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椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用-三探椭圆周长的计算（终结篇）四川省美姑县中学 周钰承 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希望广大读者喜欢。 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是： ，参数方程是： 函数图像为：若某条光滑曲线，能用参数方程表示： ，该曲线长度可表示为： 故椭圆周长为： 其中是椭圆的离心率。下面用泰勒公式展开先由令K=1/2可得： 令可得： 所以：这个式子可以化简。因为： 所以： 这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实际计算时却只能取精确值（谁能长生不老？）。其中为长半轴，为椭圆离心率。（1）根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1： Private Sub Form_Click ( ) a = 1 : 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值b = 0.15 : 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换 e = sqr(1-b*b/a/a) : 椭圆离心率 k0 = 0.25*e2 : （1）式括号中的第二项 s = 1-k0 : （1）式括号中的前二项 for I = 2 to 1000000 : 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟 k = k0*(2*I-1)2/(2*I)2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e : (1) 式括号中的某一项 s = s k : 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值 k0 = k : 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0 next I : 循环 print 2*3.1415926535*a*s : 打印或显示计算结果 End Sub 椭圆周长 1 0.00 4.0000000000 1 0.01 4.0010983297 1 0.10 4.0639741801 1 0.25 4.2892108875 1 0.50 4.8442241100 1 0.75 5.5258730400 1 0.90 5.9731604325 1 0.99 6.2518088479 1 1.00 6.2831853070表1.椭圆周长真值的分布项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。 为了估计误差，我们设，则周钰承标准公式为：（2） 这个公式中，主干为，我们可以把（3）称为误差多项式。假如要求我们误差率低于，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设，则误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：因为（注意）：所以只须：（4）公式（4）称为周钰承标准公式（2）的误差公式。取满足不等式（4）的最小整数，为此，我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到第几项，计算所得的值在给定误差率的情况下是准确的。注意：计算到误差多项式第n项，就是周钰承标准公式（2）括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2，就算到误差多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。如n-1.86745.则周钰承标准公式中，中括号里应该算到4次方项。因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。二、两个高精度的椭圆周长初等公式如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当高的精确度。但当时，算得:,即用到误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一。为此，我们可以根据周钰承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决甚至更小时的计算问题。设，则我们改造函数模型，考虑到函数的表达式具有三个重要特征：1.各项均含有因式；2.当时，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，椭圆周长趋近两倍长轴长，即，此时。因此，我们构建函数模型：（5）（5）式中是自变量，为待定系数。为了拟合函数，我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标：，依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组，得到的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：。把上述值代入函数（5），得：，再把代入并化简得到椭圆周长近似公式：（6） 笔者取3.141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商。 公式（6）C 椭圆周长真值 误差 1 0.003.992440664 4.0000000000 -0.0019 1 0.01 3.995390384 4.0010983297 -0.0014 1 0.10 4.063151007 4.0639741801 -0.00020 1 0.25 4.289158624 4.2892108875 -0.000012 1 0.50 4.844223672 4.8442241100 -0.00000009 1 0.75 5.525873040 5.5258730400 -0.0000000001 1 0.90 5.973160433 5.9731604325 -0.0000000000 1 0.99 6.251808848 6.2518088479 -0.0000000000 1 1.00 6.283185307 6.2831853070 0.00000000000表2例1 如图，椭圆长半轴是3，短半轴是2，计算阴影部分的面积和弧AB的长(保留)。 椭圆面积公式是一个标准公式。我们可以用截面斜截一个圆柱，然后割补圆柱，使底面变为椭圆，由于底面积乘高是一个不变量，根据这个不变量列出等式，只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积，弧AB的长度是椭圆周长的四分之一。故： 面积： 因为，可用公式（6）。，得： 。（这个数误差低于一亿分之一）接下来处理表2中特别是当时的误差。将公式改写成关于的函数式，则：（7）式中。公式（7）称周钰承椭圆周长初等公式。值得注意的是，通常情况下我们用公式（6）即可（即公式（7）中前部分。因为的椭圆在生活与工程中实为罕见；并且，当时，这部分的值非常小，没有计算的必要。公式（7）计算椭圆周长的误差约为一亿分之五，见表3： 公式（7）C 椭圆周长真值 误差 1 0.004.000000000 4.0000000000 0.0000000000 1 0.01 4.001098516 4.0010983297 +0.000000047 1 0.10 4.063974075 4.0639741801 -0.000000026 1 0.25 4.289210872 4.2892108875 -0.000000003 1 0.50 4.844223899 4.8442241100 -0.00000004 1 0.75 5.525873040 5.5258730400 -0.0000000001 1 0.90 5.973160433 5.9731604325 -0.0000000000 1 0.99 6.251808848 6.2518088479 -0.0000000000 1 1.00 6.283185307 6.2831853070 0.00000000000表3：周钰承椭圆周长初等公式函数值分布表用上述这个周钰承初等公式计算，只需要带有函数的计算器或者百度计算器等，便可解决任何情形下的椭圆周长计算问题。下面介绍中国椭圆周长公式，它是目前精度最高的初等公式。 其中。（8）公式中第二项为笔者所改变，改变后在甚至更小时，比中国椭圆周长原公式精度提高了一万倍以上，为其它值时精度也有所提高（这些值原公式的误差就非常低），多数情况下省去第二项进行计算。该椭圆周长公式精确度低于十亿分之一，为目前世界上不用程序即可计算的精确度最高的初等公式。用法1：首先复制下列字符，把a、b改成你想要的数字，再粘贴到百度输入栏按等号即可。pi*(a+b)*(1+3*(a-b)/(a+b)2/(10+sqrt(4-3*(a-b)/(a+b)2)+(4/pi-14/11)*(a-b)/(a+b)(14.233+13.981*(a-b)/(a+b)6.42)例如：若A=4，B=1时，把下式粘贴到百度高级输入栏。pi*(4+1)*(1+3*(4-1)/(4+1)2/(10+sqrt(4-3*(4-1)/(4+1)2)+(4/pi-14/11)*(4-1)/(4+1)(14.233+13.981*(4-1)/(4+1)6.42)用法2：用带有函数的学生计算器计算，分两步分别计算两项即可完成全部计算。三、椭圆周长公式集锦及评价 此处列举了十七个椭圆周长公式，请读者根据自己实际需要选择其中一两个进行运用，希望大家能喜欢这些公式中某一或某些。一、 L1 = qn/ atan(n) (ba，q=a+b，n=(a-b)/a)2这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般，要用到反三角函数，实用性一般，综合得分50。 二、 L2 = /(/4) (a- c+ c/sin) (b0，c=(a2-b2)，=acos(a-b)/a)1.1) 这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导的，精度一般，实用性较差，综合得分50。 三、 L3 = q(1 + mn) (q=a+b，m=4/-1，n=(a-b)/a)3.3) 这是根据圆周长公式推导的，精度一般，实用性一般，简洁性较好，综合得分60。 四、 L4 = (2a2 + 2b2) (1 + mn) (m=2(2/)-1，n=(a-b)/a)2.05) 这是根据椭圆a=b时得基本特点推导的，精度一般，整齐有序，综合得分60。 五、 L5 = (4ab2 + 15(a-b)2) (1 + mn) ( m=4/(15)-1 ，n=(a-b)/a)9 ) 这是根据椭圆a=b，c=0时是特点推导的，精度较好，实用性较强，不利于笔算口算，综合得分70。 六、L6= 2(a2+b2) 精度较差，实用性一般，简洁好记，不利于口算，综合得分50七 、L7=3/2(a+b)-(ab) 精度较好，实用性强，数字合适可以笔算和口算，整洁美观，综合得分75。八、L8 = q(1 + 3h/(10 + (4-3h) (1 + mn) ( q=a+b，h=(a-b)/(a+b)2， m=22/（7）-1，n=(a-b)/a)33.697) 这是中国椭圆周长公式，精度很高，实用性强，无法笔算口算，综合得分90。九、L9=4ab+(a-b)2/(a+b)这是笔者周钰承根据极限与面积推导的公式，精度较好，实用性强，可以笔算和口算，整洁美观，综合得分75。十、L10=（a+b）3(a+b)- (3a+b)(a+3b)这是印度椭圆周长公式，精度高，适用性较强，美观整洁，不利于笔算与口算，综合得分80。十一、L11=2b+4(a-b)精度较差，简洁，可快速口算或笔算，综合得分60。十二、带误差公式的有限多项式公式（初等公式）。误差公式：，其中，为给定误差率指标，且取满足不等式的最小整数。（当n的最小整数取值小于2时，取n=2.），在给定误差率的情况下，这个值是准确的。保留时很多情况下可以笔算甚至口算。例如，当是大于或者等于0.3的一位小数或者或者分母小于10的既约真分数，误差率要求低于万分之一时，此时n=2，故可笔算甚至口算。缺点是当取值非常大时，计算项数太多。综合评分95。十三、L13=，其中此公式精确度高，实用性强，保留圆周率和分数形式时，数值合适可以笔算甚至口算，综合得分85。十四、其中。这是中国椭圆周长公式的加强版，为有限次计算的初等公式，是检验其它近似公式的试金石，只