2019_2020学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入检测北师大版.docx

第四章 数系的扩充与复数的引入检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列n的取值中,能使in=1(i是虚数单位)的是()A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5解析:i4=1,故选C.答案:C2.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于()A.22B.-22C.-22iD.22i解析:z2+2=0,z2=-2,即z=2i.z3=(2i)3=22i.答案:D3.若复数z满足条件|2z+1|=|z-i|,则z对应点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:设z=x+yi(x,yR),则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|,即(2x+1)2+4y2=x2+(y-1)2,所以3x2+3y2+4x+2y=0,它表示圆.答案:A4.已知z是纯虚数,z+21-i是实数,则z=()A.2iB.iC.-iD.-2i解析:设纯虚数z=bi(bR,且b0),代入z+21-i得z+21-i=bi+21-i=(bi+2)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(b+2)i2,由于z+21-i为实数,则b=-2,即z=-2i.答案:D5.复数z=i1-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=i1-i=i(1+i)2=-12+12i,对应点的坐标为-12,12,位于第二象限,选B.答案:B6.若复数z=cos +isin (0,2)在复平面上所对应的点在第二象限,则的取值范围是()A.0,2B.2,C.,32D.32,2解析:由题意,得cos0,(0,2),2,.答案:B7.当z=-1-i2时,z100+z50+1的值等于()A.1B.-1C.iD.-i解析:z100+z50+1=-1-i2100+-1-i250+1=(1-i)100250+(1-i)50225+1=(-2i)50250+(-2i)25225+1=-i.答案:D8.若复数z满足1-z1+z=i,则|1+z|等于()A.0B.1C.2D.2解析:1-z1+z=i,1-z=i+zi.(1+i)z=1-i.z=1-i1+i=-i.|1+z|=|1-i|=2.答案:C9.若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45-35i解析:因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45-35i,选D.答案:D10.若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1解析:利用实系数方程的根与系数的关系求解.实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1+2i,其共轭复数1-2i也是方程的根.由根与系数的关系,知(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)(1-2i)=c,b=-2,c=3.答案:B11.已知复数(x-2)+yi(x,yR)对应的向量的模为3,则yx的最大值是()A.32 B.33C.3 D.12解析:由(x-2)2+y2=3,得(x-2)2+y2=3,此方程表示如图所示的圆C,则yx的最大值为切线OP的斜率.由|CP|=3,|OC|=2,得COP=3,所以切线OP的斜率为3,故选C.答案:C12.若实数x,y,有以下关系:x+yi=3+5cos +i(-4+5sin )(其中i是虚数单位),则x2+y2的最大值为()A.10B.16C.25D.100解析:x+yi=3+5cos+i(-4+5sin),x=3+5cos,y=-4+5sin,x2+y2=(3+5cos)2+(-4+5sin)2=50-40sin+30cos=50-50sin(-)tan=34.sin(-)-1,1,x2+y2的最大值为100.答案:D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若实数m满足等式|log3m+4i|=5,则m=.解析:|log3m+4i|=(log3m)2+42=5,(log3m)2=9,log3m=3.m=27或m=127.答案:27或12714.设z2=z1-iz1(其中z1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为_.解析:设z1=a+bi(a,bR),则z2=z1-iz1=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,所以a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.若z1=2-i,z2=-12+2i,z1,z2在复平面内所对应的点分别为Z1,Z2,则这两点之间的距离为_.解析:向量Z1Z2对应的复数是z2-z1=-12+2i-(2-i)=-52+3i,|Z1Z2|=-522+32=612.答案:61216.设,是一元二次方程x2-2x+m=0的两个虚根,若|=4,则实数m=.解析:由题意,得=4-4m1.又原方程可化为(x-1)2=1-m,故两虚根为x=1m-1i,两个虚根为共轭复数,故|=1+m-1=m=4,故m=4.答案:4三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面上第二、四象限角平分线上的点对应的复数.解:由于mR,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+20,即m2且m1时,z为虚数.(3)当2m2-3m-2=0,m2-3m+20,即m=-12时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.18.(12分)已知复数z=x+yi(x,yR)在复平面内对应的点为M.设集合P=-4,-3,-2,0,Q=0,1,2,从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率.解:每种情况出现的可能性相等,是一个古典概型,记“复数z为纯虚数”为事件A.列举出组成复数z的所有情况共有12种:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,其中事件A包含的基本事件有2个:i,2i.故所求事件的概率为P(A)=212=16.19.(12分)已知复数z=1+i.求实数a,b使az+2bz=(a+2z)2.分析:将z=1+i,z=1-i代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.解:z=1+i,则z=1-i,az+2bz=(a+2b)+(a-2b)i.即(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.a,bR,由复数相等,得a+2b=a2+4a,a-2b=4(a+2).两式相加,整理得a1=-2,b1=-1,a2=-4,b2=2.故所求实数a,b为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.20.(12分)已知复数z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i,=z+ai(aR).当z2时,求a的取值范围.解:z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i=1+ii=1-i,|z|=2.又z=|z|2,|2.而=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(aR),则12+(a-1)22(a-1)23,-3a-13,1-3a1+3.故a的取值范围是1-3,1+3.21.(12分)已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos +(+3sin )i(R),若z1=z2,求的取值范围.解:由z1=z2,得m=2cos,4-m2=+3sin.即m=2cos,=4-m2-3sin.所以=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4sin-382-916.又sin-1,1,由二次函数的性质,知-916,7.22.(12分)设关于x的方程是x2-(tan +i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求tan 的值和方程的实数根;(2)求证:对于任意k+2(kZ),方程没有纯虚数根.(1)解设方程的实数根为a,则a2-(tan+i)a-(2+i)=0,即a2-atan-2-(a+1)i=0,因为a,tanR,得a2-atan-2=0