 1|+|x+4| 考点：函数的值域。 1457182专题：计算题；分类讨论。分析：由函数表达式知，y 0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域解答：解：数形结合法：y=|x 1|+|x+4|=y5，函数值域为5 ，+）点评：本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法7求下列函数的值域（1 ）y= x2+x+2 ；（2 ）y=3 2x ， x2 ，9 ；（3 ）y=x 22x 3 ，x（1， 2；（4 ）y=考点：函数的值域。 1457182专题：计算题。分析：（ 1）求二次函数y= x 2+x+2 的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域（ 2）求一次函数y=3 2x 在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域（ 3）求二次函数y=x 22x 3 在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域（ 4）求分段函数y 的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域 解答：解：（1）二次函数y=x2+x+2 ；其图象开口向下，对称轴x=，当 x=时 y 有 最 大值；故函数 y 的值域为：（，）；（ 2）一次函数y=3 2x ，x2， 9 ；单调递减，在 x= 2 时， y 有最大值 7；在 x=9 时，y 有最小值15 ；故函数 y 的值域为： 15 ，7 ；（ 3）二次函数y=x 22x 3 ， x（1， 2 ；图象开口向上，对称轴x=1 ，当 x=1 时，函数 y 有最小值4 ； 当 x= 1 时， y 有最大值 0；所以函数y 的值域为： 4，0 ）；（ 4）分段函数y=；当 x6 时， y=x 10 4；当2x6 时， y=8 2x ，4 y12 ；所以函数y 的值域为： 4，+ ）（4， 12= 4， +）点评：本组 4 个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；它们都是基础题8已知函数f（x） =2 2x+2 x+1 +3 ，求 f（ x）的值域考点：函数的值域。 1457182分析：注意利用22x =（2 x） 2 这个式子，很容易把这个看似不识的函数转化为我们再熟悉不过的二次函数 解答：解：令 t=2 x，则 t 0， f（ x）=（ 2x ）2+2 ?2 x+3=t 2+2t+3 ，令 g（t） =t2+2t+3 （t 0），则 g（t）在 1， + ）上单调递增，故 f（ x） =g（ t） g（ 0） =3 ， 故 f（ x）的值域为（ 3 ， +）点评：二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围9已知 f（x）的值域为，求 y=的值域考点：函数的值域。 1457182专题：计算题。分析：根据 f（x）的值域，应用不等式的性质先求出被开方数的取值范围，进而求得y 的值域 解答：解；f （ x） ，2f（ x） ， 1 2f（x ） y y 的值域为： ，点评：本题考查不等式的性质10 设的值域为 1，4 ，求 a、b 的值考点：函数的值域。 1457182分析：由题意 f（