第五讲图形的切拼(一)

学科：奥数教学内容：第五讲图形的切拼（一）把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。这一讲，我们一起来研究这类问题。例1如下图所示：是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。（1）分析与解答：如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分。每部分面积应是正方形面积的，再把三个个正方形合成一个与个正方形形状相同的图形，于是我们就有了如图（2）的分法。（2）例2请把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的小三角形。分析与解答：分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形平均分成两份，得到如下左图所示的图形。分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到下右图所示的符合条件的图形。例3将下图中的图形分成形状相同、面积相等的两部分，想一想，应该怎么分？分析与解答：为了方便，可先将图分成许多11的小正方形（请你在“坐标纸”上画一画），如下左图：由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位。为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来。下面继续进行类似的推理，可以找到答案。具体分法见下右图，图中的阴影和空白部分将上图分成了形状相同、面积相等的两部分。例4长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请你先把它剪成大小、形状都相同的两部分，然后再把它们拼成一个正方形。分析与解答：已知长方形面积是：94=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如下图所示：例5请你把下图中的两个图形中的某一个分成三块，然后再把它们拼成一个正方形。分析与解答：不论将图中两个图形中的哪一个分成三块，最后拼成的正方形的面积总是图中两个图形面积之和。长方形面积：50100=5000（平方厘米）不规则图形面积：10020+（100-40）（70-20）=5000（平方厘米）正方形面积：5000+5000=10000（平方厘米）所以正方形边长为100厘米。图中的两个图形都具有某一边的长度正好是100厘米的特点。为了方便，我们选择其中一个作正方形的一条边。因为图中的长方形长为100厘米，宽为50厘米，为了拼出正方形的另一条边，可以把不是长方形的那个图先分成两部分，见下图，把较大的一块与原来的长方形拼在一起，见图。这时还缺一个角，它是一个面积为（4030=）1200平方厘米的长方形。为了补上这个长方形，只要把图中较小的一块从中分开就行了，见图，拼成后的正方形见图。想一想：还有别的分法吗？例6有一个长24厘米、宽15厘米的长方形，请你把它切成两块，拼成一个长20厘米、宽18厘米的新长方形。分析与解答：通过对比原长方形与新拼成的长方形的长、宽，不难看出：原长方形的长比新长方形的长多4厘米，新长方形的宽比原长方形的宽多3厘米，所以我们可以依此将原长方形分成30个43（平方厘米）的小长方形，见下图。因为新长方形的长为20厘米，应减少一个小长方形，而新长方形的宽为18厘米，应增加一个小长方形。可以沿对角线的方向，把它剪成呈阶梯状的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如图所示，然后把它们错位互相“咬”在一起，即阴影块往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形，见图。具体切拼方法是，按图中的粗线将长方形分成两块，再一移一错一对，即可拼成新的长方形，见图。阅读材料中国古代数学与中国古典玩具中国是一个伟大的文明古国，它为世界数学的发展做出过巨大的贡献。中国古老的智力游戏和古典数学玩具，如九连环、七巧板、华容道、鲁班锁、四喜人等把数学和游戏玩具结合起来，对于提高玩具品位、开发思维智力具有独特的功能。西方有时将它们统称为“中国的难题”（chinese puzzle）。这些难题涉及了数学中的几何学、拓扑学、图论、运筹学等多门学科。拼板是我国古老的益智玩具之一，其中最著名的是七巧板。国外称它为“唐图”（tangram），是世界公认的中国优秀智力游戏代表作。有的学者认为，七巧板源于后汉数学家作出的弦图。2002年的第24届世界数学家大会（北京召开）的会标即为中国古老的弦图。形成七巧板玩具的直接因缘，来自古代家具“几”。宋代黄伯思作燕几图。燕几即宴几，它由6张几组成，可以根据宴客人数拼出各种形状。明朝严澄改进了燕几图，拼板由6块改成了13块，图形也不再是方形，而是三角形和梯形了，称作“蝶几图”。蝶几图拼出的图样比燕几图更多。燕几图稍作改进，就成了七巧板了。七巧板是数学与艺术的结晶。练习题1（1）如下图，一个等边三角形形状的草地上有四棵树，要把这块草地平均分成形状相同的四小块，要求每小块的面积相等，并且每一块草地中都要有一棵树。应该怎样分？解答与解答：分法见图。（2）如图，由五个同样大小的正方形组成的“T”字形，请把它分成形状相同、面积相等的四部分。分析：分法见图。仿照例1的分法我们把如上图这样由五个正方形组成的图形，分成四块大小、形状都相同的图形，若从面积考虑每一块的面积应是个正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如下图所示。（3）下图是由三个同样大小的等边三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四部分。解答：把三个同样大小的正三角形平均分成四份，每份应占正三角形的，因此先把每个三角形四等分，选择其中的三份。2在下图中画5条直线，把小圆圈分开，并使每块大小、形状都相等。解答：因为图中有8个小圆圈，画5条线把图形应分成8块，根据小圆圈的分布特点，分法如下图（右）所示。3把下图划分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。解答：见图。4请你先画一个正方形，然后再把这个正方形分成20个大小形状完全相同的三角形。解答：见图。5把下图分成形状相同、面积相等的四份，应怎么分（至少给出三种不同的分法，即每种分法分得后的图形都不同）？解答：分法见图。6将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈“”。解答：分法见图。7如下图，先把它分成3块，然后再拼成一个正方形。解答：分法见图。8将长和宽分别为16厘米和9厘米的长方形纸片切分成相等的两块，然后拼成一个正方形。解答：分法拼法分别见下图。9把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等。分析与解答连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角