创新设计2011概率和统计1263.ppt

了解正态分布的意义及主要性质 了解线性回归的方法和简单应用 第63课时正态分布线性回归 一 正态分布1 总体密度曲线 样本容量越大 所分组数越多 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率 设想样本容量无限增大 分组的组距无限缩小 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线 这条曲线叫做总体密度曲线 它反映了总体在各个范围内取值的概率 根据这条曲线 可求出总体在区间 a b 内取值的概率等于总体密度曲线 直线x a x b及x轴所围图形的面积 2 正态分布密度函数 f x x 0 3 正态曲线的性质 1 曲线在x轴的上方 与x轴不相交 2 曲线关于直线x 对称 3 当x 时 曲线位于最高点 4 当x 时 曲线上升 增函数 当x 时 曲线下降 减函数 并且当曲线向左 右两边无限延伸时 以x轴为渐近线 向它无限靠近 5 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 总体分布越分散 越小 曲线越 瘦高 总体分布越集中 标准正态曲线 当 0 1时 正态总体称为标准正态总体 其相应的函数表示式是f x x 其相应的曲线称为标准正态曲线 4 二 线性回归1 相关关系的量 当自变量一定时 因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 2 回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 3 散点图 表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 4 回归直线 设所求的直线方程为 bx a 其中 5 相关系数 r 叫做变量y与x之间的样本相关系数 简称相关系数 用它来衡量两个变量之间的线性相关程度 6 相关系数的性质 r 1 且 r 越接近1 相关程度越大 且 r 越接近0 相关程度越小 1 2010 郑州高三月考 已知随机变量 服从正态分布N 2 2 P 4 0 84 则P 0 A 0 16B 0 32C 0 68D 0 84解析 由已知P 4 P 0 1 0 16 答案 A 2 正态分布有两个参数 与 相应的正态曲线的形状越扁平 A 越大B 越小C 越大D 越小解析 由正态密度曲线图象的特征知 答案 C 3 在对两个变量x y进行线性回归分析时有下列步骤 对所求出的回归方程作出解释 收集数据 xi yi i 1 2 n 求线性回归方程 求相关系数 根据所搜集的数据绘制散点图 如果根据可靠性要求能够作出变量x y具有线性相关结论 则在下列操作顺序中正确的是 A B C D 答案 D 4 洪湖市高三月考 设随机变量 服从正态分布N 2 0 若P 0 P 1 1 则 的值为 解析 由已知 1 即则 因此 答案 正态分布问题可利用变换公式转化为标准正态分布问题 标准正态分布可通过查表 或提供的数据 进行求解 例1 在N 2 下 求F F 2 2 F 3 3 解答 F 1 0 8413F 1 1 1 1 0 8413 0 1587F F F 0 8413 0 1587 0 6826F 2 2 F 2 F 2 0 954F 3 3 F 3 F 3 0 997 变式1 设随机变量 服从正态分布 即 N 2 则随着 的增大 P 的值 A 单调递增B 单调递减C 保持不变D 增减不定解析 P P P 1 1 2 1 1 答案 C 正态分布有两个重要的参数 平均数 期望 数学期望 和标准差 我们不但要明白 和 在统计上的意义 还要对应到正态曲线上的曲线几何意义 做到从概率 统计 曲线 函数这四个方面来把握和理解 其中后两个方面是作为数学工具来为前两个方面服务的 例2 一批电池 一节 用于手电筒的寿命服从均值为35 6小时 标准差为4 4小时的正态分布 随机从这批电池中任意取一节 问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少 解答 电池的使用寿命X N 35 6 4 42 则P X 40 P P Z 1 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0 1587 变式2 在某校举行的数学竞赛中 全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N 70 100 已知成绩在90分以上 含90分 的学生有12名 1 试问此次参赛学生总数约为多少人 2 若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生 试问设奖的分数线约为多少分 可供查阅的 部分 标准正态分布表 x0 P x x0 解答 1 设参赛学生的分数为 因为 N 70 100 由条件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 1 2 1 0 9772 0 228 这说明成绩在90分以上 含90分 的学生人数约占全体参赛人数的2 28 因此 参赛总人数约为 526 人 2 假定设奖的分数线为x分 则P x 1 P x 1 F x 1 0 0951 即 0 9049 查表得 1 31 解得x 83 1 故设奖的分数线约为83 1分 1 画出散点图 可以直观地从图中观察出两个变量之间是否存在线性相关关系 2 不能直观判断就必须进行相关性检验 3 求回归方程借助公式关键在于运算 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y 3 已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨 与相应的生产能耗y 吨标准煤 的几组对照数据 解答 1 略 2 解法一 不作要求 设线性回归方程为y bx a 则f a b 3b a 2 5 2 4b a 3 2 5b a 4 2 6b a 4 5 2 4a2 2a 18b 14 3b 2 5 2 4b 3 2 5a 4 2 6b 4 5 2 a 3 5 4 5b时 f a b 取得最小值 1 5b 1 2 0 5b 0 5 2 0 5b 0 5 2 1 5b 1 2即0 5 3b 2 2 b 1 2 5b2 7b b 0 7 a 0 35时f a b 取得最小值 所以线性回归方程为y 0 7x 0 35 解法二 由系数公式可知 4 5 3 5 所以线性回归方程为y 0 7x 0 35 3 x 100时 y 0 7x 0 35 70 35 所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19 65吨标准煤 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨 与相应的生产能耗y 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 bx a 3 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 考卷实录 答题模板 解答 1 如考卷实录 2 可计算 4 5 3 5 则y b 0 35 因此y关于x的线性回归方程是 0 7x 0 35 3 根据 2 所求出的线性回归方程 可预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低90 0 7 100 0 35 19 65 吨标准煤 分析点评 1 考卷实录中提供的答案第 2 问实质上是给出了线性回归方程的推导过程和方法 是对字母a和字母b实施两次配