眼科病床的合理安排

眼科病床的合理安排摘要病床使用情况反映了医院工作质量和管理效益。本文通过对医院眼科病床的安排研究,为门诊资源的优化配置和流程再造提供科学依据。对于问题一，通过挑选反映病床使用情况的四个常用统计指标：病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均工作日, 应用秩和比法对眼科病床使用情况进行综合评价，建立医院眼科病床使用情况的合理的评价指标体系。并把它应用于评价FCFS(First come，First Serve)规则安排住院模型的优劣。可知被评价对象的水平相差较大，分配给白内障(双眼)、视网膜疾病和外伤病人的病床数相对合理，而分配给青光眼病人的病床数相对紧张，而分配给白内障(单眼)的病床利用不够充分。对于问题二，通过统计数据的方法计算出各类入院病人占入院总病人数的大致比例确定相应的床位数，建立了合理的病床安排模型，并应用问题一的四个指标，通过对病床使用情况值的分析与比较以及开放病床数合理区间调整病床安排。对于问题三，应用排队论与抢占优先权排队论对问题进行讨论，解决了病人门诊时即被告知其大致入住时间区间,可知若病人到院时间为则根据等待时间为，可知其大致入院时间为。对于问题四，应用解决问题二的方法，对于该住院部周六周日不安排手术的情况，由于指标体系只与住院时间长度有关，而与门诊时间、入院时间、手术时间无关，我们可将原先周六周日安排手术的病人视为只来门诊而没有入院的人，及没有对他进行服务，通过对病床使用情况值的分析，建立了医院手术时间是否需要调整的模型，由图像就可知值偏离控制区间太大，即需对手术时间进行调整。对于问题五，我们通过最优化方案确定了平均逗留时间最短的病床比例分配模型，运用Lingo软件求出最优值，得到各类眼科疾病相应的病床数，白内障（单眼）：15床；白内障（双眼）：15床；青光眼：19床；视网膜疾病：15床；外伤：15床。关键词：病床 秩和比 排队论 优先权 最优解一、 问题的提出医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、模型的假设1、本文给出的医院眼科病人信息表具有代表性，能够确实反应该医院的服务情况。2、医院病床张数是固定的，不能临时加病床。3、手术医生要足够多，只要有安排手术就必须有医生去做。4、在问题二和问题四中，各类病的病床数可以依据每种病的人数与总病人数比例来确定。5、白内障手术只能安排在周一和周三，白内障双眼手术只能周一先做一只，周三再做另一只。6、除了外伤手术是急诊外，其它手术都不是急诊。三、名词解释及变量的定义序号参数参数含义量纲1平均到达率，表示单位时间平均到达的患者数无2平均服务率，表示单位时间能被服务完的患者数无3各病种病床分配数张4等待第一次手术时间(第一次手术时间-入院时间)天5各类病种平均住院时间天6医院的繁忙概率无7最短平均逗留时间天四、问题的分析和基本思路在模型求解过程中，根据对所给信息表进行处理与分析，发现最长住院时间为18天 (见附录表1-1)，所以为了模型的准确性，我们选用的数据为题目附录中2008-07-31到2008-09-11的病人信息。1、指标选择问题选择合理病床安排模型的评价指标有很多，如排队论中的平均队长、平均逗留时间和平均等待时间等，但本模型应用秩和比法()对各种病的病床使用情况进行综合评价。因为秩和比法避免了单指标评价的片面性，而且较全面、准确和客观。因此在本题中，我们建立包括病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日四个统计指标的各病种病床使用情况评价指标体系。2、病床安排问题对题目中的附录进行分析可知，病人的最长住院时间为18天，为了求得相对准确的数据，我们使用2008-07-31到2008-09-11的病人信息。把五种眼科病分在不同的病房，病房的病床数决定该病的入院人数。通过秩和比法()评价各病房病床的使用情况。分析各病房病床使用情况值的质控图或病房开放病床数合理区间来增减病房的病床数来安排病人住院。3、时间区间确定问题由于外伤属于急诊，故可将外伤病人视为高优先权患者，而将其他病人视为低优先权患者，运用优先权排队问题来求解其时间区间。4、病床重新安排问题 若该住院部周六周日不安排手术，由于指标体系只与住院时间长度有关，而与门诊时间、入院时间、手术时间无关，我们可以将原先周六周日手术的病人假设成只来门诊而没有入院的人，那么接下来只需根据求问题二的方法便可以解决该题。5、病床比例确定问题 本问题涉及到优化模型，要解决使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型，可以根据各病种所占病床数与平均服务率和平均到达率之间的关系来确定。 五、模型的建立和求解5.1 问题一的模型与求解1、评价体系的建立针对问题1，要求确定合理的评价指标体系，根据病床使用情况反映医院工作质量和管理效益，用以评价以为规则的病床安排模型优劣。本模型挑选反映病床使用情况的四个常用统计指标：病床使用率、病床周转次数、病床工作日和出院者平均住院日，建立眼科病床的合理安排情况评价指标体系。其中病床使用率、病床周转次数、病床工作日为高优指标，而出院者平均住院日为低优指标。 (1)编秩()各指标按以下原则进行排序编秩。病床使用率、病床周转次数和病床工作日三个高优指标的编秩原则：最大值编以最高秩次 (本文为病种数5)，次大值编以，最小值编以1。出院者平均住院日为低优指标，编秩原则：最大值编以1，次大值编以， 最小值编以。(2) 病床使用率；(3) 病床周转次数；(4) 病床工作日；(5) 出院者平均住院日；(6) 病床使用情况，式中为指标数(本文为4)， 为分组数(本文为病种总数5)；(7) 病床工作效率。2、问题的结果与分析下面对病种病床使用情况值的质控图分析：对值进行描述性统计分析得，均值，标准差，故的上下控制值分别为： ，。那么我们以病种为横轴，值为纵轴，并在纵轴上用虚线画出上下控制线，用实线画出画出平均线，绘制出病种病床使用情况值的质控图，见图1图1由图1可知被评价对象的水平相差较大，分配给白内障(双眼)、视网膜疾病和外伤病人的病床数相对合理，而分配给青光眼病人的病床相对紧张，而分配给白内障(单眼)的病床利用不够充分。5.2 问题二模型建立与求解1、合理床位模型的建立由所给数据可得表1表1 数据表病种实际占用总床日数实际开放总床日数出院者住院总日数出院人数平均开放病床数白内障(单眼) ()3756883646816白内障(双眼) ()7808177028219青光眼()435387409399视网膜疾病()14111075126710125外伤()3314303114310总和33323397305333379经公式：公式(1) 计算得各病种病床使用情况及，如下表表2 各病种病床使用情况及病种病床使用率(%)病床周转次数病床工作日出院者平均住院日病床使用情况病床工作效率白内障(单眼) ()54.51(1)4.25(2)23.44 (1)5.35(5)0.4599.61白内障(双眼) ()95.47(3)4.32(4)41.05(3)8.56(3)0.65177.18青光眼()112.40(4)4.33(5)48.33(4)10.49(2)0.75209.44视网膜疾病()131.26 (5)4.04(1)56.44(5)12.54(1)0.60228.02外伤()76.98(2)4.30(3)33.10(2)7.23(4)0.55142.33表2已经求出了值，我们将各病房病床使用情况的值由小到大排列起来，计算向下累计频率()，同时通过查“百分数与概率单位对照表”，求其所对应的概率单位值，见表3表3 各病种病床使用情况的分布0.451111204.15840.551222404.74670.601333605.25330.651444805.84160.75155597.56.9600经相关回归分析，与具有高度的线性相关关系，见表4。表4 与的关系4.15844.74675.25335.84166.960.450.550.60.650.75通过软件的运算或由公式直接计算得它们之间的线性回归方程为：=0.1029+0.0454。我们再对此方程进行方差分析：为了表达方便，令，其中,， ，。结果显示，,因此与之间线性关系明确，线性回归方程可用。在床位固定的前提下，导出开放病床数合理区间公式( ，)，其中，病床工作效率上下限控制值的计算为：对表2中第（7）列病床工作效率值进行描述性统计得，均值，标准误差，因此病床工作效率上下线控制值分别为：，于是可计算各病种开放病床数的区间，见表5。表5 开放病床数合理区间计算表病种实际占用总床日数出院人数开放病床数合理区间下限开放病床数合理区间上限实际开放病床数是否调整3756811.155513.607216是7808217.667421.550319否435399.0990611.09889是141110124.372032.168025否331438.3342710.166010否因此，根据表中所提供的信息，便可对病床做出相应的调整，从而建立合理的病床安排模型。从表5可看出病种需减少病床，病种需增加病床数，而且，的病床数必须在其各自的区间内。对于问题中的“根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院”，把五种眼科病分在不同的病房，各病房的病床数可以根据各病种的入院病人数占总入院人数的比例来分配。接下来对各病种的病人按照规则安排入院。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 医院就诊排队系统的组成与一般的排队系统相同，医院的就诊排队系统的基本结构有四部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则。(1) 来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院患者的总体可以是无限的也可以是有限的；可以独个或成批的来到；相继到达的间隔时间可以是确定的（预约门诊）或随机的；患者的到来可以是相互独立的或有关联的；到来的过程可以是平稳的，也可以是非平稳的。(2) 服务时间是指患者接受服务的时间规律患者接受服务的时间是随机的，其规律是通过概率分布描述，由于一般排队系统的服务时间往往服从负指数分布，即每位患者接受服务的时间是独立同分布的，其分布函数为：其中为一常数，代表单位时间的平均服务率。而则是平均服务时间。(3) 服务窗口即可开放多少诊室和医生来接纳患者，为了便于解决这个问题我们将附录中给出的五种眼科疾病看成五单独的服务台。(4) 排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受医疗服务在本问题中采用等待制中的。5.3.2 医院就诊排队系统模型. 输入过程患者源无限，单个到来且互相独立，一定时间的到达服从普阿松分布，. 服务时间患者在住院期间，个患者的诊治时间是互相独立的，它服从负指数分布其分布函数为：其中为一常数，代表单位时间的平均服务率。而则是平均服务时间。. 服务窗口对于第三个问题需在病人门诊时告知起大致入院时间区间，为了便于解决这个问题我们将附录中给出的五种眼科疾病看成五单独的服务台。. 排队规则单队，且队长设有限制，先到先服务。由此可知本问题中患者从门诊到入院的这种排队模型就是输入过程（门诊）是服从普阿松分布，服务过程（住院期间）服从负指数分布，系统的容量有限制，多个单服务台的排队模型，可表示为模型。5.3.3 模型的建立与求解优先排队的方式打断服务，即新到达的患者如发现所有服务台都忙碌而具有较低优先权的患者正在被服务，则他抢占在被服务中的具有较低优先权的患者占据。在本问题中，可将外伤病人的服务看成高优先权等级而其他病人可看成低优先权等级，他们的顾客到达流都是Poission流，而且相互独立的，速率分别为要求其中，是服务时间，他们的服务时间都服从参数为的负指数分布。我们就第优先权等级的病人在被打断后重新开始的情况来计算低优先权的病人等待时间均值。设是服务时间，为高优先权病人的到达间隔时间，可知低优先权病人服务被打断次的概率为高优先权病人的等待分布函数为设低优先权病人的等待时间由和两部分组成，是指低优先权检验顾客进入系统知道他开始被服务为止的一段时间，而是指在服务期间被打断后被迫在一旁等待时间的和（直到他离开系统）。的分布：其中。 其中为忙期分布函数的重卷积。表示在服务个顾客时来了个高优先权的顾客。根据概率函数以及其所对应的概率表则可计算和的值即等待时间。从等待住院病人数的统计情况可知顾客人数和高优先权的顾客数。若系统中已有个病人其中有个高优先权的病人，则这时询问的是低优先权的病人则此时将公式中的，由 和可估计第个病人的等待时间，若为高优先权的病人则此时将公式中的，由 和可估计第个病人的等待时间。假设病人到达的时间为，则他的大致入院时间区间为。5.4 问题四模型建立与求解若该住院部周六周日不安排手术，我们可以将原先周六周日手术的病人假设成只来门诊而没有入院的人，即对这些病人并没有实施服务。因为我们所制定的指标体系只与住院时间长度有关，而与门诊时间、入院时间、手术时间无关，故这种假设是合理的。经统计可得下表数据：表6病种实际占用总床日数出院者住院总日数出院人数平均开放病床数白内障(单眼) ()3753646816白内障(双眼) ()7807028219青光眼()308282289视网膜疾病()9518076925外伤()2101903010总和2624234527779经公式（1）可得：表7各病种病床使用情况病种病床使用率(%)病床周转次数病床工作日出院者平均住院日白内障(单眼) ()54.51(2)4.25(4)23.44 (4)5.35(1)白内障(双眼) ()95.47(5)4.32(5)41.05(1)8.56(3)青光眼()79.59(3)3.11(3)34.22(3)10.07(4)视网膜疾病()88.47 (4)2.76(1)38.04(2)11.70(5)外伤()48.84(1)3.00(2)21.00(5)6.33(2)表8各病种病床使用情况的分布0.501111204.15840.551222404.74670.601333605.25330.651444805.84160.7155597.56.960 经相关回归分析，与具有高度的线性相关关系。 下面对病种病床使用情况值的质控图分析：对值进行描述性统计分析得，均值，标准差，故的控制区间为。那么我们以病种为横轴，值为纵轴，并在纵轴上用虚线画出上下控制线，用实线画出平均线，绘制出病种病床使用情况值的质控图，见图2图2由图2可见的分