课题学习最短路径

八年级上册数学 13 3 6课题学习最短路径问题 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 3 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 如图 追问1对于问题2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 追问2你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点B 吗 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 问题2如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 证明 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 追问1证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 追问2回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 如图 牧马人从A地出发 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到B处 请画出最短路径 解 沿AC CD DB路线走是最短的路线如图 1 所示 证明 在ON上任意取一点T 在OM上任意取一点R 连接FR BR RT ET AT A E关于ON对称 AC EC 某班举行文艺晚会 桌子摆成两直条 如图1中的AO BO AO桌面上摆满了桔子 BO桌面上摆满了糖果 坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果 然后回到空座位D上 请你帮助他设计一条行走路线 使其所走的总路程最短 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线