有理数域上多项式的因式分解本科毕业论文.docx

有理数域上多项式的因式分解内 容 摘 要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域 多项式 因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring 目 录一、多项式的相关概念1（一）一元多项式和一元多项式环的概念1（二）多项式整除的概念2二、有理数域上的多项式的可约性3（一）有理数域与实数域和复数域的区别3（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念3（三）本原多项式的基本内容41.本原多项式的概念42.本原多项式的性质4（四）判断多项式在有理数域上的可约性51.爱森斯坦(Eisentein) 判别法52.布朗（Brown）判别法63.佩龙（Perron）判别法64.克罗内克(Kronecker)判别法75.反证法76.有理法（利用有理根）87.利用因式分解唯一性定理88.综合分析法8三、多项式的有理根及因式分解9（一）求根法9（二）待定系数法9（三）重因式分离法10（四）应用矩阵的初等行变换法10（五）利用行列式的性质11四、结论12参 考 文 献13序言 代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次） 李颖.一元低次方程求解的一般方法J.大庆师范学院学报，2006，30（2）：36-38.，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1 设n是一非负整数，表达式anxn+an-1xn-1+a0其中a0，a1，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式. 刘振宇.多项式理论中的标准分解式结构J.枣庄学院学报，2006，23（2）：12-13.多项式可以加、减、乘，例如：2x2-1+x3-2x2+x+2=x3+x+12x2-1x2-x+1 =2x4-2x3+2x2-x2+x-1 =x4-2x3+x2+x-1根据上述式子的计算，可以看出数域P上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域P上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为Px，P称为Px的系数域. 李林. 基于NTL平台的因式分解模块的实现D.四川：电子科技大学，2010.之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域P上的多项式环Px中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设fx=3x3+4x2-5x+6gx=x2-3x+1接下来，我们作除法：x2-3x+1 3x3+4x2-5x+6 3 x2-9x2+3x 13x2-8x+6 13x2-39x+13 31x-73x+13 于是，求得商为3x+13，余式为31x-7，所得结果可以写成下列形式：3x3+4x2-5x+6=3x+13x2-3x+1+(31x-7)定理1（带余除法） 对于Px中任意两个多项式f(x)和gx，其中gx0，一定有Px中的多项式qx,rx存在，使fx= qx gx+ r(x)成立，并有 rx(gx)或rx=0，并且这样的qx,r(x)是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式q,x,r,(x)使fx= q,x gx+ r,(x)成立，其中 r,x(r,x- rx)所以上述式子不可能成立，这也证明了qx=q,x，同时r,x= rx定义3 数域P上的多项式qx通常称作gx整除fx，存在数域P上的多项式hx使等式fx= gxhx成立，我们用“gx| fx”表示gx整除 fx，用“g(x) | f(x)表示gx不可以整除 fx.当gx| fx时，gx就称为fx的因式，fx称为 gx的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和0；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数 肖远琼.浅谈数学单元总结的具体要求J.教育科研，2012，（8）：80-80.所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母Q表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母R表示.再次，复数是写成如下形式a+bi的数，a和b是实数，i是虚数单位，是实数和虚数的统称，用字母C表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域P上次数1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性） 数域P上每一个次数1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.而唯一性是指，若有两个分解式fx=p1xp2xpsx=q1xq2(x)qt(x)那么必有s=t,根据因式的次序适当排列得到pix=ciqi,i=1,2,s其中ci(i=1,2, ,s)属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上多项式因式分解的差异.如:分别求多项式x4-4在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.在复数域上这个多项式的因式分解为 x+2x-2x+2ix-2i在实数域上这个多项式的因式分解为 (x2+2)(x+2)(x-2)在有理数域上这个多项式的因式分解为 (x2+2)(x2-2)从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义5 设g(x)=bnxn+bn-1xn-1+b0是非零的整系数多项式，如若g(x)的系数bn,bn-1, ,b0互素，就称g(x)是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都能表示为一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积，即fx=r g(x).由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若fx=rgx=r1g1(x),且r,r1是有理数，gx, g1(x)是本原多项式，那么必定有r=r1,gx=g1(x).因为多项式fx和本原多项式gx只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此fx的因式分解问题可以归结为本原多项式gx的因式分解问题.所以我们可以讨论本原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1(高斯(Guass)引理) 设fx与gx为两个本原多项式，那么他们的乘积hx=fx gx也是本原多项式.性质2 设fx是非零整系数多项式，若fx分成为两个有理数域上的多项式gx与hx的乘积，且gxfx,hxn+4，则fx在Q上不可约.例3：证明fx=2x3-x2+x-1在Q上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断fx满足爱森斯坦(Eisentein) 判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦(Eisentein) 判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗（Brown）判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：f0=-1，f1=1，f-1=-5，f-2=-23，f3=47故而，Np4, N12所以得到Np+2 N183+4由此根据布朗（Brown）判别法可知，fx在有理数域上不可约.3.佩龙（Perron）判别法定理5 设fx=xn+an-1xn-1+a1x+a0a00,aiZ,i=0,1,n-1是整系数多项式，若此系数满足an-11+an-2+an-3+a1+|a0|，则fx在有理数域上不可约.例4：证明fx=x5+4x4+x2+1在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断fx满足爱森斯坦(Eisentein) 判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦(Eisentein) 判别法，但是我们可以看出多项式fx满足佩龙（Perron）判别法的条件.因此根据佩龙（Perron）判别法定理以及题目得出41+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克(Kronecker)判别法定理6 设fx=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是一个整系数多项式，可以在有理数域上将fx分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明fx=x5+1在有理数域上不可约.证明：s=2，取a0=-1,a1=0,a2=1，则有f-1=0，f0=1，f1=2因此，f-1的因子为0，fx的因子为1，fx的因子为1,2故令g-1=0， g0=1， g1=1； g-1=0， g0=1， g1=2应用插值多项式得g1x=0+(x+1)(x-1)(0+1)(0-1)+(x+1)(x-0)(1+1)(1-0)=-12(x2-x-2)g2x=0+(x+1)(x-1)(0+1)(0-1)+2(x+1)(x-0)(1+x)(1-0)=x+1由带余除法可知：g1x不能整除fx，g2x不能整除fx，从而得到fx在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法 冯克勤.B.L.范德瓦尔登.代数学I.科学出版社，122-123.然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法 万会芳.关于高次多项式因式分解的方法D.四川商业高等专科学校学报，2001，10（3）：73-76.，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数p时，我们选择反证法.例6： 设p(x)是F(x)上一个次数大于零的多项式，如果对任意f(x)，都有g(y)F(x)，且p(x)| f(x) g(y)，并且p(x)| f(x)或者p(x)| g(y)，那么p(x)不可约.证明： 若p(x)可约，则有p(x)=p1xp2(x)，其中0pixf(x),px(g(y)，与前面整除矛盾，故p(x)不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：判断f(x)=x3 -5x+1在有理数域上是否可约？解：假设f(x)可约，那么f(x)至少有一个一次因子，即有一个有理根.但f(x)的有理根只可能是1，因此带入验算得f(1)0.说明该多项式没有有理根，因此f(x)在有理数域上不可约.例8：判断f(x)=x3-46x2+171x-127在有理数域上是否可约？解：若f(x)可约必有有理根，而f(x)的有理根中只能是1或127.因为f(1)0, f(127)0，所以f(x)无有理根，解得 f(x)在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明x4+ 1 在有理数域上不可约.解：多项式x4+1在实数域上分解为不可约因式的乘积为x4+1=（x2+2x+1)(x2-2x+1)根据因式分解唯一性定理可知，如果x4+1在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而x4+1在有理数域上不可约.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明fx=x4+4kx+1（k是整数）在有理数域上是否可约？解：f(x)的有理根只能是1，且f(1)0.所以f(x)无一次因式，如若f(x)可约，只能是两个二次因式乘积。令fx=(x2+ax+1)(x2+bx+1)，其中a, b为整数，则有x4+4kx+1=x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+ b) x+1比较两端系数a+b=0，2+ab=0，a+b=4k，得到a2=2.即a不可能是整数，这与理论上a应为整数矛盾.因此，f(x)不可约.三、多项式的有理根及因式分解在判断多项式是否可约之后，我们就要借助于以下方法简单的对有理数域上的一元多项式进行因式分解了.（一）求根法设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式.第一步，写出首项系数an的全部因数vi，i=1，2，s；第二步，写出常数项a0的全部因数uj，j=1，2，t；第三步，用综合除法对试验，确定f(x)的根；第四步，写出f(x)的标准分解式. 徐仲，陆全，张凯院.高等代数导教导学导考M.第三版.西安：西北工业大学出版社，2006.例11：求f(x)=4x4+7x3+10x2+5x-2在有理数域上的因式分解.解:先把它变成求f(x)=4x4+7x3+10x2+5x-2的有理根.f(x)的常数项和首项系数的全部因数分别是1,2和1,2,4;则需要检验的有理数为1，2，4，而f(-1)=0，故-1是f(x)的根，则得到fx=x+1(4x3+3x2+7x-2)按照同样的方法可求gy=(4x3+3x2+7x-2)的有理根，得到g(y)的有理根为，故有是g(y)的单根. 所以，该多项式的分解式为4x4+7x3+10x2+5x-2=(x+1)(x-)(4x2+4x+8) =x+1(4x-1)(x2+x+2)（二）待定系数法在有理根的基础上，清楚所求的多项式含待定系数的一般解析式，再根据恒等条件，列出待定系数的方程式，根据解方程法，得出标准分解式.例12：求f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4在有理数域上的标准分解式.解:f(x)的首项系数1的因子有1，常数项-4 的因子有1，2，4，所以f(x)的根有可能是1，2，4.将其代入f(x)逐一进行检验，得出-1和4是f(x)的有理根.假设f(x)=(x+1)(x-4)(x3+ax2+bx+1)，利用多项式乘法法则对右式展开合并同类项fx=x5+a-3x4+b-4-3ax3+1-3b-4ax2+-3-4bx-4将得到的结果与fx=x5-10x3-20x2-15x-4逐项比较，得a=b=3.所以，该多项式的标准因式分解式为fx=x+1(x-4)(x3+3x2+3x+1)=(x+1)4(x-1)（三）重因式分离法数域P上任何次数大于0的多项式f(x)都有唯一的标准分解式 f(x)=ap1r1(x)p2r2(x)psrs(x) （1）其中a为f(x)的首项系数，p1(x)ps(x)是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互异的正整数.对（1）式两边求导得fx=agxp1r1-1xp2r2-1(x)psrs-1(x)其中每个pi(x)都不能整除gx，辗转相除法得fx,fx=p1r1-1xp2r2-1(x)psrs-1(x)存在q(x)=ap1(x)p2(x)ps(x)使f(x)=(fx,fx)q(x)，由此可见q(x)和f(x)都有完全相同的因式，差别是q(x)中因式的重数为1，因此求f(x)的因式可以换成求q(x)的因式. 段学复，聂灵沼等.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.9(2007重印).例13：求多项式f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4在有理数域上的标准分解式.解:由fx=5x4-30x2-40x-15,(f(x),fx)=x3+3x2+3x+1得gx= f(x)/fx,fx=x2-3x-4，所以gx的不可约因式为x-4，x+1.所以(fx,fx)=(x+1)3.根据重因式定理，x+1 是f(x)的4 重因式，即fx=x+14(x-4)（四）应用矩阵的初等行变换法根据f(x)10fx01 初等行变换 (fx,fx)u(x)v(x)0*其中u(x)，v(x)满足(fx,fx)= uxfx+ v(x) fx，以此得出(fx,fx)，再根据重因式分离法求出多项式fx标准分解式.例14：求fx=x5-10x3-20x2-15x-4 在有理数域上的标准分解式.解:由x5-10x3-20x2-15x-4105(x4-6x2-8x-3)01 初等行变化 x3+3x2+3x+10所以 (fx,fx)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3又因为fx/(fx,fx)=x2-3 x-4=(x-4) (x+1)所以fx=(x+1)4+(x-4)（五）利用行列式的性质在高代中，行列式是一个很好的工具，我们可以巧妙地利用行列式的相关性质对多项式进行因式分解.我们知道二阶行列式 a11a12 a21a22=a11a22-a12a21扩展开来，可以将一个多项式F表示为其他两个多项式的差，其中的每个两个多项式又能写成另外两个多项式的乘积 吴春梅，