2019_2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课教案（含解析）新人教B版必修4.docx

第2章 平面向量(教师用书独具)平面向量的线性运算1.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面2向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题3题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等【例1】如图，在ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MHAF交BC于H.求证：.思路探究选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出、与即可证得证明设a，b，则ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.综上，得.1.如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BMAB，点N在BC上，且BNBC，求证：M，N，D三点共线证明设e1，e2，则e2，e2，e1，e2e1，又e2e133，向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度【例2】非零向量a，b满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求a，b的夹角的余弦值思路探究解由(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，得解得所以|a|b|ab，所以cos .2.如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.18()()2，APBD，0.|cosBAP|2，2|22918.向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一2向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题【例3】已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求y与的值思路探究(1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与的方程求解解(1)设点B的坐标为(x1，y1)(4,3)，A(1，2)，(x11，y12)(4,3)，B(3,1)同理可得D(4，3)设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2，y21，M.(2)由已知得(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)又，(1,1y)(7，4)，则3已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，求.解设D(x，y)，则(x2，y1)，(x3，y2)，(6，3)，0，则有6(x2)3(y1)0，则有3(x3)6(y2)0，解由构成的方程组得则D点坐标为(1,1)，所以(1,2).平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题【例4】已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)(2,0)(1,2)，(0,1)(2,2)(2，1)1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.242，|，即APAB.4已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)，1(3)130，即ABAD.(2)四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得C点的坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，|2，|2，8816.设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题【例5】如图所示，以ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AMEF.思路探究要证AMEF，只需证明0.先将用，表示，将用，表示，然后通过向量运算得出0.证明因为M是BC的中点，所以()，又，所以()()()(00)()|cos(90BAC)|cos(90BAC)0，所以，即AMEF.5已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1B.C.1