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第五章 固体能带理论II5.1布洛赫电子运动的准经典模型1 波包和电子速度经典粒子有确定的坐标和动量，在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Dr范围内，波矢取值在附近的Dk范围内的布洛赫电子态组成，Dr Dk必须满足不确定关系。一般Dk必须小于第一布里渊区的线度，这样Dr必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。例如在输运问题中，只有当平均自由程远大于原胞尺度时，才能将布洛赫电子作为经典粒子处理。在晶体中，用布洛赫波函数组成波包，以一维情况为例： (5.1.1)其中 (5.1.2)积分可得： (5.1.3)相应的几率分布为： (5.1.4)由此可知波包的中心位置在 (5.1.5)波包中心移动的速度为： (5.1.6)在三维情况下，波包的中心位置为： (5.1.7)波包运动的速度为： (5.1.8)2 布洛赫电子的准动量 布洛赫电子在外力F的作用下，在dt时间内，布洛赫电子能量E(k)的改变，应该等于外力所作的功： (5.1.9)代入布洛赫电子速度的表达式得： (5.1.10)在平行于布洛赫电子速度的方向上： (5.1.11)当外力与速度垂直时，外力不作功，电子的能量不改变，电子在等能面上运动。我们可以从物理上一般地推导布洛赫电子波矢改变率和外力的关系，无论外力是否平行于电子的速度。考虑属于能量本征值Ek和波矢k的布洛赫本征函数： (5.1.12)一个处于k态的布洛赫电子动量的期待值为： (5.1.13)现在考虑由于施加外力使布洛赫电子由k态变化到k +Dk时，布洛赫电子和晶格之间动量的转移。想象一个孤立的电中性的晶体只是在一个空能带中有一个处于k态的电子。假定在一个时间间隔内施加一个微弱的外力，给予整个晶体系统的总冲量为，如果这个传导电子是自由的，那么，这个冲量给予晶体系统的总动量表现在传导电子动量的改变： (5.1.14)这个中性的晶体与电场之间没有直接的或通过自由电子间接的相互作用。如果传导电子同晶体点阵的周期势场相互作用，必定有： (5.1.15)对于布洛赫电子有： (5.1.16)由电子状态改变引起的晶格动量的改变可以通过一个简单的物理考虑导出。被晶格反射的布洛赫电子将动量转移给晶格，如果入射波电子具有动量为的平面波分量，它反射后具有动量，根据动量守恒，晶格获得了动量。当布洛赫电子的状态由变化到时，转移给晶格的动量为： (5.1.17)好像在电子态改变Dk的过程中，初始状态的每一个平面波分量反射了这样一部分： (5.1.18)因此总动量的变化为： (5.1.19)根据J的定义有： (5.1.20)3 加速度和有效质量 由布洛赫电子准经典运动的速度公式和作用力公式，可以研究其加速度，对一
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