实验二 钢管下料问题.doc

实验二 钢管下料问题摘要：生活中常会遇到通过切割、剪切、冲压等手段，将钢管加工成所需尺寸这种工艺过程，称为钢管下料问题。本文通过对这一问题的讨论、分析，建立了既能满足客户需求，又能使总费用最小，从而使自己所得利润最大的数学模型。运用该模型针对已知的案例进行了分析，建立了具体模型，并用LINGO软件进行了求解，所得结果满足客户需求，且所需费用最少。一、问题重述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货是得到的原料钢管长度都是1850。现有一顾客需要15根290，28根315，21根350 和30根455的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多生产5根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100。为了使得总费用最小，问应如何下料？二、基本假设与符号说明基本假设：1、 钢管切割过程中没有原料的损耗；2、 钢管进购回来时的长度都相等，都为1850；3、 一根原料钢管最多生产5根产品；4、 原料钢管费用为单位1；5、 钢管生产所使用得切割模式种类不超过4种。符号说明： ： 第种切割模式所切割的钢管根数（ =1、2、3、4）。=1、2、3、4表示290 、315、 350、 455这4种类别的钢管。 ： 表示第（ =1、2、3、4）种切割模式所生产的第（=1、2、3、4）类钢管的数量。：生产满足客户需求的所有钢管要花费的总费用。三、问题分析首先，应当确定采用哪些可行的切割模式。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850的钢管切割成5根350的钢管，余料为100；或者将1850的钢管切割成2根290、1根350、2根455 的钢管，余料为10 。很显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。对于当前所讨论的这一问题，显然合理的切割模式是余料不应该超过100。最后问题化为在满足客户需要的条件下，按照那些合理的切割模式，切割多少根原料钢管，最为节省，使生产费用最少。四、模型建立由于所使用的切割模式不能超过4种，且使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推。所以在这里我们以总费用最少为目标，即Min (1)满足客户要求的约束条件为：； (2)； (3)； (4)； (5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每一根原料钢管的成品量不能超过1850，也不能少于1750，（余量不能大于100），于是 (6) (7) (8) (9)由于种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：； (10)由问题很明显可以看出所需要的原料钢管总根数不可能少于再考虑一种特殊的切割模式：第一种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管；第二种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管；第三种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管;第四种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成根钢管，为满足根钢管的需求，需要根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要根原料钢管，所以，所需要的原料钢管总根数不可能多于22根。即 (11)最后加上非负整数约束：、， =1、2、3、4 ；=1、2、3、4 (12)五、模型求解将（1）（12）输入LINGO软件求解得到如下结果（求解代码见附录）：Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 4.000000 0.000000 X3 1.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 1.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R42 1.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R23 5.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000 R43 3.000000 0.000000 R14 2.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R34 2.000000 0.000000 R44 1.000000 0.000000由求解结果可知钢管下料的最优方案为：290mm钢管根数315mm钢管根数350mm钢管根数455mm钢管根数所需原料钢管根数模式一120214模式二00504模式三20121六、模型检验本次生产需要的原料钢管根数为19根，分别按照模式一切割14根，模式二切割4根，模式三切割1根：290的钢管有：；315的钢管有：；350的钢管有：；455的钢管有：；模式一的余料为：；模式二的余料为：；模式三的余料为：；有以上检验结果可知，模型求解结果满足题中约束条件。七、参考文献【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003.8。【2】袁新生、邵大宏、郁时炼，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。【3】吴珍、董晓旭，原料钢管下料的非线性优化模型，/view/a09e2dd526fff705cc170ac5.html ， 2012.5.7八、附录钢管下料问题总费用最少的LINGO求解代码及结果：min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;x1*r11+x2*r21+x3*r31+x4*r41=15;x1*r12+x2*r22+x3*r32+x4*r42=28;x1*r13+x2*r23+x3*r33+x4*r43=21;x1*r14+x2*r24+x3*r34+x4*r44=30;290*r11+315*r12+350*r13+455*r14=1750;290*r21+315*r22+350*r23+455*r24=1750;290*r31+315*r32+350*r33+455*r34=1750;290*r41+315*r42+350*r43+455*r44=1750;290*r11+315*r12+350*r13+455*r14=1850;290*r21+315*r22+350*r23+455*r24=1850;290*r31+315*r32+350*r33+455*r34=1850;290*r41+315*r42+350*r43+455*r44=19;x1+x2+x3+x4=x2;x2=x3;x3=x4;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);Local optimal solution found. Objective value: 21.50000 Extended solver steps: 2901 Total solver iterations: 87547 Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 4.000000 0.000000 X3 1.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 1.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R42 1.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R23 5.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000 R43 3.000000 0.000000 R14 2.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R34 2.000000 0.000000 R44 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 21.50000 -1.000000 2 1.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 80.00000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 90.00000 0.000000 9 70