数学建模在初中数学教学中的融入.doc

长春师范学院本科毕业论文（设计）分院名称：数学学院学生学号：0907140120长春师范学院本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 浅谈中学数学中数学建模的融入 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 刘 畅 指导教师姓名： 刘仁云 指导教师职称： 教 授 2013年 5 月III 长春师范学院本科毕业论文（设计） 长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名： 日期： 年 月 日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：日期： 年 月 日目 录 承诺保证书I前言11 与数学建模相关的定义21.1数学模型21.2数学建模21.3数学建模思想22 数学建模的过程22.1 数学建模的特点22.2 数学建模的常用方法32.3建立数学模型的一般要求32.4 建立数学建模的一般步骤33 数学建模在教育教学中的作用53.1 激发学生的学习动机和兴趣53.2 培养学生的直觉思维能力53.3 培养学生的发散思维能力53.4 培养学生解决实际问题的能力64 数学建模融入中学数学教学64.1 中学数学建模教学中的现状64.2 中学数学建模中常见的教学方法74.3 中学数学建模教学中需要注意的问题74.4中学数学建模教学的教学原则85 数学建模的类型及应用举例95.1方程（组）模型95.2不等式模型95.3几何模型105.4 函数模型115.5统计模型116 总结13参考文献1415浅谈中学数学中数学建模的融入刘 畅摘要：随着科学技术的飞速发展，数学应用已渗透到社会的每一个领域和学科中，并发挥着实质性作用.在中学设置“数学建模”课程或进行教学也成为了新课改下的热门话题，但如何把数学建模方法教学策略应用到中学教学中，还需要加以研究.首先，本文对数学建模的相关定义进行了简单介绍，然后介绍了数学建模的过程.其次，分析了数学建模在教育教学中的作用，探讨了数学建模在中学数学教学的应用，分别从现状、教学原则、教学方法和需要注意的问题等方面进行论述.最后，举例介绍了中学数学建模中常见的五种模型类型.关键词：数学模型；数学建模；中学数学教学前言进入新世纪后，培养学生的数学创新精神和加强学生的数学实践能力，成为数学教育改革的灵魂.数学教学的主要目的也是开发学生的智力，发展学生的能力，现代数学教学论认为数学教学是数学思维活动的教学，教师要在教学活动中,根据学生的思维特点，有意识的对学生的创新能力与实践能力进行引导和训练，逐步形成探究和利用数学解决实际问题的能力.随着课程改革的不断深入，数学教学转变了传统的观念，教材编写背景也结合了生活实际和社会实践，突出了理论与知识结合，理论与实践结合，强调学生对数学知识的应用，呼唤数学应用意识.而中学数学最常用和最有效的教学方法之一是探索法，这一方法与数学建模有很多共同特征，目前很多高校都开设了“数学建模”课程，可见数学建模课程的开设对高校教育改革起到了很大的作用，在新课改的背景下，数学建模也将被引入到中学教育之中.因此研究数学建模方法教学策略并探讨其在中学教学中的应用很有必要.本文通过对数学模型、数学建模和数学建模思想的研究，探讨数学建模思想应用于中学数学教学的可行性，为中学数学课堂教学改革寻找一条可行之路.1 与数学建模相关的定义1.1数学模型数学模型(Mathematical Model) 就是对实际问题的一种数学表述， 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的、简化的近似表达对象的一种数学结构.更确切地说：是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构.我们常说的数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、）以及由公式系列构成的算法系统等等都称之为数学模型.1.2数学建模数学建模（Mathematical Modeling）就是建立数学模型，就是用数学语言描述实际现象的过程.是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并 解决 实际问题的一种数学手段.1.3数学建模思想数学建模的思想就是用数学模型的思路、方法去数学建模，解决实际生产、生活当中所遇到的问题在的思想和方法的统称.2 数学建模的过程 数学建模是解决实际问题的过程，在这一过程中，有很多方面需要注意，下面我将从数学建模的特点、常用方法、一般要求和一般步骤来进行介绍2.1 数学建模的特点 数学建模是一个实践性很强的学科，它具有下面的特点：（1）需要灵活运用各种数学知识；（2）模型具有可转移性；（3）模型具有逼真性和可行性；（4）建立一个数学模型与求解一道数学题目有极大的差别；（5）建立的数学模型与建模的目的有关2.2 数学建模的常用方法一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析法和测试分析法两种.机理分析是根据对客观事物特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.机理分析要针对具体问题来做，没有统一的方法.机理分析法的基本步骤为：（1）分析变量；（2）分析变量服从的已知的规律；（3）建立数学描述.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照一定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型.测试分析有一套完整的数学方法.测试分析法的基本步骤为：（1）分析各个因素之间的定性和定量关系；（2）对各个因素进行量化；（3）建立各个因素对系统“贡献”的数学描述.面对一个实际问题用哪种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的.如果掌握了一些内部机理知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，建模则以机理分析为主.而如果对象的内部规律不清楚，模型也不要求反映内部特征，那么就用测试分析.对于一些实际问题还常常两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数.2.3建立数学模型的一般要求一般地，建立数学模型有以下要求（1） 足够的精度，即要求把本质的关系和规律反映进去，把非本质的去掉.（2） 简单，便于处理，过于复杂的求解困难.（3） 依据要充分，即要依据科学规律、客观规律来建立公式和图表或算法等.（4） 尽量借鉴标准形式（5） 模型所表示的系统要能操控和控制，便于检验和修改.2.4 建立数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关，现在介绍一下数学建模的一般步骤 (1) 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，搜集各种信息如现象、数据等，用数学语言来描述问题.(2) 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3) 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构.（尽量用简单的数学工具）. (4) 模型求解：利用获取的数据资料，采用数学方法对模型的所有参数做出求解（估计）. (5) 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析，特别要注意当数据变化时所得的结果是否稳定. (6) 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差,则应该修改、补充假设，重新建模. (7) 模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异.数学建模过程可用以下图解来表示（图1）实际问题检验提出假设模型建立模型求解模型应用 修改 不符合实际 图1 数学建模过程3 数学建模在教育教学中的作用数学建模是一门综合多门学科知识，集应用与能力培养为一体有利于培养学生的创造意识和应用实践能力的科学.因此，开展数学建模教学是非常重要的，尤其是在中学数学中，具有突出的作用.3.1 激发学生的学习动机和兴趣 人们在解决问题时往往带有某种情感处于某种动机状态中而这些状态又必然会影响“问题解决”的效果.动机是促使人去解决问题的动力.动机愈有意义为“问题解决”而作的探索就愈积极愈顽强.通过带有趣味性、能引起学生思考的实际问题的分析、解剖引导学生建立相应的数学模型选择适当的方法解决问题从而达到激发学生的学习动机和兴趣的目的. 在现实生活中普遍存在着最优化问题最佳投资、最小成本等常常归结为函数的最值问题通过建立相应的目标函数确定变量的限制条件运用函数知识和方法解决.数学模型就是把实际应用问题用数学语言抽象概括再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 3.2 培养学生的直觉思维能力直觉思维与逻辑思维是相辅相成的.传统的数学教学比较强调逻辑思维的作用而往往忽视直觉思维是逻辑思维的基础某种程度上决定逻辑思维的方向.爱因斯坦说“真正可贵的因素是直觉”通过将实际问题转化为数学问题建立数学模型培养学生的直觉思维能力是一种有效的途径.在现实生活中的许多经济问题如增长率、利息单利、复利、分期付款等与时间相关的实际问题生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题人口增长、生态平衡、环境保护、物理学上的衰变、裂变等问题常通过建立相应的数列模型求解.3.3 培养学生的发散思维能力 中学生习惯于集中思维的思维方式课本上的题目和材料基本上都循着同一个模式用符合常规的思路和方法解决问题这对于基础知识、基本技能的掌握是必要的但对于培养创造能力来说还是不够的.通过对实际问题给出的材料信息从不同角度向不同方向用不同的方法或途径进行思考和分析建立数学模型寻求超常规、求变求异的思维方式和解决问题的方法以培养学生创造性思维能力.现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题常归结为方程或不等式求解. 3.4 培养学生解决实际问题的能力 数学建模不光要求学生具备扎实的数学功底，还要求学生具备用计算机解决实际问题的能力.通过数学建模可以加大学生用计算机解决实际问题的机会，锻炼解决实际问题的能力.总之，在中学实行数学建模教学可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系体会数学的应用价值培养数学的应用意识增进对数学的理解和应用数学的信心.可使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会去解决日常生活中的问题进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神.以数学建模为手段激发学生学习数学的积极性学会团结协作建立良好人际关系、相互合作的工作能力.教师以数学建模方法为载体使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识包括数学事实和数学活动经验以及基本的思想方法和必要的应用技能.并通过数学建模改变学生的学习方式体现学以致用的精神.所以在中学数学教学中开展数学建模教学意义重大. 4 数学建模融入中学数学教学4.1 中学数学建模教学中的现状目前，随着课程改革改革的进一步深入，“研究性学习”的活动正在被逐步推广，数学建模作为研讨性学习的主要内容，也逐步受到推广，由于现在的考试制度存在某种弊端，中学数学教学中数学建模的教学还未得到重视，学生仍被陷在纯粹的数学逻辑推理和计算中.现在很多高中数学教师还是停留在数学知识教学方面, 只重视传授知识，重视定义、定力、推到、证明、计算，而不对学生进行研究性学习的探索.目前我国还未能很好的将数学建模更好的应用到中学数学教学中，主要原因有以下几点：1.新的数学课程标准在数学建模教学的内容和课时上没有具体的安排与说明，这样便给一线教师的工作带来了一定的难度2.中学数学建模教学提出的时间还不久，而很多中学教师在数学建模上的教育还比较陌生3.由于现在学业负担重，应试教育还是主题 面对还未完善的教学体系.4.2 中学数学建模中常见的教学方法1.中学数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入.把培养学生应用意识落实在教学过程中，以教材为载体，改变教学方法，将建模融入常规教学中.2.重视课堂教学，立足课本，挖掘改编.对课本中出现的应用题，改变一些条件或问题，综合扩广类比成新的应用题，逐步提高学生的建模能力.3.深入生活实际，在生活中发现数学建模问题.学数学的一个基本目的是用数学，用数学解决生活中的问题.教师应引导学生认识到生活中处处存在数学，利用学生生活中的事情作为背景编制数学建模题，提高学生的建模意识.4.编拟社会热点的相关应用题，介绍建模方法.可以让学生树立正确的商品经济观，帮助他们日后主动用数学解决身边的问题.4.3 中学数学建模教学中需要注意的问题1.每一个数学模型在现实生活中都有其原型，在数学教学过程中，教师应尽量将比较恰当的原型向学生展现出来，然后带领学生观察，分析，这样学生不仅可以学到知识，并能体会到数学学习的用途，从而更能激发学生学习数学的兴趣 2.学生是学习的主体，在数学建模过程中更应该把握好学生的主体地位因为每个人的思维方式不同，所以建造的模型也可能不同，只有靠自己的努力构建的模型才能有更好的提高和发展教师可以在学生需要的时候给予提示和引导3.数学模型的构建应与所学知识相关选题必须要结合教学内容，否则会造成学生不仅学不到知识，还可能打击学生的上进心数学建模也可以在物理等其他学科方面选择题材4.培养学生学习数学的兴趣，我们可以从学生非智力因素来培养激发学生对学习数学的求知欲、培养学生广泛的兴趣等都对学好数学有很大帮助教师可以从学生最感兴趣的问题入手，然后通过变化，延伸等方法提出更深层的问题，这样形成逐渐深入的知识链，从而让学生不仅学习到知识，而且还可以发现数学的魅力 总之，中学数学建模教学引导学生学会用数学知识来解决现实问题，让学生体会学以致用的乐趣，从而提高学生学习的积极性数学建模教学的进行还可以发散学生思维，拓展学生的知识面在中学为了更好的实施数学建模教学，中学数学教师首先应该具有比较好的建模意识，同时需要不断地提升自己的能力，了解最新的数学理念，能够准确的把握问题的深浅，这样才能使中学数学建模有更好的发展.4.4中学数学建模教学的教学原则数学知识应用的教学，主要研究的是具有实际背景的例子，多是经过加工的实际问题，但突出的是数学，所要达到的教学目的是加深对所学知识的理解，巩固所学数学知识和数学方法，解决数学知识“有用”的认识问题.数学建模运用的是数学工具，解决的是来自生产生活中的非数学问题.尽管受知识和能力所限，中学数学建模问题较多的还带有应用的性质.但是仍需经历：采集信息，建构数学模型、对数学模型求解、实践检验的全过程.因此数学知识与数学建模的教学模式，必须体现以下教学原则.1.适度性原则数学建模设计既要保持问题的实际背景，又要使学生在理解社会信息上不产生困难.实际背景可能涉及许多因素，提供的条件可能不足或过剩，属于专业化，计算量过大，因此，数学建模要对问题的实际背景再加工，达到适度，尤其是在中学教学中更应注意，不要使学生产生畏惧心理.2.循序渐进的原则数学建模设计要考虑学生的实际认知水平，应采取螺旋式上升便于学生掌握.3.因材施教原则数学建模要考虑学生的知识和个性差异，针对不同层次的学生提出不同要求，合理评价.4.适应性原则数学建模的设计英语课堂教学内容相配套，体现数学建模的思想方法，课外活动中，建模设计所涉及的数学知识可有所拓宽，但课堂教学中数学建模问题要与教学目标和课堂教学进度相适应，不可任意拓宽和加深，加重学生学习负担.5 数学建模的类型及应用举例数学建模思想可应用于中学数学教学那些地方呢？根据课标要求和现行教材内容，初中数学常见的建模类型有：涉及现实生活中普遍存在的等量关系(不等量关系)，建立方程(不等式)模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型；涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中的测量问题，建立解直角三角形模型；涉及对数据的收集、整理和分析，建立统计模型等，随着新课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点和热点情景设置的取材广泛，有社会热点问题，如环保、纳税、经济、“三农”问题等，极具时代气息；也有日常实际问题，如购物、统计、几何图形的计算等，更加贴近生活解决实际情景问题的关键是“转化”，即将实际情景问题“数学化”，根据已有的数学知识、经验去构建相应的数学模型(即数学建模)，进而解决问题.现做一些举例.初中数学建模教学常见的几种模型常见的几种模型5.1方程（组）模型 方程（组）是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否符合实际问题的意义.例 为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？点评：对现实生活中广泛存在的如增长率、储蓄利率、产品购销、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题，通常可以通过构建方程(组)模型来解决5.2不等式模型 现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值.但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识. 例 某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨.(1)将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？(2)若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总费用最少，应选择哪种方案？分析：由题意知，选择哪种购票方案最佳，要运输费最省而定，分情况比较纳几种情况所需的费用最少.由于甲、乙两种车辆的载重量一定知的，故可通过设未知数构建不等式模型，实现等与不等的转化，从而对这两种方案所需的费用作出比较，确定最佳方案.点评：通过构建一元一次不等式(组)模型，把实际问题转化为一元一次不等式(组)进行求解，一是要注意正确找出实际问题中的不等关系，二是要注意按照列不等式(组)解应用题的基本步骤(审，设、列、解、答)，求出符合题意的答案. 在现实世界中，正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的如在市场经营、核定价格、分析盈亏、估计产量、投资决策等许多问题中，可以通过挖掘实际问题所隐含的数量关系，构建不等式(组)模型加以解决5.3几何模型几何模型在中学数学学习中,有些问题用比较形象的图形来表示可以得到更好的解决,初等几何模型就是用图形的方法解决问题时建立的模型.我们通过举例来说明初等几何模型在中学数学中的应用.例 （台风）某次台风中心在O地，台风中心以25千米/时的速度向西北方向移动，离台风中心240千米的范围内都会受台风影响，某A市在O地的正面方向320千米处，问A市是否会受此次台风的影响？若会，将持续几个小时？ 分析：这是综合解直角三角形的问题，画出示意图：如图1，先计算出AB的长，比较得：AB240，确定会受此次台风影响，而后计算出CD的长，进而就可求出持续的时间.点评：几何与人类的生活密切相关诸如工程定位、材料加工、拱桥计算、皮带传动、残轮修复和跑道设计等，都涉及到几何图形及其性质，这就需要构建几何模型，将实际问题转化为几何问题进行求解5.4 函数模型 新课标提出，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数，二次函数等来解决简单的实际问题.在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型.因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决. 例 某商人开始时将进价为每价8元的某种商品按10元出售，每天可出售100件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种商品每提高1元，则每天的销售量就会减少10件.（1） 写出售价x元/件与每天所得利润y元之间的函数关系式. （2） 每件售价为多少元时，才能使一天利润最大. 分析：本例利用题中所给信息，可以构建一次函数模型先由待定系数法求出一次函数的解析式，它表示的是销售量与单价之间的关系，再由利润公式求得利润的函数，并求它的最大值.点评：函数揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用料最省、成本最低、利润最大等，可以构建立函数模型，转化为求函数的最值问题.5.5统计模型 在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛.而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现.如新课标明确提出：体会用样本估计总体的思想.统计是数学在生活，生产中应用的重要方面.在教学中应注重所学内容与日常生活，自然等领域的联系.例 为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图2（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12.回答下列问题： 频数(人)1801206015.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)图2（1）在这个问题中，总体是 ，样本容量为 .（2）第四小组的频率为 ，请补全频数分布直方图.（3）被抽取的样本的中位数落在第 小组内.（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数.点评：统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用要构建统计模型，最有效的方法是投入到统计的全过程之中，提出问题、进行抽样、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策，并在这个过程中学习、掌握和运用统计的思想方法.由于篇幅问题，本文就不再一一举例，总之，从方法论角度看，数学建模是解决实际问题的一种数学思想方法，体现了解决应用问题的基本步骤；从认识论角度看，数学建模是着重于一种活动、一个过程，时常需要多次迭代才能完成的过程，是一种数学的认知活动；从教学论角度看，数学建模是理论与实践的有机统一，学生认知结构的深化与完善.解应用性数学问题，关键是将实际问题中内在本质的联系抽象转化为数学问题，进而建立数学模型，求解得出实际问题的答案.6 总结应用数学知识去解决实际问题，常常需要在数学理论和实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”中学数学建模教学引导学生学会用数学知识来解决现实问题，让学生体会学以致用的乐趣，从而提高学生学习的积极性数学建模教学的进行还可以发散学生思维，拓展学生的知识面在中学为了更好的实施数学建模教学，中学数学教师首先应该具有比较好的建模意识，同时需要不断地提升自己的能力，了解最新的数学理念，能够准确的把握问题的深浅，在数学教学中要注重构建学生的数学建模意识，持以学生为主体，逐渐渗透符合实际的建模教学.一切教学活动必须以调动学生的主观能动性、培养学生的创新思维为出发点，我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”，必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.参考文献1 刘兼. 数学课程标准M. 北京：北京师范大学出版社，2002.7.2 叶其孝. 中学数学建模M. 湖南：湖南教育出版社，1998.3 杨慧. 在高中数学教学中进行创新教育的探讨J. 河南省:新乡教育学院学报2006.3.4 陈理荣. 数学建模导论M. 北京：北京邮电大学出版社，1999.5 王兵团. 数学建模基础M. 北京：清华大学出版社，2004.6 姜启源. 数学模型.第三版M. 北京：高等教育出版社，2003.6.7 沈文选.数学建模M.湖南师大出版社，1999年7月第1版8 黄立俊、方水清.增强应用意识,增强建模能力N.中学数学杂志,1998年第5期9 卜月华.中学数学建模教与学M. 南京：东南大学出版社，2002，310 兰永胜.数学思想方法与建模技