高中数学第3用数学归纳法证明不等式贝努利不等式学业分层测评新人教B版.docx

第3章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学业分层测评 新人教B版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.利用数学归纳法证明不等式“n22n对于nn0的正整数n都成立 ”时，n0应取值为()A.1B.3C.5D.7【解析】1223,4224,5225，利用数学归纳法验证n5，故n0的值为 5.【答案】C2.对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11, 不等式成立.(2)假设当nk(kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述记录，可推测出一般结论()A.f(2n)B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】f(2)；f(4)2，即f(22)；f(8)，即f(23)；f(16)3，即f(24)；f(32)，即f(25).故猜想f(2n).【答案】C4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立，则当k5，均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立，则当k8，均有f(k)k2成立D.若f(4)25成立，则当k4，均有f(k)k2成立【解析】由题意，设f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立.”因此，对于A，不一定有k1,2时成立.对于B，C显然错误.对于D，f(4)2542，因此对于任意的k4，有f(k)k2成立.【答案】D5.对于正整数n，下列说法不正确的是()A.3n12nB.0.9n10.1nC.0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，当x2时，(12)n12n，A正确.当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确.当x0.9时，(10.9)n10.9n，因此D正确.【答案】C二、填空题6.观察式子：1，1，1，则可归纳出_. 【导学号：38000062】【答案】1(n2，nN)7.若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_.【解析】f(k)122232(2k)2，f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为_.【解析】由a1，且Snn(2n1)an，得a2，a3，a4.由13,35,57,79，可得an.【答案】an三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2).(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：SSS.【解】(1)S1a1，2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2.故是以2为首项，2为公差的等差数列.(2)证明：当n1时，S，不等式成立.假设nk(k1，且kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS22，命题成立.(2)假设当nk(kN，且k2)时，命题成立，即(12k)k2，则当nk1时，有左边(12k)(k1)1(12k)(12k)(k1)1k21(