高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题14平面向量的数量积文（含解析）.docx

专题14平面向量的数量积一、本专题要特别小心：1.平面向量数量积的模夹角公式的应用2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。二【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题三【方法总结】1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(ab)ca(bc)；消去律：abac bc；ab0 a0或b0，但满足交换律和分配律.2.公式ab|a|b|cos ；abx1x2y1y2；|a|2a2x2y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.abx1y2x2y10与abx1x2y1y20要区分清楚.四【题型方法】（一）向量的数量积例1. 在矩形中，点为的中点，点在，若，则的值（）AB2C0D1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得， 解得，.故选A项练习1. 在中，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，ABCD【答案】B【解析】，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时.故选：B.练习2. 如图所示，已知点为的重心，则的值为_.【答案】72【解析】连接延长交于，因为为重心，所以为中点,且,因为,所以，则,故答案为72.（二）向量的投影例2. 在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且BAC=，BC=1，P为BC中点过点P作PQBC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）ABCD【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则 ，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选：C练习1. 已知|=|=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由已知有=（）（）=-+（-）=2-2，又2=（）2=4（2+2+），又2+=2，所以=2-2，则在方向上的投影为=，令t=3-2，则，则f（t）=，当t0时，f（t）=2，即0f（t）2；当t=0时，f（t）=0，当t0时，f（t）=-，即-f（t）0，综合得f（t）2，即（，故选A练习2. 已知，且，共线，则向量在方向上的投影为_【答案】【解析】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为： 本题正确结果：练习3. 已知，是夹角为的两个单位向量，若，则在方向上的投影等于_【答案】【解析】因为，是夹角为的两个单位向量所以因为，所以因为，所以设与的夹角为，则所以在方向上的投影等于练习4.定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）A在方向上的投影为B C D若，则与平行【答案】BD【解析】由向量投影的定义可知，A显然不成立；，故B成立；，当时不成立，故C不成立；由，得，即两向量平行，故D成立。综上所述，故选BD。（三）数量积与最值例3. 在直角三角形中，点在斜边的中线上，则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：所以设，所以，所以当时，的最大值为，故本题选C.练习1. 已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（）AB2CD1【答案】C【解析】由-（）+=0得：（）（-）=0，即（）（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DCAB时，|DC|DC|，设ADC=，则|DC|=|DO|+|AO|=sin+cos=sin（），所以当时，|DC|取最大值，故选：C练习2. 在直角梯形中， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cos，sin）（0），由得，（cos，sin）（2，1）+（1，）cos2，sin，6+6（）2（sin+cos）2sin（），sin（）2sin（）2，2，即6+的取值范围是2，2故选：D练习3如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，则的最大值为（ ）A B2 C D【答案】C【解析】如图，取中点，交外接圆于，交内切圆于，此时为外接圆劣弧的中点，取得最大；为内切圆劣弧的中点，取得最小，记的最大值为，的最小值为，而，故的最大值为，故选C.练习4. 已知平面向量，当时，的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，在中，已知，在OB上取点D，使得，在AB上有动点C，使（），则，.故选：C.（四）由数量积求参数例4. 在中，设点、满足， ，若，则（ ）AB2CD3【答案】D【解析】因为，则，所以.由已知，则.选.练习1. 向量，若，则_.【答案】【解析】向量，所以，又因为，所以，即，解得，故答案为.练习2。设向量，若，则实数_【答案】1.【解析】因为，所以，得。（五）由向量数量积求范围例5. 三角形中，,，为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，结合题目中的条件得到原式等于：,结合二次函数的性质得到范围是：.故答案为：B.练习1. 在平面上，.若，则 的取值范围是()A BC D【答案】D【解析】，0，.，. ，222()2，0，0， ，即|.故答案为：D练习2. 如图，在直角梯形中， ， ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动若，其中，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】以 点为坐标原点， 方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A(0，0),B(2，0),D(0，1),C(1，1), =(2，0),=(-1,1)，设点的坐标为 ，由意可知： ，据此可得： ，则： ，目标函数： ，其中 为直线系 在y轴的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 .当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则的取值范围是 .故选：B.练习3. 已知向量，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】由题意可知：且解得：且，即本题正确结果： 练习4.已知（1）求与的夹角；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；;，.（2），两边平方可得，即，解得，或；的取值范围为（六）数量积的综合应用例6. 在中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是_.【答案】【解析】令，则，故可化为，代入得化简得则故当时，取得最小值故答案为练习1. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，满足.（1）求的值；（2）已知，若函数的最大值为3，求实数的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）由题意知，即，所以，即.（2）易知，则，所以，令，则，其对称轴方程是.当时，的最大值为，解得；当时，的最大值为，解得（舍去）.综上可知，实数的值为.练习2. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）0.【解析】（1）由题意知，.（2）由题意知，则.，即.练习3. 已知向量，其中，分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量.（1）若,三点共线时，求实数的值;（2）若是直角三角形，且为直角，求实数的值与向量在方向上的投影.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知,， ,共线即为,共线解得（或由求解）（2）由题知解得向量在方向上的投影为练习4. 已知中，边上一点满足，.(I)证明：为的内角平分线；()若，求.【答案】()见解析.（）.【解析】（I）因为所以，又因为，所以，所以为的内角平分线. （方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（）中，中，中，中，.（七）向量数量积在三角和几何上应用例7. 如图所示，在平面上，点，点在单位圆上且 .（1）若点，求的值：（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）由条件得B（，），AOB=， tan=， tan2 = = = ，tan（2+）= = =（2）由题意得=|sin（）=sin=（1，0），=（cos，sin）， =+=（1+cos，sin）， =1+cos， +=sin+cos+1=sin（+）+1（0）， ，sin（）1， +的取值范围为练习1.根据平面向量基本定理，若为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为 =，则向量与有序实数对一一对应，称为向量的基底下的坐标；特别地，若分别为轴正方向的单位向量，则称为向量的直角坐标.（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若，则；（II）如图，直角中，点在上，且，求向量在基底下的坐标.【答案】（I）见解析.（II）.【解析】（I）证明：根据题意： ，（4分）. （II）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知，从而，所以，化简得：，所以在基底下的坐标为.法二（向量法）：同上可得：，所以.上法也可直接从开始.法三（向量法）：设，则利用共线可解得.法四（坐标法）：以为坐标原点，方向为轴正方向建立直角坐标系（以下坐标法建系同），则，由几何意义易得的直角坐标为.设，则=，又知，则由三点共线易得.法六（坐标法）：完全参照必修4P99例8（2）的模型和其解答过程，此处略.法七（几何图形法）：将分解在