2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件教案（含解析）新人教B版.docx

2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学 习 目 标核 心 素 养1会用坐标表示平面向量共线的条件(重点)2能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题(重点、难点)通过向量共线条件的坐标运算及应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.两个向量平行的坐标表示选择基底e1，e2(1)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b2a2b10.(2)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，如果向量b不平行于坐标轴，即b10，b20，则ab.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例思考：如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如：向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向向量(1,2)与(3,6)同向；向量(1,0)与(3,0)反向1设kR，下列向量中，与向量a(1，1)一定不平行的向量是()Ab(k，k)Bc(k，k)Cd(k21，k21)De(k21，k21)C由向量共线的判定条件，当k0时，向量b，c分别与a平行；当k1时，向量e与a平行对任意kR,1(k21)1(k21)0，a与d不平行2已知向量a(3，x1)，b(1,2)，若ab，则实数x的值为()A5B6C7D8Cab，32(x1)0，解得x7.3已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则x_.6A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)，(1,1)，(4，x2)，又A，B，C三点共线，故x240，解得x6.判定直线平行、三点共线【例1】(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A(9,1)B(9，1)C(9,1)D(9，1)(2)已知四点坐标A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？(3)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路探究(1)利用向量的平行条件x1y2x2y10，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线(1)C设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.(2)解：因为(1,5)(1,1)(2,4)，(4,11)(1，1)(5,10)，(2，1)(1,1)(1，2)，所以2，5.所以.由于与，有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合故直线AB与CD不平行(3)解：因为(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)又因为22410，所以.又因为(1(1)，5(1)(2,6)，(2,4)，所以24260，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以ABCD.三点共线的条件以及判断方法：(1)已知A，B，C三点共线时可转化为，可利用向量共线的条件求解(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点1设O是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(10k，k12)，又A，B，C三点共线，(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.即当k2或k11时，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】(1)已知向量a(x,3)，b(3，x)，则存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.其中，所有叙述正确的序号为_(2)已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路探究(1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决(2)可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向(1)由abx29无实数解，故不对；又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29无实数解，故不对；因为mab(mx3,3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0，即x29无实数解，故不对；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正确(2)解：由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)所以当k时，kab与a3b平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式a1b2a2b10直接求解2已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.2a(1,2)，b(2,3)，ab(，2)(2,3)(2,23)向量ab与向量c(4，7)共线，7(2)4(23)0，2.向量共线的综合应用【例3】如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标思路探究先设出点P坐标，利用共线条件求解解设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)1关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解2本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用3如图，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标解设(111,62)(10，4)由题意知(11,1)，(1011,41)又(8,4)，且与共线，4(1011)8(41)0，解得.设点P的坐标为(xp，yp)，(5,2)(xp1，yp2)，即故点P的坐标为(6,4).共线向量与中点坐标公式探究问题1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示如图所示，P为P1P2的中点，()，线段P1P2的中点坐标是.2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，().当时，().3当时，点P的坐标是什么？提示()，(x1，y1)(x2，y2)，P.【例4】已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标思路探究点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论解设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为或(5,8)在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论4已知ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐标解如图，延长AG交BC于点D，G为ABC的重心，D为BC的中点，()()().综上所述，G的坐标为.(教师用书独具)1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据1已知向量a(2，3)，b(3，)，若ab，则()AB2CDCab，23(3)0，.2以下命题错误的是()A若i，j分别是与平面直角坐标系中x轴，y轴同向的单位向量，则|ij|ij|B若ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则必有C零向量的坐标表示为(0,0)D一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标B设i(1,0)，j(0,1)，则ij(1,1)，ij(1，1)|ij|ij|，故A项正确；零向量与任何向量平行，若a(0,0)，则无意义，故B项错误；根据向量的坐标表示可知C、D项正确3与向量a(1,2)平行，且模等于的向量为_(1,2)或(1，2)因为所求向