高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修

3 3 2函数的极值与导数 1 了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 1 2 1 设函数f x 在点x0及其附近有定义 1 若对x0附近的所有点都有f x 0 右侧f x f x0 f x0 0 而且在x0附近的左侧f x 0 则f x0 称为函数的极小值 x0为极小值点 3 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 归纳总结一般地 函数y f x 在一点处的导数值为0是函数y f x 在这点取得极值的必要不充分条件 1 2 2 求函数f x 的极值 首先解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是函数的极小值 归纳总结极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点 极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点 1 2 做一做1 下列说法正确的是 A 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B 函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C 函数f x x2只有一个极小值D 函数y f x 在区间 a b 内一定存在极值解析 答案 C 1 2 答案 22 1 2 做一做3 判断下列说法是否正确 1 函数f x 3x3 因为f 0 0 所以x 0是f x 3x3的极值点 2 对于函数y f x 在点x x0的左侧f x 0 则x x0是函数y f x 的极小值点 解 1 这种说法是错误的 对于f x 3x3 f x 9x2 f 0 0 而当x 0时 f x 0 x0 即在点x 0的两侧其导数值同号 故x 0不是f x 3x3的极值点 2 这种说法是错误的 例如函数很明显在x 0附近满足左侧f x 0 但f 0 1 故x 0不是函数的极小值点 1 对极值的概念的理解剖析极大值与极小值统称为极值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 5 若函数在某区间内单调 则函数在该区间内无极值 2 求可导函数f x 的极值的步骤剖析 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 那么f x 在这个根处无极值 题型一 题型二 题型三 题型四 分析按照求极值的基本方法 首先从方程f x 0入手 求出在函数f x 的定义域内所有可能的极值点 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 函数f x 的定义域为R f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 2时 函数有极大值 且f 2 2 3 12 2 16 当x 2时 函数有极小值 且f 2 23 12 2 16 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 使f x 0的点未必是极值点 但是可导函数的极值点处导数必为0 极大 极小 值与最值是不同的概念 极大值不一定比极小值大 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值为 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 解 由已知f x 3x2 6ax 2b f 1 3 6a 2b 0 又f 1 1 3a 2b 1 故函数的解析式为f x x3 x2 x 由此得f x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 方程f x 0恰有3个解 分析 1 根据求函数极值的方法求解 2 求出函数y f x 的极值 借助函数的单调性采用数形结合的思想解决 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决函数的零点 或方程根 的个数问题的一般思路是数形结合 具体解法是 先利用导数求出函数的单调区间与极值 再结合函数的图象 草图 列出不等式组或方程组求解 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 若函数f x 2x3 6x k在R上只有一个零点 求常数k的取值范围 解 f x 2x3 6x k 则f x 6x2 6 令f x 0 得x 1或x 1 可知f x 在 1 1 内是减函数 f x 在 1 和 1 内是增函数 f x 的极大值为f 1 4 k f x 的极小值为f 1 4 k 要使函数f x 只有一个零点 只需4 k0 如图 即k4 故k的取值范围是 4 4 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 故为错解 正解解题过程同错解 当a 1 b 3时 f x 3x2