2005_年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文

全国赛 2005BDVD在线租凭2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文$ V Z$ Q% T2 P( z8 ? F8 5 1- e) o, L8 |1 H5 H3 g6 DVD 在线租赁的研究# 5 ) l* e/ g$ k8 z/ a y尹作龙，姚明，金伟6 y* E! V5 P) s8 指导教师 汪晓银) t5 M# E7 w! h; f7 F) T, P + u摘要： % o/ I X! v随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站. ?1 ?8 p4 k% Q2 a- e3 uR3 P利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音% D8 _# C0 w% F5 B3 c像制品的在线租赁就是一种可行的服务。本文主要讨论了在线DVD 租赁的问题，对网站; n6 I+ R( R$ $ X: f8 f如何购买DVD，如何分配DVD 进行了一些研究。对于问题一，我们首先把会员根据每月+ ?; J: $ p# C2 f Z; K1 y R4 f4 A租赁次数分成A、B 两类，并对两类会员归还日期作了合理的假设，根据求出DVD 归还& v9 ?- Z1 I* h的期望值。最后求得会员归还一张DVD 的时间期望为12 天。然后用DVD 的周转次数来8 H$ O2 W% w) B* b计算网站对某种DVD 的购买量，最后根据问题的要求，求得每种DVD 至少准备的张数如$ m6 U5 d. 7 W$ D下。5 o# m2 S2 T7 F; ld# gDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD53 L9 p0 f# Y4 C. D3 w6 R一个月内至少 50%4 Z5 x) z& S; f) A$ q看到的最少张数8 u. i( Z7 d. M% te4000 2000 1000 500 2008 I% k d* Q- y- K6 a4 o& B三个月内至少 95%# D1 R Y9 n0 x0 i看到的最少张数% Q( e0 A/ c4 2534 1267 634 317 127# t( VT# r. L/ R4 J问题二，我们首先对满意度进行了定义，并作出相应的假设。根据假设建立01; R* - w, & w( f- F6 M& m; h规划模型，用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。我们根据实际情况修改了偏 N_3 H( D1 f) b( u1 v爱程度，再次用LINGO 编程求解，得出第二中分配方案。第一种分配方案的总偏爱度 J+ r/ A% U% U 为7924，有30 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员；第二种分配方案的总偏( t5 W/ w! H) T: E% |爱度U 为8191，有8 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员。虽然第一种分配方9 z|6 S; W; . n+ C% d案的总偏爱度优于第二种，但是经证明无论怎么分配，至少有8 张DVD 会分配给没有2 a 3 B4 Q7 预定这些DVD 的会员，因此我们选择第二种分配方案。0 Y7 ?u. G, x: Y D1 W问题三，根据满意度最大，我们建立了一个规划模型，由于模型难以用计算机求解，; 0 M e # D8 l7 l& f5 a我们改用计算机仿真来模拟现实购DVD 方案，模拟生成的购买的总DVD 数为3086。$ b6 ! M) + 问题四，在DVD 的需求预测、购买和分配中重要问题的研究中，首先研究了DVD1 R& |% & ?8 S& y的需求预测，并建立了灰色GM（1，1）模型，灰色GM（1，1）模型能够克服相关数) 7 V. 1 q4 b d$ k据不足的缺陷和避免人为因素的影响。这表明基于灰色理论的预测方法，适合于对DVD, g5 f- s0 N2 i u/ S6 Z在线租赁业务趋势进行预测。该方法是切实可行并有效的，并对DVD 在线租赁业务发展7 ?8 v3 G0 d4 P Q1 3 Y规划有重要参考价值。然后从网站的赢利角度出发，建立了一个以赢利函数为目标的线# M, S/ D0 W) J) 0 K性规划模型，此模型在租赁方面有着较高的参考价值。3 |! 8 G. 9 h: t% S最后我们对我们所建立的模型及求解方案进行评价，推广。我们考虑到对于更大规% U/ w7 W; b3 & c- H3 j: V模问题，现有模型的求解就会困难。因此我们想了模型的另外一个算法：贪心算法。贪+ wP& t; x5 T ! y心算法速度快，但得到的解难以达到最优。9 K2 G7 E& 3 I/ e8 h H关键词：DVD 在线租赁 01 规划概率模型 计算机仿真 灰色 GM（1，1）模型3 |; x8 P6 K/ X% X8 e/ p7 2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文3 n- / rK7 Y/ W/ j: 26 F, j0 t: L; n! x5 a+ z3 p/ q一、问题的重述& a2 i0 S: |- t$ b1 j1 o* H考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD: B$ z$ h: h8 H c- S p租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽& | R4 9 d5 q$ x. _- H2 m可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。$ b K/ A7 |2 i8 m$ o- g/ t2 d网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不5 c6 $ d! b5 H; m得超过2 次，每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站+ # K+ s) 8 A8 V a: 提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：& B3 . R! N: F# p/ I) h（1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000 个会员，得到了愿意观, H: J7 r& b+ _3 F, d看这些DVD 的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的1 L& i* O) 4 ?2 R r* V* H5 x40%只租一次。假设网站现有10 万个会员，对表1 中的每种DVD 来说，应该至少准备# V- S: ; 2 L3 n多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如7 h K8 8 O k; f$ Q果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？. m$ a* F5 ( T（2）表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会; i3 5 4 9 # t% ?; R员的在线订单，如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列) F3 s9 wJ U( u3 jC) S3 D出前30 位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。$ n) g9 q( q& u- x7 c$ u% d/ p: G k（3）考虑表2，并假设表2 中DVD 的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理# t& G0 t7 n& I- 人员，你如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD 进行分配，才能使一个6 T$ P) S9 I3 K5 SYF月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？7 f8 ! d9 p, u8 K0 L; l, z（4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD 的需求预测、购买和分配中还有) V0 I9 r6 J4 X4 c3 u$ t i哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。3 o& 1 u/ j; 二、问题的假设! J) x/ K3 n, e( , oi1、假设所有的DVD 都不能拷贝 p% I! O% 2、假设调查资料具有一定代表性$ ! # s8 u! M& r2 S! A3、假设所有会员自觉遵守会员规定7 k d$ ; v. + t! i3 K* A4、假设在租赁和归还过程中DVD 的遗失或损坏忽略不计/ q/ C/ 9 i* ) R4 g5 E5、假设DVD 的种类与购DVD 费用无关8 ?: 7 Q3 % S; T三、符号的说明2 w7 v0 RB ?: z符号 符号说明* n4 ; P6 b/ U$ g$ t. N$ l* gV 该网站拥有的总会员数# U7 a/ 6 y) % w1 Q% Dij 第 i 个会员在线定单中第j 种DVD 的需求情况 J/ b1 u6 N4 h& N* k$ MM* I5 DLij 第 i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度 us; S* $ o8 n8 Lyi 第 i 张DVD 的现有量% Z h5 W5 s, NMi 愿意观看第 i 种DVD 的总人数+ Ll) w0 Q- J$ S) u! Y5 wPi 愿意观看第i 种DVD 的人数占总人数的百分比 I! 8 Y* _& _# d/ N# c( Y2 J. T2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文 1 j1 k. Ww; ! x( ; T7 + n3. e- M: e ul( u0 Q+ J. L7 s* _R 为满足会员要求的百分比数3 v. Q& w3 6 ?0 e. B: N4 AU 会员获得 DVD 后所得到的总偏爱度，其值越小满意度越高7 g V9 + y四、问题的分析及模型的建立及求解1 & u! I: Q: Z4.1 问题的背景资料& A8 q9 K5 s1 y5 ?) b$ g5 l! # m. gNetflix 目前是美国最大的DVD 出租网站，现在公司预计可在2006 年达到500 万订. , w4 : ; E, |+ K+ G户。这家网站的经营方法是，顾客在成为网站的固定会员后，可在网站上选取自己喜欢$ T4 e6 W9 / K4 o+ j3 y4 G, n的DVD 影片，该公司现有DVD 种类有5 万多种，包括一些最新面世的大片，由这家 jpf% n( Y+ B a, r网站快速寄送到顾客的登记地址，每次最多3 张。顾客可以无限期地借用这些影片，但/ D$ D% S, X$ U: F/ O o只有在寄回这些影片后才能借用新影片。顾客只需每月缴纳1995 美元的会员费，而5 L, _2 K& 0 9 ( B4 f邮寄费用全部由网站支付。对顾客而言，坐在电脑前拖动几下鼠标就可得到中意的影片，6 N* - t& X8 m1 u) R+ r% z既省时又省力。/ c J3 S$ l! Z5 J+ y( s据统计，超过60%的美国家庭至少拥有一台DVD 影DVD 机。去年，美国人在家+ T0 z& j- v/ # c6 S看DVD 的时间平均为78 小时，比2000 年上升了53%。DVD 的销量和出租量则上升9 h$ B1 - r0 X% 3 U了676.5%5。# D; _+ j3 n9 X * M4 X4.2 问题一的求解- L0 w% * 2 jn4.2.1 问题一模型的建立与求解 w6 k4 y% KE对问题一的分析，我们根据实际情况作了一些积极的假设，并简化了模型。从网站4 W1 k( m# * 4 I( V/ 经营者的角度出发，出于对自身赢利的考虑，希望DVD 的周转越快越好。那么我们就; C( ! U3 9 n1 7 v从DVD 的周转情况来考虑对DVD 数的需求量。. G+ hc( G Q0 d由题目我们把所有会员分成 A、B 两类：如表1. ( $ X# b* f: C! l表 18 |4 0 T e y( A1 . P6 Sz类型 每月租赁 DVD 次数所占会员总数的百分比 会员人数& ! t: JKK; X: * S. , CA 类两次 60% 60000 C& P8 b$ g1 l$ FB 类一次 40% 400003 I% o, E& E/ H7 M- m3 K/ A; q考虑到 DVD 的周转，我们对两类会员作以下假设： F w8 P& n7 EA 类会员归还一张DVD 的时间X1 范围为315 天；& D, P2 e$ u9 _B 类会员归还一张DVD 的时间X2 范围为330 天；: d$ r0 N: F, I; C1 y根据现实情况，我们假设X1， X2 都服从等概率分布，则：2 C$ R, D5 d; 5 V, ! zo9 V: C6 Y3 N6 s+ Y: ?& E20 J+ 0 w4 I% P& b f15 37 q# d3 m% P2 g( |5 k/ C& _3 * H1 =/ M4 zI! b# z/ f9 P* V- X+& q6 K. q( v# w5 J0 P- y DEX = 16.54 w4 ?4 o% M+ M9 t2 P( b1 GX! x30 3; Z_$ % u. ?: ?2 O2 =6 k q8 4 , k( A* 0 l) r- T+% q 5 x - f4 k, HEX =- u4 f W1 T1 k, R# Q7 v7 l则会员归还一张 DVD 的时间期望为：=0.6EX1+0.4EX2=12 天。这就是说每张- 8 S4 l0 L8 A/ h) DVD 在会员手中保存的时间大约在12 天，9 4 u( Y J1 p l, % T那么：6 c/ q) w4 y |+ K/ r/ U V在一个月内 DVD 的周转次数为：N=3012=2.5；3 g4 S3 d* s+ ?在三个月内 DVD 的周转次数为：N=9012=7.5。（设30 天为一个月）! x5 3 B! M! q, a根据题目中调查 1000 人愿意观看各种DVD 的人数，我们得到会员愿意观看各种; K1 j7 L v( i& K. H0 e4 cDVD 的经验概率分布统计结果如下（见表2）：4 O8 Z& R7 W$ R4 K. z( N5 j O表 2& Fr7 + w* s # 8 h2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文s( % w1 F5 ?0 L7 Z) N0 a% ? d4) d$ # U5 u* Q; ; XDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5+ v2 / : Z9 O经验概率 Pi 20% 10% 5% 2.5% 1%2 x: F+ G: Z, H6 i2 x1 q- H, n# LR 为满足会员要求的百分比：一个月为50%；三个月为95%。% A+ U3 ?3 lg7 a3 E2 m7 G因此愿意观看第 i 种DVD 的人数Mi 为：Mi=VPiR=100000PiR （V 为总会2 # o. N% p0 _! B0 A P0 v& x员数）。- m6 N: _4 R# V$ b& F0 b+ Y9 D那么所需要 DVD 的最小数量为：S=MN。（向上取整）( n- n7 c2 G9 _. E c5 3 b s我们得到 S 的函数表达式：S=VPiRN ；T5 R6 & - T R1 O7 D4 q! Q$ l求解得到每种 DVD 的准备张数（见表3）：8 c* C+ t: g, I$ ) u g: x- w H表 3) L9 a2 x, B: U# F: MDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD51 d. p. o& E5 U# Y- l& M7 O7 r4 k. R一个月内至少 50%$ q$ r8 W6 E1 H! _# N1 M$ i看到的最少张数7 k* Q, H5 ( N& U; F4000 2000 1000 500 2000 m8 x7 ! r; m( C* e I+ S0 y三个月内至少 95%: |* M# c1 Z + M& B) w看到的最少张数2534 1267 634 317 127* 8 8 w1 9 j9 n/ A/ S- B/ t G作为一个租赁网站的经营者，总是希望赢利更多，就要提高周转次数，减少周转天8 3 d( |8 e; ) z2 K数，这样他的先期投入也将减少。就可以考虑尽可能缩短租借的天数，来增加网站的赢; z7 b5 ?* c0 Mr利和减少先期投入。若我们将归还时间定为3-9 天，则期望为6。一个月的DVD1 所需! & p) f* ) C最少张数为2000 张（小于4000 张）。/ q D# d* f. c1 Y+ v8 . k4.3 问题二模型的建立与求解, E2 DH: 3 f0 q5 N8 4.3.1 问题二的分析5 n( g. R0 : G, s顾客满意度可以简要地定义为：顾客接受产品和服务的实际感受与其期望值比较的 O% B* d( I, U9 R+ c8 c+ B程度。首先对满意度进行了如下假设：在会员的在线订单Dij 中，数字越小表示会员的 s- 9 y, U) e p偏爱程度越高，如果会员得到他偏爱程度越高的DVD，则会员的满意度越大。假设会/ Z4 Q3 9 k6 7 _员对DVD 的偏爱度为：5 f3 l& d+ |4 f6 bïî- g) e& G! M& uï ( j* $ E( H$ y8 f¹/ t3 h$ E9 |# D- + N=5 x3 _4 d e J4 p& b# V! o- =8 9 + b! x- K2 i C8 a, J* B; h# , 06 d+ q% K5 9 D5 R2 J5 T6 M/ 11, 06 m. y7 $ j l. K2 K8 W q; sij ij6 e. b; R6 R9 Q) f! r0 p1 w! aij8 s6 d3 o/ 3 H5 x o6 G$ Lij D D1 h6 F# x1 Y. SD6 o S; N7 b1 |/ + pDL/ J! m. d! * K1 a该问题的目的就是分配当前的订单，使得这些顾客的满意度最大，可以用0-1 规划6 u0 n1 F; m0 ! 6 I模型来求解，定义0-1 变量Cij（i=11000,j=1100）, Cij 为1 时表示第i 个顾客租到了; _3 ! X$ m! p g5 U/ d0 E$ 第j 种DVD，其值为0 时表示没有租到相应的DVD。) y- A- j: % C5 F4.3.2 问题二模型的建立0 9 k1 lF0 N& e3 L1 y+ H会员租赁 DVD 满意度的目标函数为： åå5 : O1 O. x9 T! r. h2 L= =# ?M( * K2 G# B6 H7 d$ R: ´: t+ g. G3 h6 2 y. L8 o8 1000fl 5 Ct7 s. 8 b2 f1& t+ D2 # M4 L) S3 F, k100. S- z D3 P0 N/ w/ w+ z# K12 Z# O7 B* h! H& n: |9 imin; W h0 ) 5 j/ Ui j) # H2 h% th! Q0 s0 N4 _* Nij ij DL C5 1 o, f% t% y1 |6 J, 0- 1 规划模型的约束条件为：5 w |) c* Z1 f( |1、每个顾客一次能并且只能租到3 张DVD；1 K4 f) J+ O B$ t( J# M2、租赁给会员的每种DVD 总张数不能超过现有DVD 数量。1 j2 u2 E * - 由上述分析得到如下的 0-1 规划模型：1 e. R+ a) I) * q0 t! R2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文0 O4 X6 / j; p4 F; n* w9 y: W5; o A# ) P $ - qï ï ï ï1 m2 o5 O: K0 S+ Tî2 P/ + R! O1 h6 z% P5 Kï ï ï ï8 J- RE0 W; c: o! r/ J# V9 F. $ _( D1 h( z4 Z |9 v: J; w/ p& a5 x= =/ E. T, W0 T% z; u1 P) e* e7 s£6 t; E( J& G1 y+ g7 G=& v4 S% v6 J0 M =6 B4 a, M3 h4 u/ V2 ) d/ c´) d O! D$ T. K, M! I& w; y4 + kå& ?$ n8 e- a! Z j Få6 |- u5 l 6 ?( C& y2 u, n3 M5 gåå) V4 P0 v1 ! a) =* & h) q ?5 q4 V1 L8 w% P8 d=( h K. B( C8 4 G) b4 L! z; = =|2 9 p7 U- w8 v, v r* ( 1 1000, 1 100)% | |& u5 B! * Q/ l( D, w3, n u$ m+ * X7 I/ Q0,1! d+ IX0 2 C9 sP6 I6 q# F. .% v Y/ c l$ B( d( k$ A# O( ?( nmin! ! D, O3 L4 g; R. U: g& 10000 V+ + q% oV$ O* P1 c* b$ s3 D+ D) t100i$ V* V; V- B& ?! o% L1- i$ k# m( b f1000+ ?% h/ ; h% % U11 X! x. i7 T# f% C1 J100/ V1 - d$ E. l2 Z% q16 _. k9 r+ Lm+ v$ r( h5 Ji L j L! O. h4 g; k0 c4 w. i: UC y/ K/ O6 N6 f( C9 q3 / * J& u; U7 h/ eC3 % P2 n m- w2 o& A6 c! I1 Xs t) W* E. O- O4 s X y3 W0 : gDL C7 Z8 |/ A4 2 f% ! p+ ei( : G, y- g7 B% Vij j1 t( N9 Q9 i* w+ ej0 o/ s& o1 r1 U4 k/ F0 kij* F) A( 1 z8 w, Iij* h U. e% S1 5 p1 Z0 k& , bi j$ q# * Q4 + w- t$ $ y9 ij ij6 q# y3 R! B- y+ e4.3.3 问题二的求解9 JM v# j( Q% u对于上述的模型，在用LINGO 编程求解（具体程序请见附件），得到分配方案为) $ / F, _7 l/ L+ H2 z& bCi,j 求得总偏爱度为åå2 m$ s! E! ( B( t= =# x1 d8 f9 N& e, S. h= ´) Z5 n& Pr6 X3 B. 4 ?& - t- G1000! d! ?5 L! ?+ C0 V+ s17 k% F, y6 n$ A5 ; ?100* K9 L7 k; N& ji j 1, Q, l3 J5 o K Iij ij U D C 为7924。由Ci,j得到分配了30 张DVD给没有要求+ Fc! o1 J! A6 d& D0 m: u) G& E预订这些DVD 的会员。前30 个会员租到DVD 的情况如下表4：n. A# R R: X0 P2 X3 p! 表 4, 8 z- e V( d- K9 i7 t会员号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010+ e , H; X0 h: ( R; * L3 z1 8（1） 6（1） 32（4） 7（1） 11（3） 19（1） 26（3） 31（4） 53（1） 41（6）7 H+ l4 p e* D2 41（7） 44（2） 50（2） 18（2） 66（1） 53（2） 66（6） 35（5） 78（3） 55（2）# G w- w3 v* N分配% B# T$ k/ l/ B4 K& yDVD 的) J- q3 5 T+ M1 ?( o种类号3 98（3） 62（4） 80（1） 41（3） 68（2） 66（4） 81（1） 71（1） 100（2） 85（3）0 e1 j% |1 K+ V2 P; F3 ; Y# m会员号 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020* u|6 ; |( F% b1 59（1） 2（2） 21（3） 23（2） 13（1） 10（4） 47（2） 41（1） 66（4） 45（1）* p, X# b- L+ i; v2 63（2） 31（1） 78（2） 52（1） 52（4） 84（1） 51（3） 60（2） 84（1） 61（3）) 7 L7 D4 o M/ Do1 F分配 b# Y# E7 J/ g N& YDVD 的: 6 I- 4 i( j* l+ IV, O& I+ n种类号3 66（4） 41（7） 96（1） 89（6） 85（3） 97（2） 67（1） 78（3） 86（2） 89（2）m! F y7 U8 f, W会员号 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C00305 M: , j7 R A8 & L; E1 45（2） 38（3） 29（2） 37（4） 9（1） 22（1） 50（4） 8（1） 26（4） 37（2） i* 4 5 o* W9 9 |( r, T2 50（5） 55（2） 81（3） 41（2） 69（2） 68（2） 58（1） 34（2） 30（2） 62（1）9 f+ g2 ; RS7 A分配, f1 T! : v x- oDVD 的, e- h+ e# l$ ? w种类号3 53（1） 57（1） 95（1） 76（1） 94（3） 95（3） 78（7） 82（3） 55（1） 98（5）8 m: z! S |6 c注：括号内的值为会员对该DVD 喜好程度。* . 3 p& a7 f2 p7 J7 u为使会员得到自己没有预定的 DVD 总数最少，可以将DLij 中为11 的数增大变为$ J5 D- B7 |/ h P1000，即将此偏爱程度降低，再如上求解得到一种新的分配方案Ci,j，求得总偏爱度U, p% g . & W! E A为8191(7924)，但是经分析，只分配了8 张DVD 给没有要求预订这些DVD 的会员。4 h1 Z# u! X3 W7 N8 7 R, L事实上这里的8 张DVD 已经最小，具体原因是，现有DVD 总数为3007 张，每个人得/ M& r v: l, z4 G: g$ x N5 x到3 张DVD，1000 个人就得到3000 张DVD，则还有7 张未出租。根据所给的数据，7 d) T7 l# N$ |, z第37 种DVD 现有106 张，只有91 个会员愿意租此DVD，即第37 张DVD 按照会员的QT E7 , R* w需求无论怎么发放，也会有106-91=15 张剩余，而总共应该只有7 张DVD 未出租，这, r 7 y1 d9 ?9 0 m% B, H5 2 V/ E样就无法满足所有的会员租到自己想看的DVD，而且一定至少有15-7=8 张DVD 发给$ Y& I* D5 l q. P: z) t了没有订这8 张DVD 的会员。5 P- P- E9 V; QF; |比较上面两种分配方案，我们选择第二种分配方案。第二种方案下，前30 会员的7 i1 P; Vf5 d s租赁情况是只有第25 个会员的第3 张DVD 与第一种分配方案不同，其值为81（4）jD+ F7 E8 F4.4 问题三模型的建立与求解v7 d; d+ 7 |9 N. i6 r4 F0，1 变量1 k; p4 K$ P2 _* 3 每位会员租 3 张DVD# X9 r! k6 U+ |DVD 现有数量的限制9 ?; Y; ?0 Z5 L% C) b; m2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文8 T) 5 F- f3 w4 re . I68 Q0 V. K7 / J. B4.4.1 问题三的分析及模型的建立K Qh Y6 J! V2 : Q分析该问题的目标是保证一个月内 95%的会员得到他想看的DVD 的情况下，使得$ N+ x5 R2 , p+ Wn: Y* T2 T会员的满意程度达到最大。8 V9 L! Q, c% ?* i& M. C假设分配给第 i 个会员3 张DVD，且这3 张DVD 都属于该会员预定的DVD 那么) a% _; & H% t. n记pi 为 1，否则记pi 为 0。6 q; v/ ) W+ w û& G* V5 l u( O, W) u - U; + om2 _6 Z* N7 V( x9 Y ë% z* w1 c: _- n4 j( F( g) E+ R- q$ : Q% g ø( A o2 C; P3 C1 l2 |ö- M; I7 l0 l4 j8 / Oz0 P# Vç ç$ Y5 I( V: v/ 1 b Tæ! A: d; U/ l s& j. ?, ?: p) h0 Y1 ?= å& A- P9 U0 L$ i9 m=. h) O3 n& q! y: 3 r1 a& x* p6 b+ v, y4 A& P: Y100( e$ i# t* g( _7 o$ j 1* f0 k q6 s+ Q& Zi ij p C （注： 为向下取整）5 U5 K7 9 S- A; f要使一个月内 95%的会员看到他预订的DVD，则得到0.95 1000) E* a0 w. u( F8 i- q1000( 8 h* % R5 u$ 4 w1) u6 n0 L- b j: J7 g´ = å5 V f6 z7 H9 D2 p2 D3 a U2 T% S= i P6 g- L5 b4 C9 jy TPpi* B) n5 m% Y- Z7 t4 根据问题二以及这里分可以建立以下模型：% Y9 W, v6 X( a. o% Eï ï ï ï ï ï$ l2 P R& c2 q3 I2 rî( E7 y% mK8 s5 h, V G4 G0 s4 Sïï ï ï ï ï( h6 G9 , N( T0 . d6 O. E9 v+ _ O1 H. g% b, g1 P. p! Kh% h, m# T H9 w* o5 8 f= =; 5 k) v* v! l! k=- 8 ?- s: T, k1 p- | û5 E) T8 e. M/ f8 & p$ ( f# K3 m$ |k: ë( ) D! K* k0 z& S c$ q4 Q2 . m7 l1 T) e- F3 r2 & b1 E3 k0 W3 z; O 2 f) d( Q+ 9 p9 s2 T9 |+ fø0 R2 ?p% i; g# I, eö- % F2 p+ x1 _; K sç ç s$ q6 t, i: ; S- O5 o4 R1 1 h( M3 # Sæ, D% Y& B( G5 p7 O1 z G£2 o+ a4 g9 L$ i* n9 QB. =8 ) w( u; n. l8 q=; E7 z: E: y# P4 Gq: s: P j´0 y% q$ V6 E$ aå å8 d: R; v- q. u$ U( U/ F! Xå4 o6 i( D$ y/ e) j# Cå+ i0 v* w2 . Y _åå. P& F, q& k% o# * w( A= =2 D! k: t9 u0 S; T+ wJ=6 2 K6 b8 x- B2 , E6 c2 X=1 w0 T( ?. _ w4 * W5 U/ ( Z+ j= =; o/ p8 4 p+ M# G( 1 1000 , 1 100 )4 L! H9 u2 B( 7 _& . 4 o |/ 3 0.95 *1000, s- R5 c. n2 ?7 u/ U( l3G: I* J/ A8 g; 3 p6 Z) B2 m0,18 I4 m1 M9 j# t3 u; ! B7 u.0 h) $ O. H1 K9 U% Wmin0 q) e, A: H& S1000; 3 N/ w/ f4 Q* W Q: r6 C7 a1: G# b* a1 _3 o) k! k8 _1005 c( D) |! : b7 p2 * C14 X# I3 V, g( q. Qv/ 1000& DI- : Q( O. X) i& J. p, ) l12 L6 z/ 7 u8 m, 8 K# I1004 - Y# 0 k! J D. F1& v0 A* f& X3 L* y% m4 0 B e1000X# K5 l9 % P% V6 n4 S1/ v+ R: t# M, P. |* P# m, A1009 q6 p8 , n; N4 t1 A( M7 F N k oi L j L8 O8 E( ? N% F% : D) C+ V1 1 V7 w2 b, h+ i( ZC y0 ) u! A4 S0 W& D4 d& O8 C4 w7 oT3 A/ y2 H2 g7 DC$ 0 n0 0 J. e) J$ W# X8 T: C6 d2 qs t) H4 C7 b C$ kD C/ w- E K$ Z: o$ W0 Ui j6 u! e P( D+ : Hij, A5 U4 z1 p5 ! C- t2 G5 x4 v8 ei) - n, ( X7 7 1 |( ) x1 nij j7 V4 H9 r+ _! j R% r$ D5 j* 7 V) B! o8 f- aij6 i6 O; B9 H6 W& D& |ij$ a& H) |: 0 3 A# i j- i) L5 R# cD! ?ij ij; U: x, ! m( K4.4.2 问题三的求解. H/ Ls5 m y1 6 N: h9 x上述模型难以用计算机实现，这里我们用计算机仿真来解决该问题。仿真前先进行& s3 T. W7 q$ D& O1 如下假设：8 f2 b! ) 5 O+ q2 u- $ f* Y+ b2 a,假设40%的会员一个月只租DVD 一次， 60%的会员一个月租DVD 两次，会员. y& _, o) K, n* L还DVD 天数在330 天内并服从等概率分布。4 L( X d d9 Bb,假设每位顾客都有95%的概率租到自己想看的DVD，若一位顾客按偏爱度订n3 U; l/ l$ t$ |/ N- d（n10）种自己想看的DVD，设该顾客租到偏爱度为k（kn）的DVD 的概率为- 7 O5 y- Z% T l, K7 å=% V7 b% e+ e3 R6 g6 X. -5 % 1 ; M+ X-9 w( E3 U1 1 |! * =6 R8 w, X A% K/ Q5 Yn o0 b: o: m1 p0 Ri i; Z$ _; J3 f9 B* |k/ YO! v7 & J& A+ G, |p k o$ V$ N1 d) 1 11% S. 3 ?- e+ Y% x0 H8 G110 Q. I) f2 G* h! a! G. x: R# W( ) ，4 ( R1 h# E% & X S8 4 E% mc,假设已经租到DVD 的会员只有归还DVD 后才能再租，* Z; R1 n/ N% s( Y 在此假设基础上进行模拟一个月内 DVD 的供求，得到这一个月中每种DVD 的需, d2 u) a8 J* Y T S求的最大量。仿真流程图见图1，程序见附录。% ?, w% ; B4 h9 e用 MATLAB编程1 2，经过多次模拟，得到每种DVD 的购买总量在3085 左右，0 c! Y, g+ z$ 其中一次结果得到各种DVD 购买量依次为（见表5）：5 t% r+ T+ j8 R6 _! N+ G M表 50 q& g7 q$ j, B+ 9 N2 mD001D010 28 33 29 26 24 30 31 35 28 27% D# V1 r2 TR0 dD011D020 25 24 35 39 23 34 37 29 27 357 R& o1 f5 H$ t! Q z K# y9 HD021D030 33 31 42 28 32 32 27 23 35 35c) m* e) n8 V* , HD031D040 35 29 22 28 38 32 30 33 30 29: R* c$ ( t9 V* I) v0，1 变量4 A9 n* B $ n每位会员租 3 张DVD6 y1 A Si, O3 ?- D3 mDVD 数量的限制6 Z* G) O( o8 x1 W4 S2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文6 X/ ?# r2 ! h. l& f7% r! 9 u- E! Y+ . QD041D050 34 39 23 25 38 32 35 35 27 30$ o6 ; f L+ s% S/ l; e9 KD051D060 31 31 38 21 30 32 35 31 36 382 ?9 O$ Hg* A# M% i: r2 aD061D070 25 33 23 33 34 43 34 40 42 365 3 Y+ R6 q: 0 A5 vD071D080 35 36 30 30 33 29 21 31 23 330 r3 k( ( f t& s$ S# z. X/ 6 jD081D090 34 20 21 26 33 20 31 20 38 32% d7 t A C! sM0 ?D091D100 43 25 30 31 29 26 29 30 26 34/ X! 9 E- dw8 ; E总和 30869 r+ % * V$ C u! Q6 j. eY$ |6 w. m# J0 Y2 l8 T QN4 y0 D j1 Z% U% f % qYY4 Uk; U6 D A, WN/ v& d- T5 F, P+ zN: x: G; o9 h V0 R1 _/ c5 Y& x& + W, F* u! 5 H/ B, MY: C# J. b- l0 T$