等比数列求和公式的变形及运用.doc

等比数列求和公式的变形及运用28数学篇数理化解题研究)2oo8年第3期口=口l+2口2+3a3+(n一1)口一l(n2J于日城得n2),即+l?答案:口=r1(n=1),i譬(n(2)设是首项为1的正项数列,且(n+1)口2+l一,m:+口口+l:o(n=1,2,3),求口.(答案:口=)类型6已知数列口中,口=詈,口=口+(),求口.(答案:口=一)类型7已知口l=1,口2=2,4a+2=4a+l一口,求口.(答案:口=3n-2)类型8已知口=1,口=3a.,求口.(答=熹)类型9设口=3,口=5n-4,求口.(答案:口nJ类型10已知口=2,口=3a:,求口.(答案:类型11(1)已知口>O,S=百1(口+2),求口?(此题宜用例11中的解法一,不宜用法二,答案:口=4n一2)(2)已知口=1,3S:=口(3s一1)(n2),求口.(此题宜用例11中的解法二,不宜用法一:当n2时,口=S一S一代入条件中,得3S:=(S一S)(3S一1)(n2),即3SS一=S一一S.两边同除以ss,得一1=3(n2)-.数列1是首项为1,公差为3的等差数列,以下略.答案:口fl(n=1),i()类型12设口=p,口=,求口.(答翱=)湖南省新晃一中(219200)杨长录本文就等比数列求和公式的推导,变形及运用,略举数例,期望对于学生解题能有所启迪.一,等比数列的求和公式的几种推导方法公式l二:(g1).1一qlq方法一利用错位相减法可见人教版普通高中课程标准实验教科书数学5第62页,这里略.方法二用等比性质在等比数列口中,有口g0,4口0,3=s一口l+口2+口nln一口n一口1一口q口ngjn=.方法三用乘法公式?.一Y=(一),)(一+n-2Y+xy一+Y),.?.1一q=(1一q)(1+q+g+g一)jl+g+g+g=-卫.又口t0,所以口+alq+alq2+口gn-1=,数理化解题研究)2oos年第3期数字篇29PIS.-.二,等比数列求和公式的变形变形1S+=S+qmS,特别地,S2一S=s.证明Sm+n=nl+n2+n3+nm+nm+1+nm十2+nm+=Sm+qm(n1+n2+n3+n)=Sm+qmS.变形2当q1时,Sm=.证明当q1时,s=,s=竺二!:21一q.一S一1一q变形3当q1时S:.证明当q1时,有s=n(1一q)1一qS1一(q)1-q1一q一1一q变形4Sms=19Y-_q(S+s一s+).ff.ft.sm=,Sn-,?SINS.=南(卜q卜q南?卜)(卜q)(1一q)+(1一q)一(1一q)=1q+1q一1q=1q(SmL一.一一J一,m+S一S+).三,公式变形的综合运用例1一个等比数列的公比为2,且S=1,则S.解由变形1得S8=s4+q4S4=1+2X1=17.例2各项都是实数的等比数列n,前n项和记为S.若S0=10,S30=70,则s柏等于()(A)150(B)一200(C)150或一200(O)4OO或一50分析此题系一道全国高中数学联赛题.利用等比数列的性质及以匕规律.可找到该题的多种解题途径.设该等比数列首项为n,公比为q,由题意知q1.解法一Sn-,得仨1一q.)1-q1一q)1-q=10,=30.整理得q幻+qm一6=0.解出q加=2(q加=一3舍去)=一10?.s柏:l二:一10(124):150.故选1.柏一一口一一,一(A).解法二由等比数列的性质知:S.,S一S.,S一S20,S柏一s30成公比为qlO的等比数列,则S30=s0+(S20一$1o)+(S30一$2o)=Sl0+qlSl0+q20Sl0,即q20+qm一6=0qm=2.所以S柏=S30+q30S10=70+8X10=150.故选(A).解法三由变形1知s柏=S30+q30S0.又S0>0,q>0,S30>0,所以S柏>0.从而排除(B),(C),(D),故选(A).解法四由变形1得S30=S20+q20Sl0=Sl0+q旧Sl0+qSl0q20+qm一6=0q加=2(qm=一3舍去).所以S柏=S30+q30Sl0=70+2.X10=150.选(A).解法五由变形2得=芋+qm一6=.qlO=2.又=i1一-qqS=150.故选(A).:,3得.由得qm=2.代人得S柏=150.故选(A).方法七由上述方法得qm=2,代人S.=.由变形4得ss.s.=i-q(ss.+s.一s柏)s柏30数学篇数理化解题研究2伽年第3期150.故选(A).四,用于解课本习题例3已知数列0是等比数列,.s是其前项和,0,0,0成等差数列,求证2.s,.s6,.s砼一.s6成等比数列.证明由01,07,04成等差数列,有2a7=01+042a1q=01+01q=>2g一q一1=0=>g=一或q:1.一1$31_q3=毒.所以2S3?(S2一S6)=2?2S6?q6S6:S:.当q=1,即q=1时,2S3=2?3al=6a1,S66a1,S12一S612a16a1=6a1,也有2.s3?(S2一S6)=S:.所以2S3,S6,S:一S6,成等比数列.点评用上述变形解题,方便快捷,减少运算量.五,用于灵活解高考题例4设等比数列0的前项和为S,已知S:1,S.=17,求0的通项公式.解法一设0的公比为q,由=1,S.=17,知g1,f一1.由,得q+1=17,.q=16g:2.将g2代入得.吉.?.吾?将g=一2代人得.=一.?.=(一1)?25解法二设0的公比为q,由S=1,S.=17,知g1.由S8:S4+q?.s4=.s8一S4=q4S4=g:16=g:2.当g=2时,由三=?,得.=.=2一百.将g=一2时,由:1,得.:一.:例5已知t0是首项为2,公比为的等比数列,S是它的前项和,用S表示S解法一S+1=S1+qS=2+-.解法二由.s=4(121-.)s:4(1一)=十2一例6设等比数列0的前项和为S.若S+S=2S,求此数列的公比.解由题意知g1,且00,g0.S6=+q3S3=.s9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3:S3(1+q+q6).又S3+S6:2S9=>.s3+S3+q3S3=2S3(1+q+q).?.S30,.2+q=2(1+q+q)=>g(2q+1)例7已知数列0是首项为0且公比q不等于1的等比数列,.s是其前项和,0,2a,3a成等差数列.证明:12S3,S6,S:一.s成等比数列.证明由题意知,010且q1.又01,2a7,3a4成等差数列07=01+3a4401?q:01+3a1?qg一3q一1=0(g一1)(4q+1)=0q3=一(q=1舍去).童:争.1一一3)一3)而.