分油问题的数学模型.doc

分油问题的优化模型摘要：在实际中, 由于材料、资源等方面的限制会造成相关问题的解决。例如，分油是油瓶不够等等，这时需要利用已有的资源进行充分的利用，挖掘潜在价值对实际问题进行求解。本文针对分油问题,通过研究、分析、假设，运用逻辑推理演算，对问题的实质加以数学剖析建立相应的数学动态优化模型，从而从本质上使问题得以解决。动态优化模型经过逻辑思考的推理，又可将分油的简单问题运用到我们的实际生活中来，解决类似该类情况的问题。关键字：分油问题、逻辑推理、数学剖析、动态优化模型一、 问题重述已知有一个装满10斤油的油瓶，另则有可装3斤油和7斤油的两个空油瓶，在没有秤的的前提下，试建立数学模型如何用这3个油瓶将10斤油分成各为5斤油的两份。在油瓶不多的前提下完成不同情况下的分油问题，事实上，由于无足够多的油瓶，分油问题会遇到一定的瓶颈。因此一般以充分利用油瓶及合理分配的原则优化分油。二、问题分析动态优化模型的分析：（1）10斤油倒向7斤油瓶中；（2）7斤油倒向3斤油瓶；（3）3斤油瓶倒向10斤油瓶；（4）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（5）3斤油倒倒向10斤油瓶；（6）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（7）10斤油瓶倒向7斤油瓶；（8）7斤油瓶倒向3斤油瓶；（9）3斤油瓶倒向10斤油瓶。设x为7斤的油瓶，y为3斤的油瓶，z为10斤的油瓶。表1：分油的具体步骤如下操作步骤x(7斤油瓶)y(3斤油瓶)z(10斤油瓶)z=100010(zx)703(xy)433(yz)406(xy)136(yz)109(xy)019(zx)712(xy)532(yz)505由表1知可建立一个三维空间直角坐标图，我们可以得出结论：（1） 当点落在x轴上时，表示3斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶；（2） 当点落在y轴上时，表示7斤油瓶和10斤油瓶为空油瓶；（3） 当点落在z轴上时，表示3斤油瓶和7斤油瓶都为空油瓶；（4） 当点落在xoz平面上时，表示3斤油瓶为空油瓶；（5）当点落在xoy平面上时，表示10斤油瓶为空油瓶；（6）当点落在yoz平面上时，表示7斤油瓶为空油瓶；（7）当点既不落在坐标轴上也不落在平面上时，三个油瓶均为空油瓶。用Origin75软件画出如下三维空间坐标图：图1.三维坐标图只须从三维空间坐标图中找出一条（0，0, 10）到（5, 0，5）的路径，就是我们所需要的分油法；上表1的操作步骤就是路径的走法。三、模型假设1. 假设油是在常温下保存不会发生任何的变质现象，且分油的过程中也是在常温下进行没有任何的外界干扰。2. 假设三个油瓶都是完好无损的。3. 假设10斤油瓶中准确装满10斤油。4. 假设3斤油瓶和7斤油瓶都是准确装满油。5. 假设每次倒油的过程中没有发生泄露，溢出现象，即油没有任何的损失。6. 假设每次倒油的过程中黏附在油瓶上的油都忽略不计。四、 符号说明（1）x：表示7斤油瓶;（2）y：表示3斤油瓶;（3）z：表示10斤油瓶；（4）：表示第次倒油时，7斤油瓶中的油量；（5）：表示第次倒油时，3斤油瓶中的油量；（6）：表示第次倒油时，10斤油瓶中的油量；（7）:表示第次倒油时，7斤油瓶中的油的变化量；( 8 ) :表示第次倒油时，3斤油瓶中的油的变化量；( 9 ) :表示第次倒油时，10斤油瓶中的油的变化量；(10) :表示初始状态下各瓶中的油量;(11) :表示状态下各瓶中的油量;(12) :表示末始状态下各瓶中的油量;(13) :.表示状态下各瓶中的油量变化。五、 模型的建立与求解5.1.（动态优化模型）用有序数组（x , y , z）来反映分油整个过程的集合：。倒油的过程中7斤和3斤油瓶，其中一瓶空或不空，则该过程为：同理可得：由此可以得出状态转移规律：该式状态转移方程，表明了本问题的状态转移关系。求D(=1.2.3n),使按照状态转移方程的状态递归关系，再根据以下的多步决策问题就可得出解决方案。5.2.动态优化模型求解求解决策D，使状态据状态转移方程，从初始状态经过几个阶段到达末状态。由图1的三维空间图可知，我们不必考虑z坐标轴上的变化，进而将三维转化为二维求解。求解决策D，使状态据状态转移方程，从初始状态经过几个阶段到达末状态，则由ScienceWord画出下图图2在图2中，决策变量运动一次表示倒油操作进行一次，即符合状态转移方程，从而完成下一次的操作（一个阶段的操作）。如当时，下一个操作只能是，决策变量左右移动表示z向x中倒油或x向z中倒油；决策变量上下移动表示y向z中倒油或z向y中倒油；决策变量沿着顺时针或逆时针方向旋转表示x向y中倒油，每移动多少格为x向y中到多少斤油。以上分析就为该模型的解，同理可得图3分油方案：图3将图2和图3的分油方法合并就可得到图4分油的结果： 图4六、 模型评价上述问题所研究的图解法，对任意油瓶容量和分配要求都是适用的。通过用表、图分析法来解决问题，往往使问题更加直观、明了。该模型在数据大的情况下，仅用逻辑思考是难以求解的，可用计算机求解。对于数据不大的这类型题，用本文结论就能快速得出解决方案，值得推广。本文研究的分油问题求解思路具有一定的代表性，现实生活中也常用动态优化模型求解经济管理中的货物存储、设备跟新、资源分配、任务均衡、水库调度、系统可靠性等问题。七、 模型的推广与运用对于这种分油问题，可以推广至x、y和z中装的油量为a、b、c斤，且有c a b;当z中装满c斤油时，x、y均为空油瓶。如何利用三个油瓶将c斤油分成二等分的油量？当b=1时，可以分出1a斤，对b1进行讨论，不难发现分油的步骤是有规律的。（1） x中若为空，则z向x中倒油；（2） 若x不空，x向y中倒油；（3） 若y中油满了，就把y向z中倒油。x中油量a的变化与倒油的操作有关，假设，即。我们可以将x中的油量a进行如下分析：当z中的油倒满x,则x中的油为a斤；当x中的油向y中倒油次，x中的油量为（）斤，当足够大时，x中的油量为斤。将x中的（）斤倒向y，y中的油量为斤。反复重复（1）、（2）步，x中的油量为斤，重复（3）y中的油量为斤。如此反复n次，x中的油曾被倒满n次，则当x中的油量为时，可将c分成二等分；当时，即时，x中的油量为（n=0,1,2,3,）斤，由，即x中的油量为，x可以分成0,1,2,3,斤油，故b,斤油。综上所述，三个分别可装a,b,c斤油的油瓶x,y,z,如存在,使得时，可将c分成