导数结合洛必达法则巧解高考压轴题.doc

设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：g(x)=ln(x+1)+1-a，令g(x)=0，解得x=ea-1-1.(1)当a1时，对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0，+)上是增函数.又g(0)=0，所以对x0，有g(x)g(0),即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax.(2)当a1时，对于0xea-1-1，g(x)0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数.又g(0)=0，所以对0xea-1-1，有g(x)g(0)，即f(x)ax.所以当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立.综上a的取值范围是(-,1.解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立.对g(x)求导数得g(x)=ln(x+1)+1-a,令g(x)=0，解得x=ea-1-1,当xea-1-1时，g(x)0，g(x)为增函数，当-1xea-1-1时，g(x)0，g(x)为减函数.要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea-1-10.由此得a1，即a的取值范围是(-,1.1.其中；2. 其中；3.其中；4. 其中；已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.（）略解得，.（）方法一：分类讨论、假设反证法由（）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时， ，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，当时，；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当时，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.设函数.（）若，求的单调区间；（）当时，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（）当时，即.当时，；当时，等价于.记 ，则. 记 ，则，当时，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.若不等式对于恒成立，求的取值范围.应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性； 现“”型式子.2010海南宁夏文（21）已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.2010全国大纲理（22）设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.解：（）略（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围解：（） 当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数