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第三章 小学数学学习过程 3.1 小学数学学习过程概述3.1.1 数学学习的含义 1、关于学习对于学习，国外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释，出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同桑代克的联结说认为“学习就是刺激和反应之间形成的联结”；布鲁纳的认知说则认为“学习是学习者认知结构的组织与重新组织”。联结主义学习理论与认知学习理论是较有影响的两大学派。中国古代的教育史中，“学”和“习”是分开的说文中讲到：“习，数飞也”，意思是鸟反复地练习飞。孔子的“学而时习之，不亦乐乎？”，就是把“学”与“习”看成是获取知识、技能的两种不同方式，“学”是知识、技能的获得，“习”是对已学的知识、技能的练习与巩固，强调“学习”是一个反复实践并获得真知的过程。这一点从“学”与“习”的象形文字就可以看出。 我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动物和人类所共有的一种心理活动。对人类来说，学习是“知识经验的获得及行为变化的过程”。这里需要说明的是：（1）并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才是学习。（2）学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化是内隐的。例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为“外显学习”，思想意识的学习大多是内隐的，叫做“内隐学习”。（3）学习是一个渐进的过程。（4）行为的变化有时表现为行为的矫正或调整。（5）学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化。2、数学学习数学学习是根据教学计划进行的在数学教师指导下，学生从已有的经验出发，主动获得对数学知识的理解与数学技能的掌握，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展的过程。更具体地说,数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介,自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理,形成数学活动的经验,发展数学技能与能力的过程。数学学习是主体的主动认知活动。这就是说，数学学习是学生在学习的环境中，在自己已有经验的基础上主动地通过对外界信息的加工，重新建构自己的经验世界。因此，从本质上说，学生的数学学习是一个依据已有的经验自主构建自己对数学知识的理解的过程。数学学习是极其复杂的心理活动，它不仅是一个认知过程，而且交织着兴趣、性格、动机、情感、意志等心理因素。由于数学的严谨性与数学知识的系统性，从感知数学事物到判断、推理等思维过程，需要更强的意志努力；数学思维的抽象性，更需要自信心与情感的支持；数学问题的复杂性需要良好的学习态度，数学中的问题解决更需要群体的竞争、参与、合作意识，数学认知结构的形成与完善需要良好的数学观与对数学美的情感体验。因此，学生的数学学习是认知因素与情感因素相互交织的过程。3.1.2 数学学习的基本类型对数学学习进行分类是必要的，通过分类，能搞清楚影响同类学习的因素，并揭示出该类学习的心理过程，便于掌握学生学习的一般规律，以利于指导学生的数学学习。数学学习是一种特殊的学习，按照奥苏伯尔的观点，可以把数学学习从两个维度上进行划分：根据学习的深度划分，数学学习可以分为机械学习和有意义学习；根据学习进行的方式划分，数学学习则可以分为接受学习和发现学习。 （一）机械学习与有意义学习机械学习是指学生在学习时，仅能记住某些数学符号或语言文字符号的组合以及某些词句，而不理解它们所表示的内在涵义。例如，符号“”，小学生就知道这是乘法运算符号，也会背出“三四十二”的口诀，但对于“43”的真正意义却不十分清楚，这种学习就是所谓的机械学习。有意义学习是指学生在学习时，不仅能记住所学数学知识的结论，而且能够理解它们的内在涵义，掌握它们与有关旧知识之间的实质性联系，并能融会贯通。例如：关于“43”，学生不仅知道结果等于12，而且知道这是3个4连加，符号“”表示求相同加数和的运算。这种学习就是所谓的有意义学习。 奥苏伯尔认为，学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习内容建立“实质性联系”，是区别有意义学习和机械学习的根本标志。因为数学知识具有逻辑性、系统性，前后知识间的联系非常紧密，所以数学学习基本上是有意义学习。当然，在数学学习中，也不排斥机械学习，某些情况下还是需要的。为了帮助学生记忆，可以运用“口诀”或“图表”。例如，大于号“”和小于号“”的学习，可以利用“开口对大数，尖尖对小数”这句口诀来帮助学生记忆。又如，讲完了比的意义之后，为了帮助学生记住比同以前学过的除法、分数的联系与区别，可让学生利用下表来记忆。联 系区 别比前项比号()后项两个数的倍数关系除法被除数除号()除数一种运算分数分子分数线(）分母具体的数但必须注意，上述这些帮助记忆的方法，只能是辅助性的，切不可用来代替有意义学习，因为这些方法只有助于“记”，而不能表明各个结果是如何推导出来的，也不能概括这些结果的意义。 奥苏伯尔认为进行有意义学习必须具备两个条件：第一，学习的材料必须具有潜在的意义，所谓“潜在的意义”，是指新学的知识内容与学生原有认知结构中的某些内容之间存在一定的逻辑联系，而且这些新学的材料能够同化到学生原有的认知结构中去；第二，学生必须具备有进行意义学习的条件和意向，即一定的智力发展水平和理解学习材料的欲望。例如，微积分中求导公式的学习，对于小学或初中的学生来说，在一般情况下，都只能是一种机械学习，因为他们的智力发展水平和数学认知结构都无法使他们理解导数的概念；而对于高中学生，只要知识内容安排得当，学生的数学学习动力被充分激发，教师的讲授方法正确，有意义学习则是完全可以做到的。 （二）接受学习与发现学习接受学习，是指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者的那样一种学习方式。即把问题的条件、结论以及推导过程等都叙述清楚，不需学生独立发现，只要他们积极主动地与已有数学认知结构中适当的知识相联系，进行思维加工，然后与原有知识融为一体，以备进一步学习和应用之需。而发现学习则恰好相反，学习的主要内容不是教师以定论的形式提供给学生，而是要让学生自己去独立发现。这些经过自己发现而组织到认知结构中去的材料最容易保持，所以发现学习对于激发内部动机、掌握学习方法和培养创造精神都是有益的。例如，利用画一画、剪一剪、拼一拼、凑一凑、量一量的办法，让学生去发现关于三角形内角和的命题的学习，就是一种发现学习。 发现学习显然比接受学习复杂得多，所花的时间也比较多。一般地说，学生的数学知识，大量是通过接受学习获得的，而各种数学问题的解决，则往往通过发现学习来实现。 （三）两种划分的关系机械学习和有意义学习、接受学习和发现学习是划分学习的两个维度。这两个维度之间存在着交叉，即接受学习可以是机械学习也可以是有意义学习，发现学习可以是机械学习也可以是有意义学习(两种分类的关系如下图)。例如：在并不真正懂得分数概念的情况下，学生依然可能在多次观察例举后“发现”分数的运算法则，并熟练地进行分数运算，这就不是真正的有意义的发现。 有意义学习 有意义接受学习 有意义发现学习接受学习 发现学习 机械接受学习 机械发现学习 机械学习 在学校教育条件下，发现学习往往是在教师的指导下进行的，可称为指导发现学习，以区别于独立发现学习。在数学学习中，学生的学习通常应是以有意义的接受学习为主，辅之以有意义的指导发现学习，尽量避免机械学习，对少数优秀学生，则应鼓励他们进行一些有意义独立发现学习。 3.1.3 小学生数学学习的特点作为一种学习活动,数学学习和其它科目的学习之间存在着一些共同的特点。这些特点可以概括为如下几个方面:以学习书本上的间接知识为主;以学习既成的系统的知识为主;以学习基础知识和基本技能为主;学生的学习是在“学习共同体”中的个体认知行为;学生的学习是在教师指导下的行为。由于数学自身具有极度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性等特点,加之数学学习是学生学习数学思维活动的过程,又决定了数学学习不仅有着学习活动的一般特点,而且带有自身明显的特殊性。l.数学学习是解决问题的思维活动过程。 2.数学学习是直观的、实验的探究过程与抽象的、逻辑的推理过程的统一。 3.1.4 小学数学学习一般过程关于学习过程，存在着两种基本观点：一是以桑代克、巴甫洛夫、斯金纳为代表的刺激反应联结观点；另一个是布鲁纳、奥苏伯尔等为代表的认知观点第一种观点认为，学习过程就是形成刺激和反应之间的联结过程，因而，要研究学习过程，主要就是要研究刺激和反应进行的关系，以及它们之间发生了什么第二种观点认为，学习过程是学生原有的认知结构中的有关知识和新学内容相互作用（同化），形成新的认知结构的过程以下我们在认知观点的基础上来探讨数学学习过程（一）数学认知结构认知心理学认为，刺激和反应的联结，是以主体的某种“结构”为中介的，这种“结构”对信息加工和改造起着积极的作用认知心理学把这种主体中存在的结构称为认知结构学生在数学认知活动中，也同样存在着某种结构，这种结构称之为数学认知结构所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。实践表明，学生的数学认知结构有其固有的特点，即：（1）数学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物。（2）数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织它既可以是学生头脑里所有数学知识、经验的组织，也可以是特殊数学知识内容的组织前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响它在数学学科中的一般学习后者所指的是某一数学知识、经验的组织特征也就是说，数学认知结构既是专门化的概念，又是一个带有普遍性的概念，它体现了数学知识和数学认知的统一。（3）数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识即数学认知结构是一个有层次的阶梯高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构。 （4）每一个学生的认知结构各有特点，个体认知结构在内容和组织方面的特征称为认知结构变量，数学认知结构具有三个变量：（1）在认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用；（2）新的学习材料和起固定作用的观念之间的可辨别程度；（3）原有起固定作用的观念的稳定性和清晰性。（5）数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接收到新的数学信息，人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。（6）数学认知结构是一个不断变化的动态组织随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展（7）数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的（8）从功能上来说，学生既能借助已有的认知结构去掌握现有的知识，又能借助原有的认知结构创造性地去解决问题数学认知结构是数学学习过程中的一个中心心理成份（二）学生数学认知的基本方式学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去构建的，同化和顺应是学生数学认知的基本方式。 1、同化同化是数学认知方式之一。在奥苏伯尔的认知同化学习理论中，“同化是指新知识被认知结构中的原有适当观念吸收，新旧观念发生相互作用，新知识获得心理意义且使原有认知结构发生变化的过程”。在数学学习中，同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造，然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。如异分母分数加减法的学习过程，就是一个利用分数基本性质通过通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法并将其纳入到原来已经形成的同分母分数加减法认知结构中去，从而扩大和完善分数加减法认知结构的过程。从同化的意义不难看出，同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的适当观念有实质的、非人为联系，即原有认知结构中有能够同化新知识的适当观念。很明显，同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。 2、顺应顺应是指某些新的数学知识不能真接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。简言之，顺应就是改造原有认知结构而建立新的数学认知结构的过程。如果说同化是促进原有认知结构量变从而扩大认知结构内容的过程，那么顺应则是使原有认知结构发生质变从而建立新的数学认知结构的过程。顺应主要适用于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。如开始学习负数时，由于学生头脑中只有用算术数的概念，又找不出与负数有实质的、非人为联系的观念，因而无法采用同化的认知方式进行学习，就只能采用顺应的认知方式。心理学研究表明，在学习中，学生用顺应的方式改造原有认知结构接纳新知识主要是通过两种途径去实施的：一是调整，二是并列。所谓调整，就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。例如，在负数的学习中，就可采用这种方式对加、减法运算符号“+”、“-”分别赋予“正”、“负”的意义，学生的原数学认知结构得到调整，负数才被纳入新的数学认知结构中去。所谓并列，就是赋予新知识和认知结构中某些原有观念以一定意义的外在联系，并把新知识与旧的知识联接成一定的结构。如在分数乘法意义的学习中，就可利用一个数乘分数和学生认知结构中整数乘法意义的联系，通过具体实例(如一瓶桔子汁重千克，瓶重多少千克？)赋予一个数乘分数“就是求这个数的几分之几是多少”的意义。由此通过一个数乘分数意义与整数乘法意义的并列，实现学生原有认知结构的改造和分数乘法意义新认知结构的建立。综上所述，同化和顺应是认知过程中学生原有的数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各自侧重不同而已。如果说同化是改造新学习内容使其与原有认知结构相吻合的话，那么，顺应则是改组学生原有的认知结构以适应新学习内容的需要。在数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互为补充的，一方面在改造新学习内容的同时，学生也必须适当调整自己的原有认知结构，使新学习内容与原有认知结构更加吻合；另一方面学生在调整原有认知结构的同时，也总是要对新学习内容作适当改造，将其改造成更有利于接纳的形式，从而保证原有认知结构与新学习内容之间的相互适应。（三）数学学习过程的一般模式数学学习作为一种学习活动，有其发生、发展的过程，这个过程具有一般的模式在一般的学习理论中，心理学家提出了学习过程的模式：苏联心理学家列昂节夫依据对活动结构的分析认为，学习过程是一个环状结构，它由定向环节、行动环节和反馈环节三个基本环节组成；美国心理学家加涅运用现代信息加工理论，提出了学习过程结构的八级阶梯模式不管什么样的模式，总离不开两大基本的学习理论，刺激反应理论和认知理论根据学习的认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程依据学生认知结构的变化，数学学习过程的一般模式可用下图3-1表示：图3-1：数学学习过程的一般模式从图3-1可以看出数学学习过程包括三个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作阶段3.2 数学知识的学习数学知识的学习，主要包括数学概念和数学命题(公式、定理、法则等)的学习。现就它们的学习过程分别阐述如下。 3.2.1 数学概念的学习（一）概念的本质概念是反映事物本质属性的思维形式。所谓“本质属性”,就是指它构成某种事物的基本特征,这种属性只为这类事物所具有,它是一种事物区别于另一种事物的根本依据。数学概念是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式。例如,平行四边形这个数学概念,它具有方位、大小、形状诸方面的许许多多属性,但只要抓住“四条边”这条属性,就可把它与多边形相区分;只要抓住“两组对边分别平行”这条属性,就可把它与一般四边形相区分。“四条边”、“两组对边分别平行”就是平行四边形这个概念的本质属性。一旦把本质属性从众多的属性中分离出来,并把这些本质属性作为一个“整体”,我们便形成了“平行四边形”这个清晰的数学概念。因此我们说,概念是事物本质属性的反映指的是整体反映。（二） 概念的内涵与外延概念的内涵与外延,是概念的基本特征,是准确把握概念和系统掌握知识的基础。因此,对概念的内涵与外延要特别予以重视。1、内涵与外延的含义概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围)。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。例如,“偶数”这个概念的内涵是“能被2整除”这个性质,其外延是所有偶数的全体。“一元二次方程”这个概念的内涵是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的等式”这个性质,其外延是一切形如ax2+bx+c=0(a0)的方程的全体。概念的内涵与外延明确了,就可以更好地认识概念,把握概念,否则就会出现错误。例如,若对“算术平方根”这个概念的内涵不明确,往往会出现如下的错误: =-2， 。要对概念加深认识,不仅要明确概念的内涵与外延,还要掌握概念的内涵与外延之间的关系。2、内涵与外延之间的关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质,那就是三角形的内涵,而三角形的外延比等腰三角形的外延扩大了。不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。（三）概念的定义定义是揭示概念的内涵的逻辑方法,它是明确概念的主要方法之一。1、 定义的组成 作为一个正确的定义,一般由三个要素组成。即被定义的概念、下定义的概念和联系词。被定义的概念是其内涵被揭示的概念,而下定义的概念是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用是、叫做,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系,其作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义,在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形”是下定义的概念,“是”是联系词。2、定义的方法（1）“种加类差”定义法:给数学概念下定义常用“种加类差”的方式。其公式为：被定义的概念(类)=最邻近的种概念(种)+类差。这就是下定义常用的内涵法。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。（2）发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法被称为发生定义法。这种定义法是种加类差定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。（3）列举定义法:用列举概念的外延给概念下定义的方法称为列举定义法。用公式表示为:被定义概念(种)=类概念 +类概念 +类概念 +。例如,有理数和无理数统称为实数。列举定义法属于归纳型定义,其顺序是由特殊到一般.（4）约定式定义法:有些被定义概念,不易揭示它的内涵,以客观实践为基础,直接指出概念的外延,把它规定下来,这样的定义法称为约定式定义法。例如,零指数和负指数的定义,规定: (a0), ( 0)3、下定义的规则定义要下得正确,必须遵守以下四条规则:（1）定义应当是相称的. 所谓定义相称就是下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大,也不能缩小,也就是通常说的不能过宽也不能过窄。定义过宽,就是下定义概念的外延大于被定义概念的外延。例如:A、无理数是无限小数。B、直径是弦。此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。例A中的下定义概念“无限小数”的外延大于被定义概念“无理数”的外延。因为无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。定义过窄,就是下定义概念的外延小于被定义概念的外延。例如:A、无理数是有理数的不尽方根B、各角为直角的菱形是矩形。此两例都犯了定义过窄的错误。例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。因为、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。（2）定义不能循环。 在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。循环定义常有以下两种情况：A恶性循环。在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。例如,用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。这样定义概念不能揭示概念的内涵。B词语反复。用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己,这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。以下几例都犯了词语反复的错误。1互质数就是互为质数的数。2基础知识就是最基础的知识。（3）定义必须清楚确切。 在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。例如,“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。这个定义既不清楚确切,也不简明。定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。还如，“两组边相等的四边形是平行四边形”。这样定义平行四边形也是不确切的,因为“两组边”是指的邻边呢?还是对边呢?似是而非,使人们像猜迷语一样去理解概念,是不允许的。（4）定义一般不用否定形式。 定义应当从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示,一般不用否定形式。例如,“不是有理数的数叫做无理数”。这样定义无理数,它既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。但是,有些概念的特有属性就是它缺少的某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。（四）概念的划分概念的划分(或分类)是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。概念的划分就是把被划分的概念作为种概念,并根据一定的属性把它的外延分成若干个全异的类概念。通过对概念正确的划分,可以更深刻地理解概念，更系统地掌握概念。 1、划分的三个要素 一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项和划分的依据。母项是划分的种概念,子项就是划分所得的类概念,划分的依据就是划分时所依据的标准。2、划分的类别 划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。（1）一次划分:只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。（2）连续划分:包括母项和子项三个层次以上的划分,即把一次划分得出的子项作为母项,继续划分子项,直到满足需要为止。（3）二分法:它是每次划分后所得的子项总是两个相互矛盾概念的划分法。它是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类,把恰好缺乏这个属性的对象作为另一类。(五) 数学概念的构成数学概念一般由以下基本成分构成：1. 数学概念名称就是用语词或符号来给概念命名。如平行四边形、方程等就分别是一些具体数学概念的特定名称。2. 数学概念定义数学概念定义就是用特定的词语（或符号）对数学概念的内涵和外延作出科学的规定，如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”和“含有未知数的等式叫做方程”就分别是概念“平行四边形”和“方程”的定义。3. 数学概念例证所谓数学概念例证是指能反映一类数学对象本质属性的具体事物，数学概念既有肯定例证，又有否定例证（一切包含有概念的共同关键特征的事物叫做概念的肯定例证，反之就是概念的否定例证）。4. 数学概念属性数学概念属性是指概念的一切肯定例证所具有的共同本质特征，即通常所指的概念的内涵。如“含有未知数”、“等式”这些都是方程的属性。 (六) 数学概念学习的基本形式数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。 1. 数学概念形成所谓数学概念形成，是指在教学条件下，从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。这种获得数学概念的方式叫做数学概念形成。数学概念形成的过程可以分为以下几个阶段：(1)观察实例。观察数学概念的各种不同的肯定例证，可以是日常生活中的经验或事物，也可以是教师提供的典型事例。例如，要形成平行四边形的概念，可以观察黑板面相对的两条边，立在路边的两根电线杆，横格练习本中的两条横线等。(2)分析共同属性，分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。例如，上面的各个实例分别有各自的属性，通过比较可以得出它们的共同属性是：两条直线、在同一平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交、两条直线可以向两边无限延伸等。(3) 抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内，两条直线间的距离处处相等，两条直线不相交。(4) 确认本质属性。通过比较肯定例证和否定例证检验假设，确认本质属性。例如，举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。来；(5) 概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性，推广到一切同类事物，概括出概念的定义。(6) 符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如，平行线用符号“”表示。(7) 具体运用。通过举出概念的实例，在一类事物中辩认出概念，或运用概念解答数学问题，使新概念与原有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性的联系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。 2. 数学概念同化 所谓数学概念同化，是指在课堂学习的条件下，利用学生认知结构中原有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性，从而使学生获得新概念。这种获得数学概念的方式叫做数学概念同化。用数学概念同化的方式进行概念学习时，要求学生的认知结构中具备一定的概念，并能积极地进行认知活动，将新概念的本质属性与原有认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的“限定”，并能把它从原有概念中分离出来，把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中去。例如，学生在学习梯形的定义：“梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形”时，就要主动地与自己认知结构中原有的概念(平行、四边形、四边形的对边)联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中特殊的一类，从而明确它的内涵与外延。接着与原有的一些概念(如平行四边形)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念(四边形)体系中。最后，通过例题的学习以及练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。数学概念同化的学习过程可以分为以下几个阶段：(1) 揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如，学习二次函数的概念，先学习它的定义：“如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。”(2) 讨论特例。对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出概念的本质属性。例如，二次函数的特例是：y=ax2，y=ax2+c，y=ax2+bx等。(3) 新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。例如，把二次函数与一次函数、函数等联系起来，把它纳入到函数概念体系中。(4) 实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。例如，举出y=2x2+3，y=3x2-x+5，y=-2x2-4等让学生辨认。(5) 具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。3. 数学概念形成与数学概念同化的比较 由上述可知，数学概念形成与数学概念同化是有区别的：数学概念形成主要依靠的是对具体事物的抽象，而数学概念同化则主要依靠的是学生对新旧知识的联系；并且数学概念形成与人类自发形成概念的方式接近，而数学概念同化则是具有一定心理水平的人自觉学习概念的主要方式。中小学阶段，在低年级，数学概念形成用得比较多，在高年级，数学概念同化逐渐增多，并成为获得数学概念的主要方式，但对较难理解的或新学科(新内容)开始时的一些数学概念，仍采用数学概念形成的学习方式。在数学概念的实际学习过程中，数学概念形成与数学概念同化这两种方式往往又是结合使用的，这样既符合学生学习数学概念时由具体到抽象的认识规律，掌握形式的数学概念背后的事实，又能使学生在有限的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性，掌握更多的数学概念，提高学习效率。总之，将两者结合，就可扬长避短。(七) 影响数学概念学习的因素在数学概念的学习过程中，学生对数学概念的接受和理解的程度往往各不相同。影响数学概念学习的因素很多，其中最主要的有三个： 1. 学生原有的认知结构 学生学习数学概念时，往往是从他原有的认知结构出发，去认识、理解和区分事物的各种联系和性质。就概念形成来说，学生必须具有“刺激模式”方面的有关知识和经验，否则就不可能从中抽象出本质属性。例如，小学生如果没有加法的知识经验，就不可能形成乘法概念。就概念同化来说，要想掌握新概念，学生必须掌握那些作为定义项的概念, 否则就失去了与新概念建立联系的前提条件。因此，在数学教学中，为了使学生易于接受和掌握数学概念，教师应先创设学习概念的情境，想方设法唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验。 2. 有关新概念的感性材料和知识经验概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象，概念同化主要依赖的是对知识经验的概括。因此，感性材料和知识经验是影响概念学习的重要因素。具体来说，主要表现在以下三个方面。(1)材料或经验的数量从感性材料或经验中抽象概括数学概念，首先要求材料或经验要有足够的数量，如果提供的感性材料或感性经验数量太少，学生不仅不能获得概念的丰富表象，同时也难以区分出一类数学对象的本质属性和非本质属性。(2)材料的典型性心理学研究和教学实践都表明：概念的本质属性越明显、越突出，就越有利于学生对概念的理解和掌握；而概念的非本质属性越多、越明显，就越不利于学生对概念本质属性和非本质属性的辨别，学生就越难理解和掌握概念。这就要求我们在教学中要选择那些能反映本质属性的典型材料说明概念，以此帮助学生实现数学概念的顺利掌握。(3)材料的表现形式感性材料的表现形式对数学概念的学习和掌握也有重要的影响，如果我们提供给学生的感性材料都是一些“标准”的实物或图形，那么学生在概念意义的理解上就难免出现片面性。例如，将等腰三角形的顶点画在左方，底边画在右方时，有的学生就认为它的两腰不在他视线两旁，而错误地说它不是等腰三角形。因此学习数学概念时还应适当选择一些变式材料，让学生从不同角度去全面理解概念的本质属性。如学习等腰三角形概念时，在保留它的本质属性(有两边相等)这一条件下，呈现若干个位置或大小不同的等腰三角形，让学生观察、辨认，这样不仅有助于理解概念的内涵，也容易明确概念的外延，特别有利于应用概念解题(通常解题时使用概念总是就整个图形按其本质属性找出概念所指的那个图形，这时它往往不是标准图形)。 3. 学生的抽象概括能力抽象是概念形成的必不可少的步骤，概括是概念同化的关键。没有抽象与概括，就不可能形成概念。所以，学生学习数学概念直接受到他们抽象概括能力的制约。第一学段学生只能根据事物的直观形象形成概念，第二学段学生已能利用表象的概括形成概念，而第三学段学生则能通过对一类事物的本质特征和内部联系的概括而获得概念。如果学生的抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性。不能明确概念的内涵和外延。例如，会出现如下错误，认为aa；认为直角三角形的直角边上没有高。由此可见，学生要学好数学概念，就要有一定的数学抽象概括能力。在教学中我们应高度重视学生抽象概括能力的培养，一方面通过数学概念的学习和掌握去促进抽象概括能力的发展；另一方面又通过抽象概括能力的发展去促进数学概念的更好掌握。3.2.2 数学命题的学习(一) 数学命题学习的及其分类数学中的定理、公式和法则统称为数学命题，将学生对这些知识的学习称之为数学命题的学习。命题学习的涵义一是发现命题。发现命题一般有两大方法：() 用实验的方法，如“三角形的内角和是180”这个命题的发现即可用此方法；() 不用实验，而是应用已知的命题，通过推理而发现新命题的方法。如“四边形的内角和是360”、“凸n边形的内角和是(n-2)180”等命题的发现即可应用“三角形的内角和是180”通过推理而发现。二是理解其语句所表达的复合关系的意义。三是推导或论证命题。四是运用命题在其适应的各种情境中解决问题。数学命题是由概念组成的，反映的是若干个数学概念之间的关系，因此数学命题的学习层次和复杂程度均高于数学概念学习。要学好数学命题，必须以学好数学概念为基础。当然，命题学习反过来又可以加深对概念的理解。可见两者互相联系，不能截然分开。 与数学概念的学习一样，数学命题学习也是新旧知识相互作用，并形成新的认知结构的过程。相互作用与变化的内在机制，受新命题与学生原有认知结构中有关知识间相互关系的制约。这种相互关系，也就是两方面的知识在数学知识体系中的相对位置关系。一般来说，新命题与原有认知结构中的有关知识的关系有三种，即下位关系、上位关系和并列关系。1. 下位关系如果原有认知结构中存在概括水平或包摄程度高于新命题的相关知识时，那么新命题和原有认知结构中的相关知识就构成下位关系，例如，有关菱形的定理相对于原有认知结构中的相关平行四边形的定理来说，处于下位关系。2. 上位关系如果新命题在概括水平或包摄程度上高于原有认知结构中的有关知识时，那么新命题和原有认知结构中的有关知识就构成上位关系。例如，一般柱体的体积公式V=sh，相对于长方体、正方体、圆柱体的体积公式就构成上位关系。3. 并列关系如果新命题与原有认知结构中的有关知识具有一定的内在联系，但是，既不能构成下位关系，也不能构成上位关系，我们把新命题和原有认知结构中的有关知识的这种关系称为并列关系。例如，不等式的有关定理和原有认知结构中方程的有关知识之间的关系即为并列关系。(二)数学命题学习的基本形式 数学命题学习的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间各种关系的获得又依赖于新命题与原有认知结构中有关知识的联系。由于新命题与原有认知结构中的有关知识的关系有三种，因此数学命题的学习也就有三种基本形式。 1.下位学习利用新命题与原有认知结构中有关知识的下位关系获得数学命题的学习形式叫做下位学习。在下位学习中，新命题可以直接和原有数学认知结构中的有关知识发生联系，并直接纳入原有的认知结构中，充实原有的认知结构。也就是说，下位学习中，新命题和原有认知结构的作用方式是同化。例如，学完了一般平行四边形的有关内容后，学习菱形有关知识时就是如此。2.上位学习利用新命题与原有认知结构中有关知识的上位关系获得数学命题的学习形式叫做上位学习。上位学习是通过对已有观念进行归纳、综合与概括，改进原来的认知结构为新的认知结构而完成的。新命题中的概念之间的关系是通过归纳、概括比它层次低的有关知识而获得的。也就是说，上位学习中，依靠的是顺应。例如，由长方体、正方体、圆柱体的体积公式V=abh、V=a3、V=r2h，通过辨别比较，归纳它们反映的共同特征，概括出包摄程度更高的一般柱体的体积公式V=sh，这就是上位学习。3.并列学