高中数学 第3章3.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A选修1_第1页
高中数学 第3章3.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A选修1_第2页
高中数学 第3章3.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A选修1_第3页
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3 3导数在研究函数中的应用3 3 1函数的单调性与导数 学习目标 1 了解函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间 课堂互动讲练 知能优化训练 3 3 1 课前自主学案 课前自主学案 1 1 cosx 增 般地 在某个区间 a b 内 函数的单调性与导数有如下关系 增函数 减函数 在区间 a b 内 若f x 0 则f x 在此区间上单调递增 反之也成立吗 提示 不一定成立 比如y x3在R上为增函数 但其在0处的导数等于零 也就是说 f x 0 是 y f x 在某个区间上递增 的充分不必要条件 课堂互动讲练 关于函数单调性的证明问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 为单调递增 或递减 函数 但要特别注意 f x 为单调递增 或递减 函数 则f x 或 0 证明 函数y lnx x在其定义域内为单调递增函数 思路点拨 证明函数f x 在某区间上是递增的 只需证明f x 0 互动探究把本例中lnx改为ex 其他条件不变 判断函数的单调性 解 f x ex x 显然定义域为R 由f x ex x ex 1 且当x R时 f x 1 0 故函数在其定义域内是单调递增函数 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 求函数f x 3x2 2lnx的单调区间 思路点拨 解答本题可先确定函数的定义域 再对函数求导 然后求解不等式f x 0 f x 0 并与定义域求交集 从而得到相应的单调区间 由函数的单调性求参数的取值范围 这类问题一般已知f x 在区间I上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间I上恒成立 然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 思路点拨 先求出导函数 再令f x 0在 2 上恒成立 利用分离参数法求得a的范围 注意验证a取等号结论是否仍成立 利用导数研究函数单调性时应注意的问题 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程只能在定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 3 如果一个函数的单调区间不止一个 这些单调区间之间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字等隔开 4 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分不必要条件 而不是充要条件 5 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 如f x 3 则f
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