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文档简介
5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角 5.3直线与平面的夹角学习目标:1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题(重点)体会向量方法在研究立体几何问题中的作用(难点)1直线间的夹角(1)共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中,范围在内的角叫作两直线的夹角,如图所示(2)异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作ABl2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角,如图所示两条异面直线的夹角的范围为,当夹角为时,称这两条直线异面垂直(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2.当0s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s2;当s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s2思考:空间两条直线的夹角的范围是多少?提示2平面间的夹角(1)平面间夹角的概念如图,平面1与2相交于直线l,点R为直线l上任意一点,过点R,在平面1上作直线l1l,在平面2上作直线l2l,则l1l2R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角(2)平面间夹角的求法设平面1与2的法向量分别为n1与n2.当0n1,n2时,平面1与2的夹角等于n1,n2;当n1,n2时,平面1与2的夹角等于n1,n2事实上,设平面1与平面2的夹角为,则cos |cosn1,n2|.思考:空间中两个平面的夹角的范围是多少?提示3直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s,平面的法向量为n,直线l与平面的夹角为.1.判断正误(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等()(2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的余弦值为cosn1,n2.()(3)直线与平面夹角的范围为.()答案(1)(2)(3)2若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150,则l1与l2这两条异面直线的夹角等于()A30B150C30或150 D以上均错A直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150,l1与l2这两条异面直线的夹角等于18015030,选A.3若平面的一个法向量n(4,1,1),直线l的方向向量a(2,3,3),则l与夹角的余弦值为()A B.C D.Dcosn,a,l与夹角的余弦为sinn,a.4已知平面的一个法向量为n1(2,2,x),平面的一个法向量为n2(2,x,2)且平面,的夹角为60,则x_0由两平面夹角为60,故它们法向量的夹角为60或120,x0.直线间的夹角【例1】如图所示,在三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB60,AOB90,且OBOO12,OA,求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值. 解建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),(,1,) (,1,)|cos,|.异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为.1建立恰当的空间直角坐标系,准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键2求线线夹角时,应注意线线夹角范围为,所以若求得余弦值为负数,则线线夹角为其补角1如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,点E是棱AB上的动点若异面直线AD1与EC的夹角为60,试确定此时动点E的位置解以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示设E(1,t,0)(0t2),则A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),(1,0,1),(1,t2,0),根据数量积的定义及已知得:10(t2)0cos 60,所以t1,所以点E的位置是AB的中点直线与平面的夹角【例2】如图所示,三棱锥PABC中,PA平面ABC,ABAC,PAACAB,N为AB上一点,AB4AN,M,S分别为PB,BC的中点求SN与平面CMN夹角的大小解设PA1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系(如图)则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),又ANAB,M、S分别为PB、BC的中点,N,M,S,设a(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,a0,a0.则取y1,得a(2,1,2)因为cosa,.a,.所以SN与平面CMN的夹角为.1本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角,它们的关系是sin |cos,a|.2若直线l与平面的夹角为,利用法向量计算的步骤如下:2如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD90,PA底面ABCD,且PAADAB2BC,M,N分别为PC,PB的中点(1)求证:PBDM;(2)求BD与平面 ADMN的夹角解如图,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),M.(1)(2,0,2)0,即PBDM.(2)(2,0,2)(0,2,0)0,PBAD.又PBDM,ADDMD,PB平面ADMN.即为平面ADMN的一个法向量因此,的余角即是BD与平面ADMN的夹角cos,BD与平面ADMN的夹角为.平面间的夹角探究问题1两个平面间的夹角是否为这个二面角的平面角?提示不一定当两个平面间的夹角不超过90时,两个平面间的夹角就是这个二面角的平面角;当两个平面间的夹角大于90时,两个平面间的夹角就是这个二面角的补角2如图,设二面角l的平面角为,平面,的法向量为n1,n2,如何借助平面的法向量求二面角的平面角?提示先计算|cos |cosn1,n2|,再根据图形判断为钝角还是锐角,从而求出(或其三角函数值) .【例3】如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBDO,A1C1B1D1O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA60,求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值思路探究(1)先证明CC1AC,CC1BD,再证明O1OC1C,故O1O底面ABCD.(2)以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系,分别求平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量n1,n2. 代入公式cos |cosn1,n2|,求解即可解(1)因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1,所以CC1BD.而ACBDO,且AC底面ABCD,BD底面ABCD,因此CC1底面ABCD.由题意知,O1OC1C,故O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此ACBD.又O1O底面ABCD,从而OB,OC,OO1两两垂直如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AB2.因为CBA60,所以OB,OC1.于是相关各点的坐标为O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2)易知,n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x,y,z)是平面OB1C1的一个法向量,则即取z,则x2,y2,所以n2(2,2,)设平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角为,易知是锐角,于是cos |cosn1,n2|.故平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值为.1.(变结论)本例条件不变,求二面角BA1CD的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2,则A1(0,1,2),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)所以(,1,0),(0,2,2),(,1,0)设平面A1BC的法向量为n1(x1,y1,z1),则即取x1,则y1z13,故n1(,3,3)设平面A1CD的法向量为n2(x2,y2,z2),则即取x2,则y2z23,故n2(,3,3)所以cosn1,n2.由图形可知二面角BA1CD的大小为钝角,所以二面角BA1CD的余弦值为.2.(变条件)本例四棱柱中,CBA60改为CBA90,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1E与平面AD1F夹角的余弦值解以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,设此棱柱的棱长为1,则A(0,0,0),B1(1,0,1) E,D1(0,1,1) F,(1,0,1),(0,1,1). 设平面AB1E的法向量为n1(x1,y1,z1),则即令y12,则x11,z11,所以n1(1,2,1)设平面AD1F的法向量为n2(x2,y2,z2)则即令x22,则y21,z21,所以n2(2,1,1)所以平面AB1E与平面AD1F夹角的余弦值为.求两平面的夹角有两种方法(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同(2)法向量法:分别求出两平面的法向量n1,n2,则两平面的夹角为n1,n2或n1,n21直线l的方向向量为s,平面的法向量为n,若s,n,则直线l与平面的夹角为()A.B.C. D.Bs,n,l与的夹角为.2已知直线l1的方向向量s1(1,1,1),直线l2的方向向量s2(2,2,2),则l1,l2夹角的余弦值为()A B.C. D.Bcoss1,s2.l1,l2夹角的余弦值为|coss1,s2|.3正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PAAB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30 B45C60 D90B如图所示,建立空间直角坐标系,设PAAB1.则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)于是(0,1,0)取PD中点为E,则E,易知是平面PAB的法向量,是平面PCD的法向量,cos,平面PAB与平面PCD的夹角为45.4在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,2,0)、B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_设平面xOz的法向量为n(0,t,0)(t0),(1,3,),所以cosn,因为n,0,所以sinn,.5(2019全国卷)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角AMA1N的正弦值解:(1)连结B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且MEB1C.又因为N为A1D的中点,所以NDA1D.由题设知A1B1DC, 可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,
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