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简单曲线的极坐标方程 3 极坐标与直角坐标的互化公式 复习 1 极坐标系的四要素 2 点与其极坐标一一对应的条件 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的正方向 探究 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 x C a 0 O M A 曲线的极坐标方程 一定义 如果曲线 上的点与方程f 0有如下关系 曲线 上任一点的坐标 所有坐标中至少有一个 符合方程f 0 以方程f 0的所有解为坐标的点都在曲线 上 则曲线 的方程是f 0 二求曲线的极坐标方程的步骤 与直角坐标系里的情况一样 建系 适当的极坐标系 设点 设M 为要求方程的曲线上任意一点 列等式 构造 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式 将等式坐标化 化简 此方程f 0即为曲线的方程 例1 已知圆O的半径为r 建立怎样的极坐标系 可以使圆的极坐标方程简单 你可以用极坐标方程直接来求吗 练习1 求下列圆的极坐标方程 中心在极点 半径为2 中心在 a 0 半径为a 中心在 a 2 半径为a 中心在 0 半径为r 2 2acos 2asin 2 02 2 0cos r2 解 设P 为圆周上任意一点 如下图所示 在 OCP中 CP r OC 1 OP 根据余弦定理 得CP2 OC2 OP2 2OC OP cos 1 即r2 21 2 2 1 cos 1 也就是 2 2 1 cos 1 21 r2 0 这就是圆在极坐标系中的一般方程 练习2 1 以极坐标系中的点 1 1 为圆心 1为半径的圆的方程是 A 双曲线B 椭圆C 抛物线D 圆 D C 思考 在平面直角坐标系中过点 3 0 且与x轴垂直的直线方程为 过点 2 3 且与y轴垂直的直线方程为 x 3 y 3 四直线的极坐标方程 例1 求过极点 倾斜角为的射线的极坐标方程 2 求过极点 倾斜角为的射线的极坐标方程 3 求过极点 倾斜角为的直线的极坐标方程 和 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 例2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线L的极坐标方程 学生们先自己尝试做 解 如图 建立极坐标系 设点 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 为直线L上除点A外的任意一点 连接OM 交流做题心得归纳解题步骤 求直线的极坐标方程步骤 1 据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接MO 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 练习1求过点A a 2 a 0 且平行于极轴的直线L的极坐标方程 解 如图 建立极坐标系 设点为直线L上除点A外的任意一点 连接OM 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 sin a IOMIsin AMO IOAI 课堂练习2设点A的极坐标为 直线过点 解 如图 建立极坐标系 设点 为直线上异于A点的任意一点 连接OM 在中 由正弦定理得 即 显然A点也满足上方程 A且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 化简得 例3 设点P的极坐标为 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 设点 的任意一点 连接OM 则 为直线上除点P外 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A 则在中 由正弦定理得 显然点P的坐标也是上式的解 即 练习3求过点P 4 3 且与极轴夹角为 6的直线的方程 直线的几种极坐标方程 1 过极点 2 过某个定点垂直于极轴 4 过某个定点 且