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文档简介
第四节满秩分解 本节讨论将一个非零矩阵 长方形 分解成一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题 主要内容 1 矩阵的Hermite标准型2 利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解 满秩分解定理 为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法 先介绍Hermite标准形 或行最简形 1 式称为矩阵A的满秩分解 说明 当A为满秩矩阵 列满秩或行满秩 A可分解为一个因子为单位矩阵 另一个因子为A本身 称此满秩分解为平凡分解 定义矩阵的Hermite标准形H为 1 前r行中 每行至少有一个非0元 且第一个非零元为1 而后m r行全为0 2 若H中第i行的第一个非零元1位于第ki i 1 2 r 列 则有k1 k2 kr 3 k1 k2 kr列为单位矩阵Im的前r列 即有 定理 任何一个非零矩阵都可通过初等行变换化为Hermite标准形H 且H的前r行线性无关 采用矩阵的说法就是 存在 使得 例1化矩阵A为Hermite标准形 满秩分解定理 设 且A的Hermite标准形H为 则取A的第列构成矩阵B 取H的前r行构成矩阵 C 则A BC即为矩阵A的满秩分解 1 求矩阵A的Hermite标准形H 2 取矩阵C为H的前r个非0行 3 取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列 则A BC 满秩分解的步骤 例 求矩阵 的满秩分解 首先利用行初等变换求A的Hermite标准形H 可见 故A的满秩分解为 设 则 注2 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的 但对不同的分解 A BC 乘积保持不变 注1 矩阵A的满秩分解是不唯一的 第五节QR分解 QR分解也称为正交三角分解 矩阵QR分解是一种特殊的三角分解 在解决矩阵特征值的计算 最小二乘法等问题中起到重要作用 主要内容 1 矩阵的QR分解 Schmidt正交化方法2 矩阵的QR分解 Householder变换 Givens变换 略 QR分解定理 任意一个满秩实 复 矩阵A 都可唯一地分解A QR 其中Q为正交 酉 矩阵 R是具有正对角元的上三角矩阵 由于x1 x2 xn线性无关 将它们用Schmidt正交 证明 设A是一个实满秩矩阵 A的n个列向量为x1 x2 xn 定义 设 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R 使得 则称之为A的QR分解或酉三角分解 当时 则称为A的正交三角分解 化方法得标准正交向量e1 e2 en 其中 从而有 唯一性略 说明 该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵QR分解的方法 例1 利用Schmidt正交化
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