维修线性流量阀的内筒设计.doc

维修线性流量阀的内筒设计 【摘要】本题主要研究线性流量阀的的设计问题，要求在满足设计规范的情况下设计内筒孔的形状。设计过程中运用了贪婪算法和最优化模型的有关知识对其进行了定性的分析和定量的研究。针对问题一，首先判断基本多边形能否满足设计需求；其次，利用贪婪算法的思想逐步寻找内筒孔的最佳形状，通过计算各种可能形状的线性区间并进行比较得知内筒孔设计为四边形时能满足的线性区间较好；最后，对四边形进行改进，令内筒孔的边界尽量与外筒孔有可重合的区域(即将四边形与外筒孔相邻的边界改成圆弧形状)，经计算可得此时的内筒孔的形状满足设计规范，具体形状为：针对问题二，在问题一的基础上，首先，令第一问设计的形状满足内筒孔的面积要求以及线性区间的长度要求中的一个，在保证能满足其中一个条件的基础上对图形改进看是否能满足第二个条件，最综得到连续的线性区域无法满足设计要求，结合贪婪算法的思想，考虑内筒孔的线性区间不连续的情况重新设计内筒孔的形状，确定内筒孔的大体形状为： 最后，引入“接近度”的概念，用其作为反映设计图形满足设计规范的程度指标，将主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长及主要工作区的最大“过流面积”尽量大这两个求解目标转化为求解总的接近度最大这一目标，同时以线性区间长度和过流面积大小的比例要求等作为约束条件构建最优化模型对内筒孔形状的横纵向比例及段角度进行求解，通过求解得出第一段线性区间弧对应的角度为118.1度，第二段线性区间弧对应的角度为64.2度，内筒孔纵横向的比例为0.847。关键词：贪婪算法 最优化模型 线性关系 接近度1问题重述1.1背景资料油田采油用的油井都是先用钻机钻几千米深的孔后，再利用固井机向四周的孔壁喷射水泥砂浆得到水泥井管后形成的。固井机上用来控制砂浆流量的阀是影响水泥井管质量的关键部件，但也会因磨损而损坏。目前我国还不能生产完整的阀体，固井机仍依赖进口。由于损坏的内筒已经被磨损得面目全非，根本无法测绘出原来的形状，因此维修时只能根据工作原理并结合阀的结构进行设计。根据仪表刻度可知控制流量的阀是一个线性阀，即阀体的旋转角度与砂浆流量成正比。在设计分析中假设砂浆的压力恒定，进而流量与过流面积成正比，因此阀体的旋转角度应该与过流面积成正比。一般来讲，控制流量的阀体为两个同心圆柱筒。外筒固定，它的侧面上有一个孔，形状为两个直径不等的圆柱体的交线。内筒和外筒轴向之间没有相对运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也有一个孔，它原来的形状未知，砂浆可以从两个孔的相交部分即“过流面积”流过。显然“过流面积”不能超过外筒孔的面积。现在数控机床比较普及，只要知道曲线的形状就可以在维修所需要的内筒上加工出合适的孔。当然从实际加工角度考虑，内筒孔的形状也不宜太复杂。1.2 问题提出把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转动转化为两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近似看作圆孔。1) 讨论在上述阀体结构下，在“过流面积”从为零直到外筒孔面积的范围(简称最大范围)内，能否通过选择内筒孔形状实现大范围内，使过流面积与内筒旋转角近似成线性关系，同时在“最大范围”内，实际情况与严格线性关系的误差在某种意义下最小。2) 实际上，固井机向孔壁喷射水泥砂浆时经常采用的过流面积”是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区，它是最大范围中的一段。因此，在维修固井机内筒时，比较令人满意的内筒孔形状应该使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长（至少达最大范围区间长度的75%以上），而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大（至少要达到外筒孔面积的85%以上），并且使过流面积和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量地好。请按此要求设计内筒孔的形状。如果固井机的外筒孔也发生了程度较轻的磨损，怎么办？ 2.问题分析本题主要研究线性流量阀的的设计问题，在满足设计规范的情况下设计内筒孔的形状。题中已经对固井机实际生活中的应用背景及设计要求做了简单的描述，建立在对本文各要点和概念理解的基础上，本着对自然科学的热爱以及对国家建设事业积极负责的态度对以下各问题展开讨论。 对于问题一，以实际应用的规范性为原则，保证设计的简单、易懂。在讨论各个固井机内、外筒之间各种函数关系时，可以把实际的部件看成是空间几何体进行讨论。如果选择一种内筒孔形状可以实现“过流面积”与内筒旋转角度成严格的线性关系，那么旋转的角度跟过流面积的增加量成正比，（由于外筒孔是圆形）要想满足这一点那么所选图形必须有两条边是平行的这样才能保证每旋转一度与圆重合的面积的增加量是一定值，且如果是严格的线性关系那么在内外筒孔相交的第一个点以后旋转的角度的大小与过流面积大小成严格的比例关系，因此内筒孔形状上的还应有其余两条边应该是与外筒孔半径相等的弧，把内筒孔构造成一个这样的图形就可以实现“过流面积”与内筒旋转角度成严格的线性关系，如果这个图形不存在，我们就只能选择一种有两条边平行的图形，使其在一定范围内成线性关系。 对于问题二，要采用积极创新的思维，在问题一内筒孔形状研究的基础上的，对内筒孔的面积以及线性区间的长度做进一步的要求，首先我们可以使第一问的模型设计成满足内筒孔的面积以及线性区间的长度两个条件中的一个，在保证能满足其中一个条件设计的基础上对设计进行改进看是否能满足第二个条件，如果能满足就尽量使其内筒孔的面积尽量大以及线性区间的长度尽量大，如果无法满足就对内筒孔的形状重新设计，使其线性区间离散化（不连续）成阶梯状，时期分段线性区间的长度，和个分段的面积之和满足题目给出的设计。3.模型的假设1 假设筒的转动转化为两个长方形的平动来思考；2 假设内筒和外筒在轴向间是相对运动的；3 假设水泥砂浆的流量与旋转角度和过流面积近似成正比；4 假设固井机的外筒孔的磨损程度较轻。4.符号系统及说明符号含义已知阀体结构下流量阀内筒孔的纵向长度线性流量阀外筒孔的半径所设计的内筒孔的面积主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间长度已知阀体结构下流量阀内筒孔的横向长度外筒孔的面积5模型的建立与求解5.0名词解释1 过流面积：内筒侧面的小孔和外筒侧面上小孔重合部分的面积。2 最大范围：线性流量阀阀体的过流面积达到外筒孔的面积。3 线性关系：从数学的角度看，线性关系可理解为自变量改变单位大小时，因变量以固定大小发生变化。5.1 设计满足一定规范的内筒孔形状一、明确设计要求 在油田开采的过程中，固井机上用来控制砂浆流量的阀是影响水泥井管质量的关键部件，其内筒因磨损而损坏后无法测绘出原来的形状，因此维修时需要根据工作原理和阀的结构进行设计内筒，为此，我们需了解流量阀的特点和基本构造、明确对内筒的设计规范和要求。1 流量阀的特点及基本构造控制流量的阀体为两个直径大致相同的同心圆柱筒，其中外筒固定，其侧面有一个孔(形状为两个直径不等的圆柱体的交线。与外筒直径近似相同的内筒上同样有一个孔，流量阀的特点是内筒孔与外筒孔相交部分的面积与旋转角度满足线性关系，这样是为了便于控制内筒转动的角度和速度，如右图所示：2内筒孔的设计规范和要求 线性流量阀的内筒和外筒轴向之间没有相对运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也有一个孔，砂浆可以从两个孔的相交部分即“过流面积”流过。内筒孔的形状应满足以下几个要求： 满足线性关系。即当内筒转动时，移动量改变单位大小时，过流面积以固定大小发生变化。 两孔相交的部分的最大面积不能超过外筒孔的面积。 内筒孔的形状也不宜太复杂。目前的科技水平，只要知道曲线的形状就可以利用数控机床在维修所需要的内筒上加工出合适的孔。但从实际加工角度考虑，内筒孔的形状过于复杂将大大增加成本且加工的精确性受到影响。二、空间问题的平面化处理为了研究问题的方便，可将问题进行平面化求解计算。主要考虑两个方面的的转化，一是对空间图形的平面化处理，二是将外筒的转动转化为平面化矩形的平动。这样既便于定量研究线性流量阀的结构特点，又能从平面的角度考虑线性关系的检验。1将阀体结构进行平面化处理把两个圆柱筒展开成平面，即为两个长方形，筒的转动转化为两个长方形的平动来思考，此时可将外筒孔近似看作在长方形上的圆孔。示意图如下： 2. 将转动近似看做平动控制流量的阀体为两个直径大致相同的同心圆柱筒，其中外筒固定，内筒旋转，当将阀体结构进行平面化处理时，内筒的转动近似看做矩形的平动，其运动过程中与外筒转化为的长方形发生相对运动。三、设计满足规范的内筒孔形状设计内筒孔的形状最关键的是寻找满足线性关系的图形，根据线性关系的定义可在规定。即当内筒转动时，移动量改变单位大小时，过流面积以固定大小发生变化。两孔相交的部分的最大面积不能超过外筒孔的面积。内筒孔的形状也不宜太复杂。1基本设计思路将问题平面化处理后，判断其是否满足线性关系主要考虑当内筒孔逐渐接近外筒孔外筒孔时，移动单位距离，过流面积的改变量是否相同，设计过程可先从规则图形为出发，研究规则图形下是否能满足设计规范，明确两种极端的情况，即在内筒转动的过程中，当外筒孔刚刚到达内筒孔的边缘和外筒孔恰好偏离内筒孔的边缘这两种情况。2设计的思维拓展设计图形的关键是切合设计规范，较易满足的是内筒孔的面积不超过外筒孔，仅需满足内筒孔径向和纵向的范围不超过外筒孔的直径即可。线性关系的满足与否是解决问题的关键，应先从规则图形出发，探讨图形的设计方案。 考虑基本多边形能否满足设计规范线性关系的满足与否主要取决于内筒孔在移动的过程移动单位距离时和外筒孔重合部分面积的改变量是否相同。考虑图形的对称性和圆的特点。对基本多边形进行检验，如图所示【图形说明】：由上图可看出，基本图形中，三角形、四边形、圆形等都不能满足较好的线性关系，因此，考虑不规则图形是否满足设计需求。 在规范下设计符合需求的图形根据以上分析，可得出两个结论，一是若满足线性关系，则图形的上下底边应近似平行；二是图形的边界尽量与外筒孔有可重合的区域。因此，在基本多边形无法满足要求的前提下，设计内筒孔的形状为：将外筒和内筒平面化处理后，结合内筒孔的形状及位置(内筒孔的面积不超过外筒孔的面积)，最终得到以下图形：3明确内筒孔的最佳位置根据题意，原则上内筒孔可利用的面积越大越好，即过流面积的最大时恰好达到内筒孔的面积。因此，内筒孔的位置在外筒孔中心轴线所在的平面时可利用率较好。将内筒和外筒平面化处理后，内筒孔的水平中垂线与外筒孔中垂线近似重合时内筒孔的可利用程度最大。下图可直观得表示出内筒孔位置在中心轴线的科学性(阴影部分为重合的区域)，示意图如下： 四、对设计形状是否满足设计要求的定量检验1、考虑是否满足线性关系设内筒孔的径向长度为，纵向长度为，外筒孔的半径为，则内筒孔的面积可表示为：设内筒的水平移动量为，则面积的改变量为： 由上式可看出当平移量一定时，面积的该变量是定值，因此，能通过选择内筒孔形状实现大范围内，使过流面积与内筒旋转角近似成线性关系，同时在最大范围 内，实际情况与严格线性关系的误差在某种意义下最小。反映在图示中如下：2、内筒孔纵向和横向的距离满足的约束假设内筒孔恰好内接于外筒孔，设内筒孔的横向长度为，纵向长度为，外筒孔的半径为，则根据圆的性质可知其满足的等式关系为： (1)由上式得纵向长度关于横向长度的表达式为： (2)3、确定过流面积的最大值根据设计的内筒孔的形状可求得当内筒孔的横纵向长度满足何比例时过流面积能达到最大，由不等式的性质得：可见，当时的值最大，即此时的过流面积达到最大。此时内筒孔的横向距离与纵向距离是相等的。5.2 设计满足实际要求的内筒孔形状5.2.1 模型的准备 一、明确实际情况中的设计要求实际上，固井机向孔壁喷射水泥砂浆时经常采用的过流面积”是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区，它是最大范围中的一段。为此，我们需了解实际情况中流量阀的特点和基本构造并明确对内筒的设计规范和要求。二确定内筒孔的设计规范和要求 线性流量阀的内筒和外筒轴向之间没有相对运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也有一个孔，砂浆可以从两个孔的相交部分即“过流面积”流过。内筒孔的形状应满足以下几个要求： 使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长（至少达最大范围区间长度的75%以上） 主要工作区的最大“过流面积”尽量大(至少要达到外筒孔面积的85%以上)，其中，固井机向孔壁喷射水泥砂浆时经常采用的过流面积”是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区，它是最大范围中的一段。 内筒孔的面积不得超过外筒孔，且内筒孔形状也不宜太复杂，且其面积不得超过外筒孔面积。三、判断连续的线性区域是否满足设计需求1、判断第一问设计的内筒孔形状是否满足设计要求根据以上思路，在问题一内的基础上的，首先判断第一问的图形是否满足内筒孔的面积的要求和线性区间的长度要求中的一个，在保证能满足其中一个条件设计的基础上对设计进行改进看是否能满足第二个条件，如果能同时满足两个条件就尽量使其内筒孔的面积及线性区间的长度尽量大，如果无法满足则对内筒孔的形状重新设计，经计算得：可见第一问设计的内筒孔形状不能同时满足对主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间至少达“最大范围”区间长度的75%以上，而且主要工作区的最大“过流面积”至少要达到外筒孔面积的85%以上两个方面的要求，应对其进行改进或重新设计。2、分析改进后的内筒孔形状是否满足设计规范在第一问的基础上，对设计形状进行改进，为了满足线性区间的长度尽量长，将图形设计为内筒孔边缘恰好与外筒孔有重合部分的形式，如图所示：经量化分析可得此种情况下不能同时满足使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间至少达最大范围区间长度的75%以上，而且主要工作区的最大“过流面积”至少要达到外筒孔面积的85%以上。对其他的可行图形进行分析得知连续的线性区域无法同时满足对线性区间长度和过流面积的要求。四、确定内筒孔的形状经以上分析得知连续的线性区域无法同时满足对线性区间长度和过流面积的要求。结合贪婪算法的思想，考虑将设计为阶梯状的结构，根据设计规范，得到内筒孔的形状如右图所示。 将外筒和内筒平面化处理后，结合内筒孔的形状及位置(内筒孔的面积不超过外筒孔的面积)，最终结合贪婪算法的思想得到以下图形： 五、定量分析并优化内筒孔的具体形状过流面积是在一个稍小的范围内，被称为主要工作区，它是最大范围中的一段。因此，在维修固井机内筒时，比较令人满意的内筒孔形状应该使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长（至少达最大范围区间长度的75%以上），而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大（至少要达到外筒孔面积的85%以上），并且使过流面积和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量地好。1、确定内筒孔面积的表达式根据上文中得到的内筒孔形状，分析当其内切于外筒空时(即过流面积最大时)，内筒孔面积的表达式。将问题平面化处理后，由圆的特殊性质可求得内筒孔的面积表达式，结合右图，设为短弦长度，为长弦长度，为短弦中点到圆心距离，为长弦中点到圆心距离，为长弦对应角度，为短弦对应角度。则由右图可知： 设为内筒孔沿轴线分为两部分时，外筒孔与内筒孔的间隙所占的面积为： （1）设长弦对应弓形部分的面积为，所对应扇形部分的面积为，长弦与圆心构成的三角形的面积为，则根据三则的位置关系和圆形的有关性质可得： （2）将(1)代入(2)整理得：设外筒孔的面积为，则内筒孔的面积可表示为：此时线性区间长度为：2、分析目标函数根据题意得知，内筒孔形状应该尽量使主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大，并且使过流面积和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量地好。因此根据以下步骤确定求解目标： 引入“接近度”的概念根据题意应将主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间尽量长（至少达最大范围区间长度的75%以上），而且主要工作区的最大“过流面积”尽量大（至少要达到外筒孔面积的85%以上）作为优化模型的主要目标，为了将两个目标统一起来，引入“接近度”的概念，分别得到线性区间长度和过流面积的接近度分别为：线性区间长度的接近度=过流面积的接近度=设圆的面积为，内筒孔的面积为，主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间线性区间长度的接近度为可表示为：，同理可设主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间为，外筒孔的半径为，过流面积的接近度可表示为：=。 确定总接近度最大为目标根据上文中得到的内筒孔形状，分析当其内切于外筒空时(即过流面积最大时)，内筒孔面积的表达式。将问题平面化处理后，由圆的特殊性质可求得内筒孔的面积表达式，结合右图，设为短弦长度，为长弦长度，为短弦中点到圆心距离，为长弦中点到圆心距离，为长弦对应角度，为短弦对应角度，则由右图可知： (1)设长弦对应弓形部分的面积为，所对应扇形部分的面积为，长弦与圆心构成的三角形的面积为，则根据三则的位置关系和圆形的有关性质可得： (2)结合题意，将主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间至少达最大范围区间长度的75%以上，且主要工作区的最大“过流面积”至少要达到外筒孔面积的85%以上这两个求解目标转化为求解总的接近度最大为目标： (3)将(1)式和(2)式代入(3)式中将目标表示为： 注：圆的面积为，内筒孔的面积为，主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间为，外筒孔的半径为，为长弦长度，为短弦中点到圆心距离。 3、明确约束条件 对主要工作区最大“过流面积”的约束根据上文中得到的内筒孔形状，分析当其内切于外筒空时(即过流面积最大时)，内筒孔面积的表达式。将问题平面化处理后，由圆的特殊性质可求得内筒孔的面积表达式，结合右图，设为短弦长度，为长弦长度，为短弦中点到圆心距离，为长弦中点到圆心距离，为长弦对应角度，为短弦对应角度，则由右图可知，设长弦对应弓形部分的面积为，所对应扇形部分的面积为，长弦与圆心构成的三角形的面积为，则根据三者的位置关系和圆形的有关性质可得： 此时线性区间长度d为：因此，将主要工作区的最大“过流面积”至少要达到外筒孔面积的85%以上这一约束表示为： 对主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间的约束结合上图，可知内筒孔主要工作区所对应的线性区间。因此，将主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间至少达最大范围区间长度的75%以上这一约束表示为： 对角度的约束如图所示，内筒孔的边界线恰好与外筒孔有相交的点，设为长弦对应角度，为短弦对应角度，将内筒孔设计为包含有分段线性区间的形式后，将问题平面化处理后内筒孔可近似看做内接于外筒孔。故将这一约束表示为：5.2.2模型的建立结合题意，及对内筒孔形状的要求，将主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间主要工作区的最大“过流面积”尽量大这两个求解目标转化为求解总的接近度最大这一目标，同时将对线性区间长度和过流面积大小的数量要求等作为约束条件构建最优化模型： 其中：【模型说明】：目标函数总的接近度最大约束条件1对线性区间长度的约束约束条件2对过流面积大小的约束约束条件3对图形边界对应圆心角的约束【符号说明】：表示长弦中点到圆心距离； 表示短弦长度；表示短弦中点到圆心距离； 表示长弦长度；表示长弦对应角度； 表示短弦对应角度；表示过流面积的接近度和线性区间长度的和，即总接近度。5.2.3模型的求解一、模型求解通过lingo求解得出第一段线性区间弧对应的角度为118.1度，第二段线性区间弧对应的角度为64.2度，内筒孔纵横向的比例为0.847，主要工作区中所对应的旋转角度的线性区间的长度达“最大范围”区间长度的85.74%，主要工作区的最大“过流面积”可达到外筒孔面积的85%。二、结