2.3.1离散型随机变量均值

2 A或B发生 A或B至少有一个发生 A BP A B P A P B P AB 事件A B互斥 P A B P A P B P A B P A P B P AB 0 3 0 5 0 3 0 5 求概率 1 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件A发生的次数为X 在每次试验中事件A发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为 某批件产品的次品率为2 现从中任意地依次抽出3件进行抽验 放回抽取 恰好抽到1件次品的概率 1 是三次独立重复试验 2 事件A发生 每次抽到次品 的概率是2 3 事件A 抽到1件次品 恰好发生一次 某批件产品的次品率为2 现从中任意地依次抽出3件进行抽验 不放回抽取 恰好抽到1件次品的概率 显然 三次试验不是独立重复试验 所以不能用二项分布的公式 求概率 如n 500 求概率 某人骑车从家到学校的途中有5个路口 假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的 且概率均为1 2 求此人首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过的路口数的分布列 独立但不是二项分布 求概率 1 二项分布用公式2 独立用乘法3 古典用分式 排列组合 2010江西理数 11 一位国王的铸币大臣在每箱10枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国王怀疑大臣作弊 他用两种方法来检测 方法一 在10箱子中各任意抽查一枚 方法二 在5箱中各任意抽查两枚 求国王用方法一 二能发现至少一枚劣币的概率 和 2 3 1离散型随机变量的均值 引入 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元 kg 24元 kg 36元 kg的3种糖果按3 2 1的比例混合销售 其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等 如何对混合糖果定价才合理 18 1 2 24 1 3 36 1 6 23 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗 样本平均值 则称为随机变量X的均值或数学期望 数学期望又简称为期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 1 离散型随机变量均值的定义 归纳求离散型随机变量的均值 期望 的步骤 确定离散型随机变量可能的取值 写出分布列 并检查分布列的正确与否 求出均值 期望 例1 随机抛掷一个均匀的骰子 求所得骰子的点数X的均值 解 随机变量X的取值为1 2 3 4 5 6 其分布列为 所以随机变量X的均值为E X 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 3 5 你能理解3 5的含义吗 变式 将所得点数的2倍加1作为得分数 即Y 2X 1 试求Y的均值 解 随机变量Y的取值为3 5 7 9 11 13 其分布列为 所以随机变量Y的均值为E Y 3 1 6 5 1 6 7 1 6 9 1 6 11 1 6 13 1 6 8 Y 3 5 7 9 11 13 变式 将所得点数的2倍加1作为得分数 即Y 2X 1 试求Y的均值 设X为离散型随机变量 若Y aX b 其中a b为常数 则EY E aX b aEX b 2 随机变量的期望值 均值 的线性性质 证 设离散型随机变量X的概率分布为 所以Y的分布列为 特别地 E c c 其中c为常数 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 练习 解 的分布列为 所以E 0 P 0 1 P 1 0 0 15 1 0 85 0 85 例2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知姚明目前罚球命中的概率为0 85 求他罚球1次的得分 的均值 3 几个特殊分布的期望 1 P P P 1 P P 结论1 两点分布的期望 若X B 1 p 则EX p 求证 若 B n p 则E np E 0 Cn0p0qn 1 Cn1p1qn 1 2 Cn2p2qn 2 k Cnkpkqn k n Cnnpnq0 P k Cnkpkqn k 证明 np Cn 10p0qn 1 Cn 11p1qn 2 Cn 1k 1pk 1q n 1 k 1 Cn 1n 1pn 1q0 kCnk nCn 1k 1 np p q n 1 np 由题 B 10 0 85 则E 10 0 85 8 5 例3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知姚明目前罚球命中的概率为0 85 求他罚球10次时进球个数 的均值 结论2 二项分布的期望 若 B n p 则E np 变式1 罚球10次的得分 的均值 变式2 若罚球命中得2分 罚不中得0分 罚球10次的得分X的均值 由题 B 10 0 85 则E 10 0 85 8 5 变式3 若罚球命中得3分 罚不中得 1分 罚球10次的得分Y的均值 练习 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球 从中有放回地取5次 则取到红球次数的数学期望是 3 例3 一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值 解 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是 和 则 B 20 0 9 B 20 0 25 E 20 0 9 18 E 20 0 25 5 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以 他们在测验中的成绩的均值分别是 E 5 5E 5 18 90 E 5 5E 5 5 25 例4 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时损失60000元 遇到小洪水损失10000元 为保护设备 有以下3种方案 方案1 运走设备 搬运费为3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能防小洪水 方案3 不采取任何措施 希望不发生洪水 试比较哪一种方案好 例5 袋中有4个红球 3个黑球 从袋中随机取球 每取到1个红球得2分 取到一个黑球得1分 1 今从袋中随机取4个球 求得分 的概率分布与期望 2 今从袋中每次摸1个球 看清颜色后放回再摸1个球 求连续4次的得分 的期望 练习 某商场的促销决策 统计资料表明 每年国庆节商场内促销活动可获利2万元 商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 如遇下雨则损失4万元 9月30