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1 概率统计 2008 级辅导 第一章 一 随机事件的概率 1 性质 1 2 事件 0 PA1 AP 3 有限可加性 事件两两互不相容 n AAA 21 2121nn APAPAPAAAP 2 概率的运算公式 加加法法公公式式 P ABP AP BP AB 如果互斥 互互不不相相容容 则BA P ABP AP B 321313221321321 AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP 推广 减减法法公公式式 P ABP AP AB AB P ABP AP B 1 如 则 即概率具有单增性 2 因为 所以 AB P AP B ABAB P ABP AP AB 对对立立事事件件的的概概率率计计算算公公式式 1 P AP A 习习题题一一 10 设设 为为两两个个事事件件 求求 AB 0 9P A 0 36P AB P AB 解 解 0 90 360 54P ABP AP AB 习习题题一一 11 设设 为为两两个个事事件件 求求 AB 0 7P B 0 3P AB P AB 解 解 1 1 1 0 70 3 0 6P ABP ABP ABP BP AB 习习题题一一 12 假假设设 0 4P A 0 7P AB 若若 互互不不相相容容 求求 若若 相相互互独独立立 求求 AB P BAB P B 解 解 若若 互互不不相相容容 AB 0 70 40 3P BP ABP A 若若 相相互互独独立立 则则由由可可得得 0 5 AB P ABP AP BP A P B P B 习习题题一一 21 设设 为为两两事事件件 求求 AB 0 7P A 0 6P B 0 4 B P A P AB 解 由解 由得得 0 4 B P A 0 4 0 12 0 48 P AB P ABP ABP BP AB P A 0 82P ABP AP BP AB 例例 1 1 设 1 4 P AP BP C 0P AB P ACP BC 1 16 求全不发生的概率 A B C 2 解解 由及 3 3 3 1 得所求概率为 ABCABC 1 P ABCP ABCP ABC 3 81 P AP BP CP ABP ACP BCP ABC 其中所以即 ABCAB 0 P ABCP AB 0P ABC 例例 2 2 设 构成一完备事件组 且 则 求 A BC 0 5P A 0 7P B P C P AB 解解 构成一完备事件组 A BC 1P ABCP AP BP C 又 1 0 3P BP B 0 5P A 0 2P C 构成一完备事件组 由于互斥 故 A BCBA AB 0P AB 3 条件概率 定义 设两事件 A B 称 P A 0 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 AP ABP ABP P B 0 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率 BP ABP BAP 例例 4 4 一批产品中一 二 三等品各占60 30 10 从中任取一件 结果不是三等品 求取到一等品的概率 解解 设 取到 等品 则所求概率为 i Ai1 2 3i 3 131 1 3 33 1 0 62 1 0 93 AA P A AP A A P AP A P A 例例 6 6 盒内装有 100 件产品 出厂验收时规定从盒内连续取三次 每次任取一件 取后不放回 只要 三次中发现有废品 则不予出厂 如果盒内有 5 个次品 问该盒产品予以出厂的概率有多大 解解 设 第 次取得正品 1 2 3 则表示事件 新产品予以出厂 i Ai i 321 AAA 已知 所以 98 93 99 94 100 95 21 3 1 2 1 AA A P A A PAP 32 1231 112 9594 93 0 856 100 99 98 AA P A A AP A PP AA A 例例 7 7 甲 乙独立地对同一目标射击一次 命中率分别为0 6 和 0 5 今已知目标被击中 求它被甲击中的概率 解解 设 甲击中 乙击中 则所求概率为AB 0 6 0 75 0 60 50 3 P A ABP A A P AB P ABP AP BP A P B 习习题题一一 22 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为年以上的概率为 0 8 活到活到 25 年以上的概率为年以上的概率为 0 4 问现年问现年 20 岁的这种动物岁的这种动物 它能活到它能活到 25 岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少 3 解 解 设设 某种动物由出生算起活到某种动物由出生算起活到 20 年以上 年以上 A 0 8P A 某种动物由出生算起活到某种动物由出生算起活到 25 年以上 年以上 则所求的概率为 则所求的概率为B 0 4P B 0 4 0 5 0 8 P ABP B BB PP AA P AP A 乘法定理 0 0 4 ABPAPABPABCPABCP APAPABPABP 5 全概率公式和贝叶斯公式 若事件组满足 且两两互斥 则称为完完备备事事件件组组 12 n A AA 1n AA 12 n A AA 设 B1 B 2 Bn为完备事件组 且 P Bi 0 则对任何一个事件 A 都有 贝叶斯公式 全概率公式 2 1 1 2211 ni BPBAP BPBAP ABP BPBAPBPBAPBPBAPAP n j jj ii i nn 习习题题一一 24 设甲 乙两袋 甲袋中有 设甲 乙两袋 甲袋中有 2 只白球 只白球 4 只红球 乙袋中有只红球 乙袋中有 3 只白球 只白球 2 只红球只红球 今从甲袋中任今从甲袋中任 意取一球放入乙袋中 再从乙袋中任意取一球意取一球放入乙袋中 再从乙袋中任意取一球 1 问取到白球的概率是多少 问取到白球的概率是多少 2 假设取到白球 问该球来自甲袋的概率是多少 假设取到白球 问该球来自甲袋的概率是多少 解 设解 设 A 取到白球 取到白球 B 从甲球袋取白球 从甲球袋取白球 2 44 3 1 5 9 6 66 6 P AP A B P BP A B P B 2 9 2 2 5 5 9 P A B P B P B AP ABP A P A 习习题题一一 2727 某药厂用从甲 乙 丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药 三地的供货量分别占 某药厂用从甲 乙 丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药 三地的供货量分别占 40 40 35 35 和和 25 25 且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0 650 65 0 700 70 和和 0 850 85 求从该厂产品中 求从该厂产品中 任意取出一件成品是优等品的概率任意取出一件成品是优等品的概率 如果一件产品是优质品 求它的材料来自甲地的概率如果一件产品是优质品 求它的材料来自甲地的概率 解 以解 以 Bi分别表示抽到的产品的原材来自甲 乙 丙三地 分别表示抽到的产品的原材来自甲 乙 丙三地 A 抽到优等品抽到优等品 则有 则有 123 0 35 0 25 P BP B P B 0 4 1 0 65 A P B 3 2 0 7 0 85 AA PP BB 所求概率为所求概率为 P A 由全概率公式得 由全概率公式得 123 123 AAA P AP B PP BPP BP BBB 0 65 0 40 7 0 350 85 0 250 7175 111 1 0 26 0 3624 0 7175 P B AP B P A B B P A P AP A 习习题题一一 2929 3 3 个射手向一敌机射击 射中的概率分别是个射手向一敌机射击 射中的概率分别是 0 40 4 0 60 6 和和 0 7 0 7 如果一人射中 敌机被击落的如果一人射中 敌机被击落的 概率为概率为 0 20 2 二人射中 被击落的概率为 二人射中 被击落的概率为 0 60 6 三人射中则必被击落 三人射中则必被击落 1 1 求敌机被击落的概率 求敌机被击落的概率 2 2 已知敌机被击落 求该机是三人击中的概率已知敌机被击落 求该机是三人击中的概率 4 解解 设设 A 敌机被击落敌机被击落 Bi i 个射手击中个射手击中 i 1 2 3 1 2 3 则则 B1 B2 B3互不相容互不相容 由题意知 由题意知 由于 由于 3 3 个射手射击是互相独立的 所以个射手射击是互相独立的 所以 13 2 0 2 0 6 1 AAA PPP BBB 1 0 4 0 4 0 30 6 0 6 0 30 6 0 4 0 70 324P B 2 0 4 0 6 0 30 4 0 7 0 40 6 0 7 0 60 436P B 3 0 4 0 6 0 70 168P B 因为事件因为事件 A 能且只能与互不相容事件能且只能与互不相容事件 B1 B2 B3之一同时发生之一同时发生 于是于是 1 1 由全概率公式得 由全概率公式得 3 1 0 324 0 20 436 0 60 168 10 4944 ii i P AP B P A B 2 2 由 由 BayesBayes 公式得公式得 33 33 1 0 168 0 34 0 4944 ii i P B P A B P BA P B P A B 例例 8 8 在某一季节 一般人群中 疾病的发病率为 2 病人中 40 表现出症状 S 疾病的发病率 1 D 2 D 为 5 其中 18 表现出症状 S 疾病的发病率为 0 5 症状 S 在病人中占 60 问任意一人有症状 S 3 D 的概率有多大 解解 由已知 1 1 0 02 0 4 S P DP D 2 0 05 P D 2 0 18 S P D 3 3 0 005 0 6 S P DP D 由全概率公式得 3 1 ii i P SP D P S D 0 02 0 40 05 0 180 005 0 60 02 例例 9 9 即 2 2例 1 抽签原理 袋中有个白球个红球 依次随机取球 求第次抽到abk 白球的概率 解解 设 第次抽到白球 则 由于为完备事件组 故 由全概率公式得 i Ai 1 a P A ab 11 A A 22 211 1 1 1 11 aabaa AA P AP A PP A P A Aab abab abab 同理可得 321 n a P AP AP AP A ab 例例 1 10 0 一批空调情况如下 来源甲厂乙厂丙厂 份额524 次品率0 030 080 05 任买一台 求 1 该台为不合格品的概率 2 已知买到了次品 问是哪一个厂生产的可能性最大 解解 设 取到甲厂生产的产品 取到乙厂生产的产品 取到丙厂生产的产品 ABC 取到次品 则D 5 1 DDD P DP A PP B PP C P ABC 5240 51 0 030 080 05 11111111 2 由 3 7 15 51 D P A P A A P D P D 同理 故该产品为丙厂生产的可能性最大 16 51 B P D 20 51 C P D 例例 1111 一只箱中有 20 只产品 其中无次品的概率为 0 8 有一只次品的概率为 0 1 有二只次品概率 为 0 1 一个顾客从中随机取四件观察 若无次品 则买下全部产品 否则不买 求 1 顾客买下该产品的概率 2 顾客买下该箱产品的确没有次品的概率 解解 设表示箱中有 件次品 0 1 2 B 表示顾客买下该箱产品 i Aii 由题知 8 0 0 AP 1 0 1 AP 1 0 2 AP 而 1 0 A B P 4 19 4 1 20 4 5 C B P A C 19 12 4 20 4 18 2 C C A B P 由全概率公式 2 2 1 1 0 0 A B PAP A B PAP A B PAPBP 412 0 8 1 0 1 0 10 94 519 由 3 7 85 0 94 0 8 0 0 0 0 BP A B PAP B A P 6 独立性 定定义义 对事件 如果 则称事件事件相互独立相互独立 A B A PP A B A B 个事件仍相互独立 的它们的对立事件 所得 中任意多个事件换成相互独立 则将个事件若 个事件也是相互独立 相互独立 则其中任意若事件 相互独立 与与与相互独立 反之亦然 相互独立 则 若是两事件 且 设结论 独立相互事件 独立相互定理 事件 n AAAnAAAn nkknAAA BABABABA BPABPBAAPBA CPBPAPABCP CPAPACPCPBPBCPBPAPABP CBA BPAPABPBA nn n 2 4 2 2 3 2 0 1 2121 21 例例 1 1 袋中涂有红 白 黑各一球 另一球涂红 白 黑三色 从中任取一球 设 取A 到的球涂有红色 取到的球涂有白色 取到的球涂有黑色 问是否相互独立 BC A B C 解解 从而 1 4 P ABP ACP BC 1 2 P AP BP C 从而两两独立 但由于 P ABP A P B P BCP B P C P ACP A P C A B C 6 不是相互独立的 1 4 P ABC P A P B P C A B C 例例 2 2 电路由电池甲与两个并联的电池乙 丙串联 而成 如图 4 2 假设在一定的时间内电池甲 乙 丙损坏的概率分别为0 3 0 2 0 2 并且各电池损 坏与否互不影响 试求电路发生间断的概 率 解解 设事件 甲损坏 乙损坏 丙损坏 ABC 则相互独立 因电池甲损坏或乙 丙同时损CBA 坏表示电路发生间断 故事件表示 电路间ABC 断 故所求概率为 P ABCP AP BCP ABC P AP BP CP A P B P C 0 30 20 20 3 0 20 20 328 7 7 二二项项概概率率公公式式 二项概率公式 设随机试验下事件发生的概率为 将重复独立作次 称此试验EApEn 为重贝努力试验 则事件发生次的概率为nAk 0 1 2 kn 1 0 1 2 kknk nn P kC ppkn 称此公式为二二项项概概率率公公式式 习习题题一一 3 33 3 灯灯泡泡使使用用寿寿命命在在1000h 以以上上的的概概率率为为0 2 求求 3 个个灯灯泡泡在在使使用用1000h 后后 最最多多只只 有有一一个个坏坏了了的的概概率率 解解 由由二二项项概概率率公公式式所所求求概概率率为为 312 333 0 1 0 2 0 2 0 80 104PPC 例例 3 3 一射手对同一目标独立地射击四次 若至少命中一次的概率为80 81 求该射手的 命中率 解解 设该射手的命中率为 一次 都未 命中的概率为 p 4 4 0 1 Pp 依题意 解得 4 80 1 1 81 p 2 3 p 例例 4 4 即 2 2例 4 某家庭有 4 个女孩 他们在洗碗时打破4 个 其中有 3 个是最小的女 孩打破的 假设每个女孩打破碗的概率都一样 求小女孩打破3 个碗的概率 解解 将每个女孩设为一个格子 小女孩为第4 个格子 试验 任取一碗放入4 个格子E 中 此碗落入第 4 个格子中 考察发生与否 则所求概率为将重复独立作 4 次试验AAE 发生 3 次的概率 由题设 从而A 4 3 P 1 4 P A 33 44 13 3 0 047 44 PC 此结果与 2 2例 4 结果一致 例例 5 5 赌博家德梅尔 De Me re 提出这样一个问题 一枚骰子掷 4 次 出现 6 点至少 一次 两枚骰子同时掷 掷24 次 出现双 6 点至少一次 这两个事件的概率是否相同 德梅尔认为 试验 投掷 次数与试验所有可能结果总数之比相等 所以上 424 636 述两件事件的概率应该相等 但这与他的实践经验不一致 图 4 2 7 解解 设事件 掷一枚骰子出现6 点 6 A 6 1 6 P A 6 5 6 P A 掷两枚骰子出现双6 点 66 A 66 1 36 P A 66 35 36 P A 把 一枚骰子掷 4 次 模拟成 4 次独立重复试验 两枚骰子同时掷 掷24 次 模拟成 24 次独立重复试验 于是有 1 一枚骰子掷 4 次 出现 6 点至少一次 的概率为 4 4 5 1 0 1 0 5177 6 P 2 类似地 两枚骰子同时掷 掷24 次 出现双 6 点至少一次 的概率为 24 24 35 1 0 1 0 4914 36 P 第二章 1 随机变量 定义定义 设试验下样本空间为 若 对应唯一个实数 则称为一个随机变随机变E e e X e X e 量量 2 离散型随机变量及其分布 1 2 2 1 0 1 2 1 2 1 1 21 21 k kk n n kkk k pkp ppp xxx X X kpxXPxXX kxX 性质 或分布律也可表示为 的分布律 为离散型随机变量 的概率 即事件取各个可能值的概率 称 所有可能取的值为设离散型随机变量定义 常见离散型随机变量的概率分布 1 0 1 分布 设随机变量 X 只取 0 与 1 两个值 它的分布律为 则称 X 服从 0 1 分布或两点分布 2 二项分布 knkk n knkk n k n knkknk qpCppCknA CknA AAAAAAAAAAAAAA knAnkkX nXAnX pq 1 1 0 2 1 0 11 记 次的概率为次试验中发生在因此 种 且两两互不相容 次的方式共有次试验中发生在得 次 次试验中发生了在时 即当 所有可能取的值为发生的次数 则重伯努利试验中事件表示若 次次次次 的分布律为得X 称这样的分布为二项分布 记为 pnBX n xxx 21 n ppp 21 X k p 10 p 1 k p X p nknkk n n n n k pqpCpqCqp nkX 11 10 8 P 0 2 1 0 e 2 1 0 3 XX k k kXPX k 的泊松分布 记为服从参数为是常数 则称其中 取各个值的概率可能取的值为设随机变量 泊松分布 3 分布函数 定义定义 称为的分布函数分布函数 其中事件 F xP Xxx X Xxe X ex 从数值上看表示随机变量落入区间的概率 F xX x 利用分布函数计算概率重要公式 1 2 aFaXP 1 aFbFbXaP 习习题题 二二 4 4 设随机变量 设随机变量的分布函数为的分布函数为X 1 1 1 0 0 0 2 x xx x xF 试求 试求 1 1 2 2 3 3 2 1 XP 4 3 1XP 2 1 XP 解 解 2 2 4 1 2 1 2 1 1 FXP 16 9 0 16 9 1 4 3 4 3 1 FFXP 3 3 4 3 2 1 1 2 1 1 2 1 FXPXP 例例 5 5 若 且 求 6 0 2 xXP 6 0 1 xXP 21 xx 12 P xXx 解解 21 xXxP 1212 1xXPxXPxXPxXP 2 06 016 0 4 连续型随机变量的分分布布函函数数 及概率密度 的概率密度 函数 称为中为连续型随机变量 其则称 有 使对任意实数 若存在非负函数的分布函数定义 对随机变量 XxfX ttfxFxxfxFX x d xxfaFaXPaXPxxfaFaXP xfxFxxf xxfxFxFxXxP xxfxf a a x x d 1 1 d 4 d 3 1d 2 0 1 2 1 1221 计算公式 处连续 则有在点若 概率密度函数的性质 习习题题 二二 15 已已知知的的概概率率密密度度为为 试试求求 X 2 0 0 0 x ax ex f x x 1 未未知知系系数数 2 的的分分布布函函数数 3 在在区区间间内内取取值值的的概概率率 aX F xX 1 0 解 解 1 由 由 解得 解得 0 2 1dxeax x 2 2 a 9 2 当 当 x 0 时时 x F xP Xxf t dt 0 xF 当当 x 0 时 时 222 0 1 22 2 x x x e F xax edxxx 22 1 1 22 0 2 0 0 xxx F x x 3 5 11 0 0 1 2 PXFF e 例例 1 1 设随机变量的分布函数为 求及 X 0 0 sin 0 2 1 2 x F xAxx x A 6 P X 解法一解法一 由在 2 处右连续得 F x 0 1 22 FFA 即 1 sin0 6666662 PXPXFF 解法二解法二 密度函数 cos 0 2 0 Axx f xF x 其它 由得 从而 2 0 cos1Axdx 1A 6 PX 6 0 1 cos 2 xdx 补充 设随机变量 X 的分布函数为 ex exx x xFX 1 1 ln 1 0 求 1 P X 2 P 0 X 3 P 2 X 5 2 2 概率密度 f X x 处连续在点 其它 解 0 1 1 2 4ln5ln2ln 2 5 ln 2 2 5 2 5 2 101 0 3 30 2ln 2 2 1 xfxFxxf ex xxFxf FFXP FFXPFXP XX XX XXX 常见连续型随机变量的分布 0 1 1 baUXbaX bxa abxfX 上服从均匀分布 记为在区间则称 其它 具有概率密度随机变量 均匀分布 设连续型 的指数分布 服从参数为则称 为常数 的概率密度为量 指数分布 若随机变 X x x xfX x 0 0 0 0 e 1 2 10 分布函数其概率密度函数 正态分布 记为时的正态分布称为标准 记为的正态分布或高斯分布服从参数为为常数 则称其中 的概率密度为量分布 设连续型随机变 正态 xtxxx N NX X x xfX x x tx de 2 1 e 2 1 1 0 10 0 e 2 1 3 22 22 2 2 2 2 正态分布的计算 标准正态分布的概率计算 查表计算 1 xx c d cFdFdXcP x xXPxF NX 2 1 10 1 0 u u uXPuNX 分位点 为标准正态分布的上则称点 满足条件 若设分位点 正态分布的上 例例 3 3 且 求 2 2 XN 240 3PX 0P X 解解 欲求 022 01P X 2 因为 所以 从而 42222 0 3240 5PX 2 0 8 00 2P X 例例 4 4 某地区考生数学成绩 百分制 近似服从正态分布 平均分 分以上的考生占考生总数的7296 求考生成绩在分到分之间的概率 2 3 6084 10 841 20 977 解解 设考生成绩 从而所求概率 X 2 72 XN 84726072 6084pPX 今未知 但已知 查表得 0 02396P X 196P X 96 1 96 0 977 即 从而所求概率 20 977 9672 2 12 112110 682p 查表 5 随机变量的函数的分布及计算 若为随机变量 为连续函数 则为随机变量的函数 X g x Yg X X 由的概率密度函数 求的密度函数的方法 X X fx Yg X Y fy 1 1 分布函数法分布函数法 1 求出的值域 Yg X Y 2 2 对 由定义 Y Y d yxxfyXgPyYPyF yxg XY 3 对于 求得 从而 Y Y YY fyFy 0 YY Y Y Fyy fy y 11 2 2 公式法公式法 当是可导的单调函数时 则 yg x 11 0 XY Y Y fgygyy fy y 习习题题 二二 24 24 设随机变量设随机变量 求随机变量 求随机变量在在内概率密度内概率密度 0 2XU 2 YX 0 4 Y fy 解解 X 的概率密度概率密度 0 2XU 1 02 2 0 X x fx 其余 在在单增 单增 反函数反函数在在可导 可导 2 yx 0 2xy 0 4 1 2 y x y 解法一 分布函数法 解法一 分布函数法 1 X 在区间在区间 0 0 2 2 内取值 由内取值 由得随机变量得随机变量 Y 在区间在区间 0 0 4 4 内取值 即内取值 即 Y 的值域 2 YX 0 4 Y 2 2 对 0 4 Y Y 当当时 时 当 当时 时 0y 0 PyYPyFY4y 1 PyYPyFY 当当时 时 04y 2 YX FyP YyP XyP XyFy 3 11 24 YYXXXyX yx y y fyFyFyFxFxxfx yy 从而从而 1 04 4 0 Y y y fy 其余 解法二 公式法 解法二 公式法 在在单增 由于反函数单增 由于反函数在在可导 可导 从而由公式得 从而由公式得 2 yx 0 2xy 0 4 1 2 y x y 11 04 24 0 X Y fyy yyfy 其余 习习题题 二二 25 25 求 求的密度的密度 0 0 0 x X ex fx x X Ye 解法一 分布函数法 因为解法一 分布函数法 因为 故 故 当 当时 时 0X 1Y 1y lnln YX FyP XyFy ln 2 111 ln 1 0 1 y X Y fyey yyyfy y 解法二 公式法 解法二 公式法 的值域的值域 反函数 反函数 故 故 x ye 1 lnxy 2 1 lnln 1 0 1 X Y fyyy yfy y 12 3 0 3 e 2 3 2 1 3 0 3 2 3 e 2 3 d 30 2 3 2 3 32322 0 0 0 2 e 2 1 0e 2 1 d d 00 001 32 0e 0 0 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 22 2 3 2 y y y y y yy xxfyFyf y y x y xxyXY y y y y y y yyfyyfyFyf xxfxxfyFyFyXyPyXPyYPyF yyFyXYXY XYXY xx x xfX y y y XyY y y XXYY y X y XXXY Y x X 的分布函数 求 时有 当时当 的分布函数 求解 的概率密度和 求随机变量 的概率密度设随机变量例 例例 3 3 证明 即正态随机变量的线性组合仍为正态 2 XN 22 0 YkXb kN kb k 随机变量 证明证明 已知 方法一方法一 分布函数法 Y 1 当时 0k YX ybyb FyP YyP XF kk 1 YX yb fyf kk 2 时 0k 1 YX ybyb FyP XF kk 11 YXX ybyb fyff kkkk 综合而得 即 证毕 2 22 2 11 2 ykb k YX yb fyfeyR kkk 22 YN kb k 方法二方法二 公式法 今单调可导 其反函数为 从而 g xkxb 1 yb xgy k 证毕 11 1 YXX yb fyfgygyf kk 第三章第三章 1 二维随机变量的联合分布函数 率 在如图所示区域内的概的函数值就是随机点落 的联合分布函数 和机变量的分布函数 或称为随称为二维随机变量 是任意实数 二元函数定义 yxF YXYX yxyYxXPyYxXPyxF 2 二维离散型随机变量的联合分布律 的分布律也可表示为二维离散型随机变量 的联合分布律和的分布律 或随机变量 为 称 所有可能取的值为设二维离散型随机变量 2 1 2 1 YX YXYXjipyYxXP jiyxYX ijji ji y o x yx yYxX XY 1i xx 111i pp 1 y 13 y O xy x 图 3 5 1 0 11 ij ijij pp 性质 习习题题 三三 1 离散随机变量相互独立同分布 YX与 求的概率 2 1 1 1 YPXP 1 XP 2 1 1 YP YXP 分析 分析 Y 与 X 相互独立 X 的分布律为的分布律为 Y 的分布律为的分布律为 由边缘概率可以计算 X Y 的联合概率 P X 1 Y 1 P X 1 Y 1 解 解 1 1 1 1 已知独立 YXPYXPYXP 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 YPXPYPXP 习习题题 三三 2 2 已知二维离散型随机变量 的概率分布如下表 YX 1 求 2 随机变量是否相互独立 bYX 3 求 1 1 YXP 解 由解 由 1 1 可得 可得 从而得 从而得 ij ij p14 0 b X Y 0 01 12 2 jYP 0 00 060 060 150 150 090 090 30 3 1 10 140 140 350 350 210 210 70 7 iXP 0 20 2 5 0 0 30 31 1 故故相互独立相互独立 1 0 2 1 0 jijYPiXPjYiXPYX 7 035 0 15 0 14 0 06 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 YXPYXPYXPYXPFYXP 3 二维连续型随机变量的联合概率密度 4 dd 3 1 dd 2 0 1 dd 2 yxf yx yxF yxyxf yxyxfGYXPGYXxoyG Fyxyxfyxf YXYXyxf YXvuvufyxFyx yxfyxFYX G yx 连续 则有在若 内的概率落在 点面上的一个区域是设 性质 的联合概率密度 和机变量的概率密度 或称为随称为二维随机变量 量 是连续型的二维随机变 则称有使对任意 若存在非负函数的分布函数量对于二维连续型随机变定义 例例 2 2 设二维随机变量具有概率密度 YX yxf 0 0 0 2 2 其它 yxe yx 1 求分布函数 2 求概率 yxF XYP 解解 1 yxF yx dxdyyxf 0 0 0 2 00 2 其它 yx yx yxdxdye 即有 yxF 0 0 0 1 1 2 其它 yxee yx X Y 012 00 060 150 09 1 b 0 350 21 1ijj pp j y 11 k p X 5 05 0 Y k p 5 05 0 11 14 2 将看作平面上随机点的坐标 即有 其中为平面上直线 YX GYXXY Gxoy 及其下方的部分 如图 3 5 于是xy GYXPXYP G dxdyyxf y yx dyedy 2 0 2 3 1 4 边缘分布 的边缘分布函数关于为随机变量 称令 的边缘分布函数关于为随机变量 称令 的分布函数 则为随机变量设边缘分布函数 YYX yFyYXPyYPyFx XYX xFYxXPxXPxFy yYxXPyxFYXyxF Y X 2 离散型随机变量的边缘分布律 的边缘分布律 和关于关于为和分别称 记 的联合分布律为机变量定义 设二维离散型随 YXYXji jyYPpiXPp jipyYxXPYX ji j i ijji j iji ijji pp pxp 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 例 已知分布律求其边缘分布律 解 3 连续型随机变量的边缘概率密度 的边缘概率密度 关于为连续型随机变量称 由于 的边缘概率密度 关于为连续型随机变量称 由于的概率密度为定义 设随机变量 YYXxyxfxf yxyxfyFyF XYXyyxfxf xyyxfxFxFyxfYX Y y Y X x X d dd d d d 例例 5 5 设二维随机变量的概率密度函数为 YX yxf 0 0 10 2 8 4 其它 xyxxy 求边缘概率密度 解解 的边缘概率密度为的边缘概率密度为X xdyyxfxfX 对任意 xx X xxdyxydyyxfxf 0 2 0 2 4 2 2 8 4 10 x 其它 xfX00 dy Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ydxyxfyfY 对任意 10 y 1 2 43 4 2 2 8 4 y Y yyydxxydxyxfyf X Y 10 ii xXPp X Y jj yYPp 1 7 4 49 12 49 16 1 p 7 3 49 9 49 12 2 p 7 4 49 12 49 16 1 p 7 3 49 9 49 12 2 p 49 16 49 12 49 12 49 9 0 1 0 1 10 49 16 49 12 49 12 49 9 y x xy x D 0 10 xy 1 x 0 x 0 y 15 其它 yfY00 dy 可知边缘密度为 其它 0 10 2 4 2 2 xxx xfX yfY 0 10 43 4 2 2 其它 yyyy 习习题题 三三 9 设二维随机变量的分布密度函数为 YX yxf 其它 0 0 0 43 yxeA yx 求 1 常数 2 的边缘概率密度 3 AXY 20 10 YXP 解解 1 1 由 由 1 1 即 即 dxdyyxf 00 43 1dxdyeA yx 12 00 43 A dyedxeA yx 因此因此 12 A yxf 0 0 0 12 43 其它 yxe yx 2 X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 xdyyxfxfX 当当 0 x xfX dyyxf 0 0dy 0 43 12dye yxx e 3 3 当当 0 x xfX00 dy Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ydxyxfyfY 当当 当 当 0 y yfY dxyxf 0 0dx 0 43 12dxe yxy e 4 4 0 y yfY00 dy 边缘密度为 边缘密度为 xfX 0 0 3 3 其它 xe x yfY 0 0 4 4 其它 ye y 3 1 1 83 ee 20 10 YXP 1 0 2 0 43 12dxdye yx 1 0 2 0 43 12dyedxe yx 0 0 y x D y x O 16 0 10 6 d0 10 d6 d 10 d d 0 10 6 d0 10 d6 d 10 d d 0 6 2 2 2 2 2 1010 其他 其他 其他 其他 其他其他 即即 解 求边缘概率密度 其他 的联合概率密度和设随机变量例 yyy yf x yx xyxf yxyxf xyxfyf xxx xf y xy yyxf xyyxf yyxfxf yxyxyx xyxD yfxf xyx yxfYX Y y y Y X x x X YX yx 5 二维随机变量的相互独立性二维随机变量的相互独立性 的 是和则称随机变量 即 有 若对于所有 函数 的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变 及设 定义 相相互互独独立立YX yFxFyxFyYPxXPyYxXPyx YXyFxFyxF YX YX 1 2 相互独立的等价条件 2 2 1 1 yfxfyxfYX yfxfyxfYX pppyYPxXPyYxXPYX jipjYiXPYX YX YX jiijjiji ij 相互独立和 则 边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量 即相互独立和 则的联合分布律为设离散型随机变量 相互独立 和是连续函数又若 相互独立 和相互独立和推广 也相互独立 和相互独立和 2 1 2 1 2121 2121 nm jinm YYYgXXXhgh njYmXYYYXXX YgXfYX 习习题题 三三 6 随机变量在矩形域上服从均匀分布 求二维分布密度及边缘分布 YXdycbxa 密度 随机变量及是否独立 XY 解解 具有概率密度 YX yxf 0 1 否则 dycbxa dcab 的边缘密度为X xdyyxfxfX 即 其它 0 1 00 dy bdy cdab dydyxa d cb a bxax bxa abxfX 0 1 x 2 xy xy 1 1 yx yx x y D O y dy cy ax dyc bxa D bx 17 同理得的边缘分布密度为 dycy dyc dc 0 1 Y yfY 故故 随机变量 随机变量及及是独立的是独立的 yxf xfX yfYXY 习习题题 三三 10 设随机变量的分布密度函数为 YX yxf 其它 0 10 1 0 2 yxcxy 1 求参数 2 证明与相互独立 cXY 解 解 因为因为 1 1 即 即 dxdyyxf 1 0 1 0 2 1dyyxdxc6 1 3 1 2 1 cc 的边缘密度为X xdyyxfxfX 对任意对任意 其它 10 x xfX dyyxf 1 0 2 26xdyxy xfX00 dy 所以所以 xfX 0 10 2 其它 xx Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 ydxyxfyfY 对任意对任意 其它 10 y yfY dxyxf 1 0 22 36ydxxy yfY00 dy 所以所以 故 故 所以 所以与与相互独立相互独立 yfY 0 10 3 2 其它 yy yxf xfX yfYXY 例例 1010 设二维随机变量具有概率密度 YX yxf 其它 0 0 0 2 2 yxe yx 问随机变量和是否相互独立的 XY 解解 0 0 0 2 2 0 2 x xedye dyyxfxf xyx X 0 0 0 22 2 0 2 y yedxe dxyxfyf yyx Y 故有 因而随机变量和是相互独立的 yfxfyxf YX XY 6 两个随机变量的函数的分布 1 两个离散型随机变量的函数的分布 的分布律为设随机变量例 YX 解 分布律 等价于 012 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 2 1 p 12 3 12 1 12 1 12 1 12 2 12 2 12 2 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 3 0 3 YX YX YX 31 153 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 5 2 3 2 3 2 1 XY y 10 10 y x D 1 y 1 x0 x 0 y x 18 的分布律分别为所以YXYX 例例 1 设 的概率分布如表 3 8 求 1 2 的概率分布 XYYX YX 解解 由的概率分布可得表 3 9 YX 表表 3 93 9 概率 20 5 20 2 20 6 20 3 20 3 20 1 YX 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 YX 201134 YX 0 2 3310 从而得到 1 的概率分布如表 3 10 2 的概率分布如表 3 11YX YX 表表 3 103 10 YX 20134 概率 20 5 20 2 20 9 20 3 20 1 例例 2 设与相互独立 依次服从泊松分布 求随机变量的概率分布 XY 21 PPYXZ 解解 的可能取值为 0 1 2 YXZ iZP iYXP 0 iYXP 1 1 iYXP 0 YiXP 2 121 0 ki e e k kiki k i k kkik i C i e 0 12 21 2 1 0 21 21 i i e i 服从泊松分布YXZ 21 P 即 若与相互独立 依次服从泊松分布 则服从泊松分布XY 21 PPYXZ 这一性质称为泊松分布的可加性泊松分布的可加性 21 P 2 两个连续型随机变量的和的分布 难点 和的分布的计算 P96 例 2 xxzfxfzfyyfyzfzfYX xxzxfzfyyyzfzf YXZyxfYX YXZYXZ ZZ d d d d 或独立时 当 或 的概率密度函数为 则的概率密度为设 例例 3 3 设和是相互独立相互独立随机变量 它们都服从分布 其概率密度分别为 XY 1 0 N 求的概率密度 xexf x X 2 1 2 2 yeyf y Y 2 1 2 2 YXZ 表表 3 83 8 Y X 112 1 20 5 20 2 20 6 2 20 3 20 3 20 1 表表 3 113 11 YX 3 2013 概率 20 6 20 2 20 6 20 3 20 3 01YX P 2 3 1 13 12 3 12 1 12 1 12 1 12 2 12 2 12 2 P YX 01532 5 2 3 12 4 12 1 12 1 12 2 12 2 12 2 19 解解 dxeedxxzfxfzf xzx YXZ 2 2 22 2 1 dxeedxe z x zzzxx 2 222 2 42 22 2 1 2 1 令得 dxdt z x t 2 2 2 dtee tz 22 24 22 1 dtee tz 22 24 2 1 2 1 2 1 4 2 z e 即服从分布 Z 2 0 N 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 xxfxXExfX pxXEkpxXPX k kkkk d 2 1 1 1 则 的概率密度为设连续型随机变量 则 的分布律为设离散型随机变量 定义 说明 随机变量 X 的数学期望 E X 是一个实数 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了 X 的所有可能取值的真正平均值 也称均值 2 2121 YEXEXYEYX XcEXbEXaEcXbXaXEYEXEYXE XCECXECCEC nn 独立 推广 对常数 性质 2 随机变量的函数的数学期望 1 离散随机变量的函数的数学期望 Y g X 且 1 k kk pxgXgE 2 1 kpxXP kk 2 连续型随机变量函数的数学期望 f x 为 X 的概率密度 xxfxgXgEd 22022 20 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 20222 0 0 0 0 0 00 0 2 20 1 0 0limlim xxxx xxxx x x x x x x xxxx x edxexexde dxxeexdexdxexdxxdxxfxXE e e x xde e x dxeexxdedxexdxxdxxxfXE XEXE x xe xfX e 解 求的概率密度已知习题四 3 随机变量的方差 为为标准差或均方差 记称 的方差随机变量 定义 Var 1 2 X XD XEXEXXDX 20 CXCXPXD XDbXDabXaXDXX YDXDYXDYX XDCCXDCD nnn 取常数以概率 即 相互独立推广 相互独立 性质 11 0 4 3 2 0 1 2 2 1 2 11 2 计算 或利用公式 的概率密度 为 连续型 的分布律 是 利用定义计算 离散型 方差的计算 2222 2 1 2 2 d 2 1 1 3 XgEXgEXgDXEXEXD XxfxxfXExXD XkpxXPpXExXD kkk k k 习习题题 四四 15 设随机变量服从瑞利分布瑞利分布 其概率密度为其中是常数 X 0 0 0 2 2 2 2 x xe x xf x 0 求 XDXE 解 解 0 2 2 2 2 2 dxe x XE x 0 2 2 2 x edx 0 2 2 2 x xe 0 2 2 2 dxe x 0 2 2 2 2 1 2dxe x 22 1 2 2 2 2 2 dxe x 0 2 2 3 2 2 2 dxe x XE x 0 22 2 2 x edx 0 2 2 2 2 x ex 0 2 2 2 2dxex x 2 2 0 2 2 22 2 2 x de x 22 2 0 2 2 2 2 x e 习习题题 四四 16 设 服从 0 4 上的均匀分布 并且与相互独立 XYN 4 0 XY 求 2 32 2 YXEYXDYXD 解 由正态分布与均匀分布的方差知解 由正态分布与均匀分布的方差知 3 4 12 16 12 2 4 0 2 ab YDYEXDXE 由于由于与与相互独立 因此相互独立 因此与与也相互独立 从而也相互独立 从而XYX2Y3 3 16 3 4 4 YDXDYXD 28 9 4 3 2 32 YDXDYDXDYXD 3 1 29 4 3 4 48 4 2 2 2 222 YEYEXEXEYXE 21 22 2 2 4 22422222 2 4