数学理卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(答案详解)(2017.05).doc

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（）A B C D2已知复数若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A B5 C D3在等比数列中，公比若，则（）A11 B10 C9 D8 4是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201则下列叙述不正确的是（）A这12天中有6天空气质量为“优良” B这12天中空气质量最好的是4月9日 C这12天的指数值的中位数是90 D从4日到9日，空气质量越来越好5已知双曲线，直线若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A1 B2 C D46高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A6 B7 C 8 D97已知，是曲线与轴围成的封闭区域若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A B C D8在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A B C D9已知抛物线的焦点为，点若射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，则点的纵坐标为（）A B C D10已知函数给出下列命题：为奇函数；，对恒成立；，若，则的最小值为；，若，则其中的真命题有（）A B C D11如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D12设等差数列的前项和为，其中且则数列的前项和的最大值为（）A B C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13的展开式中，常数项为 （用数字作答）14若变量满足约束条件，则的最小值为 15从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 （用数字作答）16如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17的内角的对边分别为，已知（）求角的大小；（）若，求的最大值18如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，四边形是矩形，平面平面，为线段上一点，且平面（）求的长；（）求二面角的余弦值的大小19几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：年龄受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持不支持合计（）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中20已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值21已知函数（）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）（）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离23已知（）当时，求不等式的解集；（）若函数的值域为，且，求的取值范围试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:DDADC 11、12：CD二、填空题13-160 14-3 155040 16三、解答题17解：（）由已知及正弦定理，得，化简，得，（）由已知及余弦定理，得即，即，当且仅当时，取等号的最大值为18解：（）底面是边长为2的菱形，且，四边形是矩形，平面平面，平面平面，平面，平面记取中点，则平面如图，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系由题意，得，为线段上一点，设平面，解得（）由（），可知平面平面，设平面的法向量为由，得取，则，二面角的余弦值为19解：（）根据所给数据得到如下列联表：年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据列联表中的数据，得到的观测值为不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系（）由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车随机变量的所有可能取值为2，3，4，随机变量的分布列为234随机变量的数学期望20解：（）点在线段的垂直平分线上，又，曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆设曲线的方程为，曲线的方程为（）设联立消去，得此时有由一元二次方程根与系数的关系，得，原点到直线的距离，由，得又，据基本不等式，得当且仅当时，不等式取等号面积的最大值为21解：（）由，得即在上恒成立设函数，则设则易知当时，在上单调递增，且即对恒成立在上单调递增当时，即的取值范围是（），设，则由，得当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减且，显然结合函数图象可知，若在上存在极值，则或（）当，即时，则必定，使得，且当变化时，的变化情况如下表：-0+0-0+0-极小值极大值当时，在上的极值为，且设，其中，在上单调递增，当且仅当时取等号，当时，在上的极值（）当，即时，则必定，使得易知在上单调递增，在上单调递减此时，在上的极大值是，且当时，在上的极值为正数综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数注：也可由，得令后再研究在上的极值问题22解：（）由消去参数，得即直线的普通方程为， 即曲线的直