论文--函数凸性证明不等式的应用.doc

函数凸性在证明不等式中的应用摘 要 本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义；随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质，其中重点把握凸函数的Jensen不等式。在此基础上，建立凸函数框架统一证明初等不等式，并推证一些著名不等式，如Holder不等式等，显示出函数凸性在不等式证明中的重要性；最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用，以及在数学分析中的应用。关键词：函数凸性 证明不等式 Jensen不等式 1函数凸性证明不等式的应用1 凸函数的定义 函数凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。1.1解析定义1.1.1定义 设定义在上。，及，恒有, 则称为上的凸函数，并称曲线在上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数在上是下凸的。若不等式当且仅当时成立，则称是在上的严格凸函数。 1.1.2定义 设函数在上连续，,有 ， 那么称函数为上的凸函数，并称函数在上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数在上是下凸的。注:若为区间上的下凸函数，则为区间上的凸函数。从而上凸函数特征的讨论对下凸函数也适用。定义2是定义1中仅取时的情形，从而定义2的条例弱于定义1。1.2几何解释 1.2.1上凸函数是描述平面所定义区域上一条“上凸曲线”，图象的任一弦上的某点，在对应的弧上的点的下侧如（图1）图1 同理，下凸函数的情况只是反向的，即。 1.2.2在初等数学中，函数的凸性可根据图象来判定，如图1-2所示，在上是上凸的，而在上是下凸的。图 2 1.2.3在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的：对任意的，如果0，那么在上是下凸的。1.3直观描述性定义1.3.1如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，则相应的函数称为凸函数。1.3.2如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方，则相应的函数是凸函数。2 函数为凸的必要充分条件（即判定定理）2.1函数为凸的必要充分条件 设是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的，单变量函数是上的凸函数。 证明：(1)充分性：设g()是0，1上的凸函数，取，则对1，有，即 故为上的凸函数。 （2）必要性：设为S上的凸函数，假定，Ol，欲证，令，则 ，由的凸性，即。2.2凸函数的判定定理 2.2.1定理 设在内有二阶导数，则为凸函数的必要充分条件是 。 证明：先证0，取，则上式可写成。由中值定理，存在，使。再用一次中值定理，便得，此即说明0成立，因此。由上定理1，可得出定理2。 2.2.2定理 若函数是内具有一阶和二阶的导数，恒有，则曲线在区间上对定义1、定义2都是上凸的。3 凸函数的性质 3.1对任意的，如果0，则不等号方向相反。等号当且仅当时成立。3.2Jensen不等式 3.2.1定理（Jensen）设为定义在定义1的凸函数，则对任意的实数，且，有， 等号当且仅当时成立。 证明 用数学归纳法。时，由凸函数的定义1中的式，且等号仅在时成立，从而结论成立；设时式成立且等号仅在时成立。当时，设，记则 ，从而且，有 等号仅在时成立。又由归纳假设，有因此 ，即 ，且等号仅在，从而等号仅在时成立。综上所述，定理得证。 3.2.2 Jensen不等式还可变形为以下形式： 3.2.2.1设函数为上的严格凸函数，0，且，则有 成立。当且仅当时等号成立。3.2.2.2函数为区间上凸函数，当时，有， 当且仅当时等号成立。4 函数凸性在证明不等式中的应用4.1在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值证明上述不等式用到数学归纳法，其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明。证明时构造一个恰当的函数则是证明的关键。 例1：设0，证当且仅当所有全部相等时，等号成立。证明 要利用Jensen不等式来证明，关键是找出合适的凸函数观察不等式的形式，易知两边取对数变成，这就很容易找到合适的凸函数了。首先考察（0）的凸性。因为0，由定理1知，是上严格凸函数。由Jensen不等式知，当0，不全相等时有及 0，0，则， 当且仅当时等号成立。 证明 令，设函数，则，0，可知为严格凸函数。令，,，由Jensen不等式可知：，即：，所以：，即整理得Holder不等式：成立。其中当，时等号成立，即为：时等号成立。 例3：（Young不等式）若0，0，0，0，0且，求证：。 证明 从所求的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同时取自然对数，则有0），因为0。由定理1知，在0时为凸函数，因为有0，0，所以于是，即 。 特别地，当，时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。Young不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广。4.3 函数凸性在证明一些几何和三角函数不等式中的精巧妙用 例4：设，证明：证明 取，它是上的凸函数，由Jensen不等式，得所以 特别地：如果在这个不等式中，令则得； 对于三角形的三个内角、，有 例5：设，证明：。证明 先将原不等式化为，因为为上的凸函数，故当0，0时，有，令，则，而 ，所以 这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数，巧妙地令，便可很方便地证得。4.4 对于数学分析、泛函分析中一些重要不等式，利用函数凸性也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明例6：设在上可积，,是上的凸函数，则。证明 由Jensen不等式，有，令，则有。由于可积，为凸函数，故可积。上式中令，取极限，即得到。特别地，若在上连续，且0，取，则有。前例结合凸函数的定义，可得不等式：设是区间上的凸函数，,则。5 结束语 本文利用凸函数的定义与凸函数的Jensen不等式这两个重要方面来证明不等式，需要巧妙地构造函数及选取适当的，此法虽具有一定的构造性，但是能使十分复杂的问题迎刃而解，这也就是J凸函数奇妙之处。参考文献：1查鼎盛，余鑫晖，黄培铣.初等数学研究M.广西师范大学出版社，1997，314.2褚玉明.解析不等式新论M.哈尔滨工业大学出版社，2009，063胡克.解析不等式的若干问题M.武汉大学出版社.2007,100.4崔雅莉.凸函数与不等式J.科教导刊，2011（22）.5尚亚东，游淑军.凸函数及其在不等式证明中的应用J.广州大学学报（自然科学版），2005,4（1）.6高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用J.沧州师范专科学校学报，2003，19（3）.7邓卫兵.凸函数与不等式J.哈尔滨商业大学学报（自然科学版），2005，21（4）.8燕建梁，张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用J.太原教育学院学报，2002，20（4）9周再禹.巧用函数凸性证明不等式J.兰州教育学院学报，2006（4）10寇业富.不等式的证明J.数学的实践与认识，2003，33（6）13揭阳职业技术学院毕业论文（设计）指导进度表第一次指导意见论文（设计）选题、提纲：教师签名： 年 月 日第二次指导意见（初稿