第二章 随机变量及其分布 3.1《离散型随机变量的均值》课时1

2 3 1离散型随机变量的均值 1 了解离散型随机变量的均值或期望的意义 会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 2 理解公式 E aX b aE X b 以及 若X B n p 则E X np 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望 3 感悟数学与生活的和谐之美 体现数学的文化功能与人文价值 本节是一节概念新课 通过知识回顾 两个简单实例引入课题 数学期望概念 离散型随机变量期望公式 通过讨论得到随机变量Y与X具有线性关系即Y aX b 它们的期望具有同样的线性关系 进一步利用练习进行巩固 再利用典型例题1分析与讲解得到二点分布期望公式 通过例2分析讲解给出服从二项分布的随机变量的期望公式 再通过典型例题引导学生分析问题 解决问题 培养学生归纳 概括等合情推理能力 再通过实际应用 培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的意识 培养其严谨治学的态度 1 离散型随机变量的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 则所得的平均环数是多少 把环数看成随机变量的概率分布列 权数 加权平均 2 某商场要将单价分别为18元 kg 24元 kg 36元 kg的3种糖果按3 2 1的比例混合销售 如何对混合糖果定价才合理 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 设Y aX b 其中a b为常数 则Y也是随机变量 1 Y的分布列是什么 2 E Y 思考 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 二 数学期望的性质 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分X的均值是多少 一般地 如果随机变量X服从两点分布 则 小结 例2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 他连续罚球3次 1 求他得到的分数X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 一般地 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 则 小结 基础训练 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球 从中有放回地取5次 则取到红球次数的数学期望是 3 1 一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且只有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 2 决策问题 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时要损失60000元 遇到小洪水时要损失10000元 为保护设备 有以下种方案 方案1 运走设备 搬运费为3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能挡住小洪水 方案3 不采取措施 希望不发生洪水 试比较哪一种方案好 3 某商场的促销决策 统计资料表明 每年国庆节商场内促销活动可获利2万元 商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 如遇下雨则损失4万元 9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40 商场应选择哪种促销方式 4 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的分起付款期数的分布列为 得a 10000 故最大定为10000元 练习 1 若保险公司的赔偿金为a a 1000 元 为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七 则保险公司应将最大赔偿金定为多少元 2 射手用手枪进行射击 击中目标就停止 否则继续射击 他射中目标的概率是0 7 若枪内只有5颗子弹 求射击次数的期望 保留三个有效数字 0 34 0 33 0 7 0 32 0 7 0 3 0 7 0 7 p 5 4 3 2 1 一 离散型随机变量取值的平均值