2017_18学年高中数学1.4生活中的优化问题举例学案.docx

1.4 生活中的优化问题举例核心必知1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34P36的内容，回答下列问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可(2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S2x2(x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可2归纳总结，核心必记(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)解决优化问题的基本思路问题思考在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值课前反思(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？；(2)解决优化问题的基本思路是什么？讲一讲1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积尝试解答(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：所以，当时，S取得最大值Smax3 750 m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程练一练1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0，20)时，V0；当x(20，30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.讲一讲2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值尝试解答(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当50，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值练一练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？解：设燃料费ykv3，因为当v10时，y6，k，yv3.每千米总费用：Sv2，Sv.令S0得v20，当v(0，20)时，S0.v20 km/h 是S的极小值点，也是最小值点，v20 km/h 时，每千米的费用总和最少知识点3 利润最大问题讲一讲3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？尝试解答(1)因为次品率p，所以当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0，得x16或x32(舍去)当0x0；当x16时，T0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为.2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm解析：选B设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得Vx(482x)2(0x0；当x(8，24)时，V0.当x8时，V取得最大值题组2成本最低(费用最省)问题3做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D2 m解析： 选C设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)4某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x_解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4nx2x2，令f(x)x0，解得x20.且当0x20时f(x)20时f(x)0，故x20时，f(x)最小答案：205甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值解：(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当800，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)(元)题组3利润最大问题6已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析：选C因为yx281，所以当(9，)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9时函数取最大值7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0，0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0，0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y0；x时，L(x)0，所以当x时，L(x)在8，11上取得极大值，也是最大值，L(万元)故当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是万元能力提升综合练1将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：选B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小2设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D2解析：选C设底面边长为x，高为h，x2hV，h.S表2x23xhx2，S(x)x，令S(x)0可得x，x34V，x.当0x时，S(x)时，S(x)0，当x时，S(x)最小3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32 m，16 m B30 m，15 mC40 m，20 m D36 m，18 m解析：选A设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy512，堆料场的新砌墙的长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300解析：选D由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，由P(x)3000，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设高为h，则底面半径r，0h20，Vr2h(400h2)hhh3.由Vh20得h2，h或h(舍去)，因为当0h0，当h时，V0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：7某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系：P 0.1x23.2 ln x3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(利润盈利亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)由题意得，所获得的利润为y102(xP)P20x3x296ln x90(4x12)(2)由(1)知，y.当4x6时，y0，函数在4，6)上为增函数；当6x12时，y0，函数在(6，12上为减函数，所以当x6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y20636296ln 69096ln 678(万元)故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 678)万元8某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度