九年级数学下册 第3章 圆 3 垂径定理课件 （新版）北师大版.ppt

九年级数学 下新课标 北师 第三章圆 3垂径定理 学习新知 如右图所示 圆材埋壁 是我国古代数学著作 九章算术 中的问题 今有圆材 埋在壁中 不知大小 以锯锯之 深一寸 锯道长一尺 问径几何 用几何语言可表述为 CD为 O的直径 弦AB CD于E CE 1寸 AB 10寸 则直径CD的长为多少 问题 当弦AB CD时 你能得出哪些相等的线段 相等的弧 相等的角 垂径定理 做一做 如右图所示 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为M 问题1此图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 这个图是轴对称图形 对称轴是直径CD所在的直线 问题2你能发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由 将这个图沿着直径CD折叠 发现AM与BM重合 CMA与 CMB重合 DMA与 DMB重合 重合 重合 所以等量关系有AM BM CMA CMB 90 DMA DMB 90 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 垂径定理的注意事项 1 条件中的 弦 可以是直径 2 结论中的 弧 指平分弦所对的劣弧 优弧 符号语言 CD是圆的直径 CD AB于M AM BM 垂径定理的证明 如右图所示 已知AB是 O的一条弦 CD是 O的一条直径 并且CD AB 垂足为M 求证AM BM 证明 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM AOC BOC AOD 180 AOC BOD 180 BOC AOD BOD 知识拓展 1 垂径定理是在圆中证明线段相等及弧相等的一种非常好的方法 2 连接半径是圆中最常用的辅助线作法 垂径定理的逆定理 如右图所示 AB是 O的弦 不是直径 作一条平分AB的直径CD 交AB于M 1 此图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由 思考下面的问题 1 类比垂径定理的语言描述 你能总结得出结论吗 2 平分弦中的弦可以是直径吗 3 你得出的结论和垂径定理有什么区别 我们把 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 称为垂径定理的逆定理 符号语言表示 CD是圆的直径 CD平分AB AB不是直径 CD AB 知识拓展 垂径定理及逆定理的运用方法为知二推二 在 直径 垂直于弦 平分弦 平分弧 四个结论中 已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论 如右图所示 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中 点O是所在圆的圆心 其中CD 600m E为上一点 且OE CD 垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解析 连接OC 根据垂径定理可得CF 300m 设圆弧的半径是R OF R 90 OC R 在Rt OCF中 根据勾股定理可得OC的长 即可求得半径 解 如图所示 连接OC 设弯路的半径是R 则OF R 90 m OE CD CF CD 600 300 m 在Rt OCF中 根据勾股定理 得OC2 CF2 OF2 即R2 3002 R 90 2 解这个方程 得R 545 所以这段弯路的半径是545m 检测反馈 1 如图所示 O的半径为5 弦AB的长为8 点M在线段AB 包括端点A B 上移动 则OM的取值范围是 A 3 OM 5B 3 OM 5C 4 OM 5D 4 OM 5 解析 当M与A或B重合时 OM达到最大值 即圆的半径5 当OM AB时 OM取最小值 为 3 故OM的取值范围是3 OM 5 故选A A 2 如图所示 在 O中 OC 弦AB于点C AB 4 OC 1 则OB的长是 解析 OC 弦AB于点C BC AC AB 4 2 在Rt OBC中 OC 1 BC 2 OB 故填 3 如图所示 AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为P 若CD 8 OP 3 则 O的半径为 解析 连接OC CD AB CD 8 PC CD 8 4 在Rt OCP中 PC 4 OP 3 OC 故填5 5 4 如图 1 所示 水平放置的一个油管的截面半径为13cm 其中有油部分油面宽AB为24cm 求截面上有油部分油面高CD 解析 根据垂径定理 易知AC BC的长 连接OA 根据勾股定理即可求出OC的长 进而可求出CD的值 解 如图