1_5全概率与贝叶斯公式

5全概率公式与贝叶斯公式 一 全概率公式引入 四 贝叶斯公式及其应用 二 全概率公式推导 三 全概率公式应用 全概率公式与贝叶斯公式 一 全概率公式问题引入 引例1 设甲袋有8个白球7个红球 乙袋有5个白球3个红球 现从甲袋中任取2球放入乙袋 再从乙袋中任取2球 求从乙袋取出2个红球的概率 引例2 设仓库中共有10箱产品 其中甲乙丙三厂各有5 3 2箱 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10 15 20 现从中任取1箱 再从该箱中任取1件产品 求取得次品的概率 小结 诸如此类的概率都是比较难求的 给人的感觉是 问题太复杂 不知该从哪里下手 复杂的问题能否简单化呢 思想 分块 化整为零 设 为样本空间 若事件 1 2 n满足 1 2 n两两不相容 即 则称 1 2 n 为样本空间 的一个划分 想法 将B分解到 1 2 n上计算然后求和 全概率公式与贝叶斯公式 一 全概率公式问题引入 样本空间的划分 B 设试验 的样本空间为 设事件 1 2 n为样本空间 的一个划分 且 i 0 i 1 2 n 则对任意事件 有 B 因为 i j 按概率的可加性及乘法公式有 故 i j 二 全概率公式推导 证明 三 全概率公式应用 例1 设甲袋有8个白球7个红球 乙袋有5个白球3个红球 现从甲袋中任取2球放入乙袋 再从乙袋中任取2球 求从乙袋取出2个红球的概率 解 设 1 从甲袋取出2个红球 从甲袋取出2个白球 3 从甲袋取出1个白球1个红球 B 从乙袋取出2个红球 1 3两两互斥 且 1 3 所以P P 1 P 1 P P P 3 P 3 例2 设袋中有12个乒乓球 9个新球 3个旧球 第一次比赛取3球 比赛后放回 第二次比赛再任取3球 求第二次比赛取得3个新球的概率 解 Ai 第一次比赛恰取出i个新球 i 0 1 2 3 B 求第二次比赛取得3个新球 显然A0 A1 A2 A3为必然事件 由全概率公式得 三 全概率公式应用 例3 两台机床加工同样的零件 第一台的废品率为0 04 第二台的废品率为0 07 加工出来的零件混放 并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍 现任取一零件 问是合格品的概率为多少 解 令Ai 零件为第i台机床加工的 i 1 2 即A1 A2为一完备事件组 B 取到的零件为合格品 由全概率公式得 三 全概率公式应用 练习 某人去某地 乘火车 轮船 汽车 飞机来的概率分别为0 3 0 2 0 1 0 4 迟到的概率分别为0 25 0 3 0 1 0 求他迟到的概率 解 设A1 乘火车来 A2 乘轮船来 A3 乘汽车来 A4 乘飞机来 B 迟到 易见 A1 A2 A3 A 由全概率公式得 0 3 0 25 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 145 四 贝叶斯公式及其应用 引例 设仓库中共有10箱产品 其中甲乙丙三厂各有5 3 2箱 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10 15 20 现从中任取1箱 再从该箱中任取1件产品 若取得的产品为次品 问该产品是甲厂生产的概率是多少 说明 本例不是求取得的产品为正品 次品问题 而是在明确知道产品品质的情况下 确定 货出谁家 的问题 分析 设A1 甲厂生产的产品 A2 乙厂生产的产品 A3 丙厂生产的产品 B 取得次品 故求事件的概率为 P A1 B 1 问题引入 于是 j 1 2 n 由条件概率的定义及全概率公式 四 贝叶斯公式及其应用 2 公式推导 贝叶斯公式 例4 对以往数据分析的结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75 试求某日早上第一件产品是合格品时 机器调整得良好的概率 解 设A1 机器调整良好 A2 机器调整不好 B 产品合格 已知P A1 0 75 P A2 0 25 P B A1 0 9 P B A2 0 3 需要求的概率为P A1 B 由贝叶斯公式得 P A1 P A2 通常称为验前概率 P A1 B P A2 B 称为验后概率 3 应用举例 解 设A1 灯泡是甲厂出产的 A2 灯泡是乙厂出产的 A3 灯泡是丙厂出产的 B 买到一个次品灯泡 由题设知P A1 0 25 P A2 0 35 P A3 0 4 P B A1 0 05 P B A2 0 04 P B A3 0 02 由全概率公式得 0 25 0 05 0 35 0 04 0 4 0 02 0 0345 由贝叶斯公式得 类似可得P A2 B 0 4058 P A3 B 0 2319 显然 是乙厂出产的可能性大 例5 某商店由三个厂购进一批灯泡 其中甲厂占25 乙厂占35 丙厂占40 且各厂的次品率分别为5 4 2 如果消费者已经买到一个次品灯泡 问是哪个厂出产的可能性大 例6 对目标进行三次独立射击 设三次命中率分别是0 4 0 5 0 7 已知目标中一弹 二弹 三弹被击毁的概率分别是0 2 0 6和0 8 求 炮击三次击毁目标的概率 已知目标被击毁 求目标中二弹的概率 解 设Ai 目标中i弹 i 0 1 2 3 B 目标被击毁 Ci 第i次击中目标 i 1 2 3 由题意 C1 C2 C3相互独立 P C1 0 4 P C2 0 5 P C3 0 7所以 1 0 4 1 0 5 1 0 7 0 09 0 4 1 0 5 1 0 7 1 0 4 0 5 1 0 7 1 0 4 1 0 5 0 7 0 36 0 41 0 14 例6 对目标进行三次独立射击 设三次命中率分别是0 4 0 5 0 7 已知目标中一弹 二弹 三弹被击毁的概率分别是0 2 0 6和0 8 求 炮击三次击毁目标的概率 已知目标被击毁 求目标中二弹的概率 P B A0 0 P B A1 0 2P B A2 0 6 P B A3 0 8由全概率公式得 0 09 0 0 36 0 0 41 0 6 0 14 0 0 43 2 由贝叶斯公式得 作业 25页14 15 16 17 补充题 设甲袋有a个白球 b个黑球 乙袋有c个白球d个黑球 现从甲袋任取 个球放入乙袋 再从乙袋任取 球 求从乙袋取出 个白球的概率 设 三车间生产同一种产品 产量各占25 35 40 次品率分别为5 4 6 现从中任取 件产品 已知取得的是次品 问它是 车间生产的概率分别是多少 玻璃杯每箱20只 假设各箱中有0 1 2只残次品的概率分别为0 6 0 3 0 1 一顾客欲购买一箱玻璃杯 在购买时 售货员随意取一箱 而顾客开箱随机地察看 只 如果无残次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 试求 1 顾客买下该箱玻璃杯的概率 2 在顾客买下的一箱玻璃杯中 确实没有残次品的概率 托马斯 贝叶斯 ThomasBayes 1701 1761 英国牧师 业余数学家 生活在18世纪的贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师 为了证明上帝的存在 他发明了概率统计学