第1章控制系统的状态空间表达式.ppt

第一章控制系统的状态空间表达式 经典控制理论 现代控制理论 数学模型 状态空间表达式 1 1状态空间变量及状态空间表达式 一 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量 称为状态变量 可以完全表征系统的运动状态是指 只要给定状态变量在t t0时刻的初值以及t t0时间的输入 就完全能够确定系统在任何t t0时间的动态行为 状态变量的最小性 体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态行为 而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的 状态变量在数学上是线性无关的 状态变量的选取不是唯一的 对于一个实际的物理系统 状态变量个数等于系统独立储能元件的个数 1 1状态空间变量及状态空间表达式 二 状态向量 由系统状态变量构成的向量 称为系统的状态向量 若一个系统有n个状态变量 把这些状态变量看作是向量的分量 则就称为状态向量 1 1状态空间变量及状态空间表达式 三 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间 系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点 系统状态随时间变化的过程 在状态空间中描绘出一条轨迹 称为 状态轨迹 1 1状态空间变量及状态空间表达式 四 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为系统的状态方程 状态方程的一般形式为 1 1状态空间变量及状态空间表达式 五 输出方程 在指定系统输出y的情况下 输出y与状态变量x及系统输入u的函数关系式 称为系统的输出方程 输出方程的一般形式为 1 1状态空间变量及状态空间表达式 六 状态空间表达式 状态方程和输出方程总和起来 构成对一个系统的完整动态描述 称为系统的状态空间表达式 对于n个状态变量 r个输入 m个输出的动态系统 状态空间表达 式的一般形式为 其中 为n维状态变量 u为r维控制 输入 向量 A表征了系统内部状态的联系 称为系统矩阵 n n B表征了输入对状态的作用 称为控制矩阵 n r C表征了输出与状态变量的关系 称为输出矩阵 m n D表征了输出与输入的关系 称为 前馈矩阵 直接传输矩阵 m r 为m维输出向量 1 1状态空间变量及状态空间表达式 六 状态空间表达式 从状态空间表达式可以看出 输入引起系统状态的变化 而状态和输入则决定了输出的变化 在输出方程中 若无特殊声明 均不考虑输入向量的直接传输 即令D 0 由于系统的状态空间描述完全由系统的参数矩阵决定 因而可简单的记为 A B C D 说明 1 1状态空间变量及状态空间表达式 七 状态空间表达式的系统方框图 y 1 2状态空间表达式的模拟结构图 一 状态空间表达式模拟结构图的绘制步骤 模拟结构图的三个基本元件 积分器 比例器和加法器 绘制步骤如下 1 确定积分器的数目 积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数 将积分器画在适当的位置 每个积分器的输出对应一个状态变量 2 根据给定的数学模型 画出相应的加法器和比例器 3 用箭头将这些元件连接起来 1 2状态空间表达式的模拟结构图 二 绘制状态空间模拟结构图的例子 例1一阶标量微分方程 1 2状态空间表达式的模拟结构图 二 绘制状态空间模拟结构图的例子 例2三阶微分方程 1 2状态空间表达式的模拟结构图 例2三阶微分方程 u 1 3状态空间表达式的建立 一 建立系统的状态空间表达式主要有三种方法 1 根据系统的方框图列写 2 从系统的基本原理进行推导 3 根据传递函数或高阶微分方程实现 一 从系统方框图出发建立状态空间表达式 该方法的基本步骤是将系统方框图中的各环节进行适当的变换 化为只包含积分环节 比例环节和加法器的方框图 把每个积分环节的输出作为状态变量 由模拟结构图直接写出系统的状态空间表达式 1 3状态空间表达式的建立 一 一 从系统方框图出发建立状态空间表达式 习题1 1 已知系统的模拟结构图如下 建立其状态空间表达式 1 3状态空间表达式的建立 一 由于 一 从系统方框图出发建立状态空间表达式 1 3状态空间表达式的建立 一 一 从系统方框图出发建立状态空间表达式 由于 1 3状态空间表达式的建立 一 一 从系统方框图出发建立状态空间表达式 1 3状态空间表达式的建立 一 1 3状态空间表达式的建立 一 由以上方框图可知 状态方程 输出方程 1 3状态空间表达式的建立 一 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 基本方法 根据具体的控制系统 应用其物理规律 列写出描述系统动态过程的一阶微分方程组 写成矩阵的形式 即得到系统的状态方程 状态变量选取 对于实际物理系统 状态变量的个数等于系统中储能元件的个数 因此在列写状态方程时可对每一个储能元件指定一个变量作为状态变量 1 3状态空间表达式的建立 一 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 习题1 2有电路如下图所示 以电压为输入量 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程 和一电阻上的电压作为输出的输出方程 解 由基尔霍夫电压定律有 1 3状态空间表达式的建立 一 由基尔霍夫电流定律有 整理可得状态方程为 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 输出方程为 1 3状态空间表达式的建立 一 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 解 1 3状态空间表达式的建立 一 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 对 由牛顿定理有 对 由牛顿定理有 对以上各式进行整理可的系统的状态空间表达式为 1 3状态空间表达式的建立 一 二 从系统机理出发建立状态空间表达式 输出方程为 1 4状态空间表达式的建立 二 内部描述 状态空间表达式 外部描述 输入输出描述 传递函数 微分方程 1 4状态空间表达式的建立 二 由输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题 一 实现问题 即若对于单输入 单输出的线性定常系统 已知描述系统动态过程的微分方程为 或传递函数 求出状态空间表达式 1 4状态空间表达式的建立 二 一 实现问题 实现存在的条件 且当m n时 当 输出将含有输入信号的直接微分项 这样当系统输入为阶跃信号时 输出将趋于无穷大 这在实际系统中是不允许的 实现的非唯一性 会有无穷多个状态空间表达式 实现给定的输入输出关系 没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现 因为依据没有零 极点对消的传递函数求得的状态空间表达式的阶数是最小的 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 描述单输入 单输出动态过程的微分方程为 其所对应的传递函数为 方法一 由系统的传递函数可得 由于实现的非唯一性 决定了实现的方法也是多种多样的 不同的方法选择不同的状态变量 得到状态空间表达式的形式也不同 但均能反映给定系统的输入输出关系 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 1 当 可将 1 式进一步改写为 由 2 式进行拉氏反变换 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 选取状态变量为 由此可得 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 写成向量矩阵的形式 可得状态空间描述为 能控规范型 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 2 当 其中 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 将上式进行拉氏反变换得 同样选取状态变量为 由此可得状态空间表达式为 1 4状态空间表达式的建立 二 解 1 对微分方程取拉氏变换可得 设 则 1 4状态空间表达式的建立 二 取拉氏反变换 有 选取状态变量为 则 可得状态空间表达式为 1 4状态空间表达式的建立 二 系统的模拟结构如下图所示 1 4状态空间表达式的建立 二 解 2 对微分方程取拉氏变换可得 设 则 取拉氏反变换 有 选取状态变量为 则 1 4状态空间表达式的建立 二 可得状态空间表达式为 比较 1 2 可知 在实现问题中 传递函数的分母决定系统的状态方程 而传递函数的分子决定系统的输出方程 1 4状态空间表达式的建立 二 系统的模拟结构如下图所示 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 方法二 1 当的情况 由系统的传递函数可得 取拉氏变换 可得 1 4状态空间表达式的建立 二 令 其中为待定常数 1 4状态空间表达式的建立 二 对 1 式的各子式的等式两边求导 可得系统的状态方程为 系统的输出方程为 现在需要的待定系数及的具体形式 1 4状态空间表达式的建立 二 由 1 式可得 将 3 式的各子式相加 1 4状态空间表达式的建立 二 令 则 1 4状态空间表达式的建立 二 这样系统的状态空间表达式可表示为 当m n时 等价与所讨论情形的 1 4状态空间表达式的建立 二 二 单输入单输出系统的实现 习题1 5系统的动态特性由下列微分方程描述 解 1 4状态空间表达式的建立 二 三 多输入多输出系统的实现 多输入多输出系统的实现 可采用模拟结构图的方法 由于经典控制理论难以有效的处理多输入多输出系统 通常不会取建立多输入多输出系统的微分方程或传递函数描述 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 状态变量是足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量 状态变量的选取不是唯一的 不同的状态向量之间实际上是一种线性变换 一 系统状态空间表达式的非唯一性 设一给定的n阶系统为 其状态向量为 对于任意给定的n n阶非奇异阵T 作如下变换 则z也一定是给定系统的另一个状态向量 由 可得 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 一 系统状态空间表达式的非唯一性 由于T是任意非奇异阵 故系统的状态空间表达式是非唯一的 将代入给定的状态空间表达式可得一个新的状态空间表达式 同一动态系统的不同状态空间表达式之间是代数等价的 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 二 系统特征值的不变性 1 系统的特征值 定义 系统状态空间表达式中系统矩阵A的特征值称为系统的特征值 系统特征值也就是特征方程的根 将特征方程写成多项式的形式 显然对n阶系统有n个特征值 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 二 系统特征值的不变性 2 系统特征值的不变性 同一系统状态向量是非唯一的 系统的状态空间表达式也是非唯一的 但描述系统本质特征的系统特征值却是唯一不变的 同一个系统不同的状态向量 不同状态空间表达式之间实际上是一种线性变换的关系 系统经非奇异线性变换后 其特征值是不变的 即 证明 其中T为非奇异 证 因为矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积 矩阵逆的行列式等于矩阵行列式的倒数 所以有 即 证毕 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 二 系统特征值的不变性 3 特征向量 对于n n维矩阵A 若存在一个n维向量 使得 特征向量经过A线性变换后 方向不变 仅长度变化了倍 就是系统的一个特征值 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 三 状态空间表达式的对角线规范型和约当规范型 线性定常系统的特征值是表征系统动态特性的一个重要参量 系统的状态方程可以通过适当的状态变换 化为由特征值表征的规范型 且当特征值为两两相异时 规范型具有对角线规范型的形式 而当特征值为非互异时 规范型为约当规范型 1 对角规范型 对于给定系统 设其特征值为两两互异 由它们的特征向量组成变换阵 那么系统的状态方程在变换下必可化为如下形式的对角规范型 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 三 状态空间表达式的对角线规范型和约当规范型 1 对角规范型 证 由可导出 故 证毕 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 三 状态空间表达式的对角线规范型和约当规范型 1 对角规范型 讨论 在对角规范型型下 各状态变量间实现了完全解耦 可表示为n个独立的状态变量方程 若系统矩阵A为标准型 即 则将状态方程变换为对角规范型的变换阵可表示 范德蒙德阵 如下 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 现证明如下 证明 设系统矩阵A的特征值所对应特征向量为 由特征向量的定义 可得 即 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 展开上式 这是一个齐次方程 且其秩小于n 故其有无穷个解 令可得 故状态方程变换为对角规范型的变换阵可表示为 得证 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 解 确定系统的特征值 即 即 因为系统特征值两两互异 故系统的状态方程可化为对角规范型 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 确定非奇异变换阵T 求取与特征值所对应的特征向量 因为 所以 即 可得 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 取基本解 同理可得 因此由特征向量组成的变换阵P为 变换阵P的逆矩阵为 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 求系数矩阵 故系统状态方程的对角规范型为 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 2 约当规范型 对于给定系统 设其特征值 则存在可逆变换阵 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 为特征值对应的特征向量 为特征值对应的广义特征向量 可根据下式计算 证 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 即 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 则将状态方程变换为约当规范型的变换阵可表示如下 讨论 当系统矩阵A的特征值有重根时 通常不可能通过线性变换而实现状态变量之间的完全解耦 约当规范型是可能达到的最简耦合形式 若系统矩阵A为标准型 即 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 其中 由广义特征向量的定义 1 5状态向量的线性变换 坐标变换 将A阵代入计算可得 得证 1 6从状态空间表达式求传递函数 一 传递函数矩阵的定义 1 6从状态空间表达式求传递函数 一 传递函数矩阵的定义 写成向量形式 称为系统的传递函数矩阵 1 6从状态空间表达式求传递函数 二 由状态空间表达式导出传递函数矩阵 证明 由第一式可得 对状态空间表达式取拉氏变换 由第二式可得 1 6从状态空间表达式求传递函数 二 由状态空间表达式导出传递函数矩阵 因此可传递函数矩阵为 当D 0时 为零矩阵 W s 为严格真有理分式 考虑 且伴随矩阵的每个元多项式的最高次幂都小于的最高次幂 故 因此有 故当D 0时 为非零常阵 W s 为真有理分式 1 6从状态空间表达式求传递函数 三 传递函数矩阵的唯一性 尽管一个系统的状态空间表达式是非唯一的 但其传递函数矩阵是唯一的 对同一个系统选取不同的状态向量得到不同形式的状态空间表达式 这些不同的状态向量间是一种非奇异线性变换 原系统的状态空间表达式为 其传递函数矩阵为 设 可得系统的状态空间表达式为 1 6从状态空间表达式求传递函数 三 传递函数矩阵的唯一性 其对应的传递函数矩阵 即非奇异线性变换不改变系统的传递函数矩阵 同一系统的传递函数矩阵是唯一的 1 7组合系统的状态空间表达式 一 子系统并联 由两个或两个以上的子系统按照一定方式连接构成的系统称为组合系统 组合系统的基本组合方式可分为串联 并联和反馈三种类型 考虑两个子系统 经并联构成组合系统 如下图所示 1 7组合系统的状态空间表达式 一 子系统并联 子系统和可并联的条件 并联系统与子系统的输入 输出关系 并联系统的状态空间表达式 由并联系统与子系统的输入输出关系可得 1 7组合系统的状态空间表达式 对于n个子系统并联构成的组合系统 其状态空间描述为 因此 并联组合系统的状态空间表达式为 1 7组合系统的状态空间表达式 并联系统的传递函数矩阵 子系统的传递函数矩阵为 由 可得 故并联组合系统的传递函数为 1 7组合系统的状态空间表达式 二 子系统串联 由两个子系统和 经串联构成的组合系统如下图所示 子系统和可串联的条件 子系统和与串联组合系统的输入输出关系 串联系统的状态空间表达式 由串联系统与子系统的输入输出关系可得 1 7组合系统的状态空间表达式