高数教案第二章极限与连续.doc

第一章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课半径为R的圆的面积公式？但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html三国时代我国数学家刘徽（约公无225年295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。九章算术中就采用了这个数据。与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。二、新授课1、一个实验说明的事实对于一个半径为R的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为；再作圆内接正十二边形，记其面积为 ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积构成一列有次序的数,其中内接正边形的面积记为 。练习题1。求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积；内接正n边形的面积。答案： 练习题2。求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n边形的而积；答案： 如果内接正n边表的面积为，圆的面积为A，外接正n边形的面积为，则有 在几何直观上,当n越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积（）之差就越小,因此以（）作为圆面积的近似值就越精确.但无论内接正多边形的边数有多大,所计算的（） 始终不是圆的面积.于是设想,如果n无限增大(记为 ，读作 n趋于无穷大)时, （）无限接近某个确定的数。在数学上称这个确定数是上面给出的一列有次序的数(即数列)，（）当 时的极限 。在圆面积问题的讨论中,大家看到,正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果,也可以说,解决圆面积所采用的方法就是极限方法。2、数列与函数的关系按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为，其中第 n项做叫数列的一般项。数列的例子： 它们的一般项依次为数列 可以看作自变量为自然数n的函数 它的定义域是全体正整数。3、数列的几何意义从一维角度考察，数列 可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 然而，从二维角度考察，数列 可以看作XOY面上的点集（n，），在XOY平面上数列 表现为一个散点图。4、数列的散点图在XOY平面上画出如下数列的散点图：（1） ； （2） （3） （4） （5） （6） sin n 输出图形如（图21）至图（26）所示。 （图21 数列） （ 图22 ） 数列 （ 图23 数列） （ 图24 ） 数列 （ 图25） 数列的图形 （图26） 数列由（图21）至图（26）可以看出，随着n的增大，越来越趋向于1；越来越大；越来越趋向于0；与之间变动；越来越趋向于；sin n在与之间变动5、 数列极限的直观定义对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为如果数列没有极限，称数列是发散的，例如，而， ， sin n 是发散的三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21 习题21 1。选择题（1），（2） 第一章 极限与连续 第二节 数列的极限教学目的：掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。教学重点、难点：用定义证明数列的极限教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列是有极限的，它的图象如下：ListPlotTable（n+n，1，50图2-5对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为如果数列没有极限，称数列是发散的。二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列 及常数a，如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数N，当时，不等式 恒成立，则称常数a为数列 的极限，或称数列 收敛于a，记作或，如果这样的常数a不存在，就说数列没有极限，或称数列发散。在直角平面坐标系OXY的Y轴上取以为a为中心，为半径的一个开区间，称它为a的邻域，记为O（a，）： O（a，）=“当时，不等式成立”表示数列中从N+1项起的所有项都落花流水在点a的邻域，即。由于具有任意性，也就是说邻域O（a，）的长度中（如图2-5）上下两条横线的距离可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在由这两条线界定的范围中，不难理解，a必为这个数列的极限值。要注意在述的收剑定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有对确定的，才能找到相应的自然数N。问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它。 给定，由，只要时，有， 给定，只要时，有， 给定，只要时，有， 给定，只要时，有成立例1 证明：证 对于任意给定的，要使 只要，取正整数，则当时，恒成立，故以2为极限，即。 例中证明方法叫做解析法，也称倒推法，这是证明极限问题经常采用的方法。证明过程中，倒推语句“要使”，“只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系。在收敛的数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量，例如，都是无穷小量。要注意，无穷小量是一个变量，而不是一个“非常小的量”（如）。常数列0，0，0，0，是一个特殊的无穷小量。从极限的定义可知，一个数列 收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项列关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。例如数列10，100，1000，10000，的极限仍然是0。根据数列极限的定义来证明某一数列收敛 ，其关键是对任意给定的寻找自然数N。在上面的例题中，是通过解不等式而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，所以在证明中常常对适度地做一此放大处理，这是一种常用的技巧。例2 求证：=证明 首先我们有 显然当 时 于是，对任意给定的，取，当时，成立 上述不等式的放大，是在条件“”前提下才成立，所以在取N时，必须要求与同时成立。2.收敛数列的性质 性质极限的唯一性。数列 不能收敛于两个不同的极限。对于数列 ，如果存在实数M，使数列的所有的项都满足，n=1，2，则称M是数列 的上界，如果存在实数m，使数列 的所有的项都满足，n=1，2，3，则称m是数列 的下界。一个数列 ，若既有上界又有下界，则称之为有界数列，显然数列 有界的一个等价定义是：存在正实数X，使数列的所有项都满足，n= n=1，2，3， 性质收敛数列的有界性。如果数列 收敛，那么数列 一定有界。 性质收敛数列的保号性。 如果数列 收敛于，且（ a0），那么当n充分大时，有0（或0）。 性质4 夹逼准则如果说数列 收敛于a ，数列收敛于a ，且（当n充分大时），则数列收敛于a。例子 求数列的极限。解 首先我们有= =取，则有由是无穷小量，且有，利用极限的夹逼性，得到因此，对数列极限概念应该形成这样一些正确认识：(1) 数列极限是对于无穷数列而言的，但无穷数列不一定都有极限；(2) 如果说一个无穷数列有极限，则这个极限一定是一个常数； (3) 如果说无穷数列 以a为极限，则从数轴上看，对于任意开区间（a，0 ，都能找到某一项，使得在这一项之后的所有项都落在这个开区间内，即这个开区间之外最多只能有有限项。 三、本节小结：数列极限的精确定义四、课外作业：P21 习题2-1（3）下列数列收敛于的有（ ）；A BC D （4）下列数列收敛于的有（ ）；A BC D（5）若数列与数列的极限分别为与，且，则数列的极限为（ ）。A BC D不存在2在平面上画出如下数列的散点图，并指出极限：； 第一章极限与连续第三节 函数的极限教学目的：理解函数的极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算教学重点、难点：极限的四则运算教学形式：多媒体教室讲授与演示教学时间：90分钟教学过程一、引入新课1.数列与函数的关系。2.数列极限的定义和几何判断二、新授课一 函数极限的定义 1当 x 时，函数的级限 （1）当 x +时，函数 的极限 如果当x取正值，并且无限增大时，函数无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数当 x +时的极限，或称当 x +时，函数收敛于a 。记为 = a例如，由图27可以看出 =3输入f ： =（2 2x 1）/（2 1） Plot f x，x，2，300 输出图形，如图27所示。由图28可以看出： sin x 不存在输入 PlotSinx，x，1，100输出图形，如图28所示。 （2）当 x 时，函数的级限如果当x取负值，并且绝对值无限增大时，函数无限地接近于某一确定的常数a。则称常数a是函数当x - 时的极限，或称当x - 时，函数收敛于a。记为 = a例如，由（图29）可以看出 ： = 0输入 Plotx，x，-15，2输出图形，如图29所示。 （图2-9 ） （ 图210）由图210可以看出： = 0输入 PlotSinx/ 2，x，-200，1输出图形，如图210所示。（3）当 时，函数的级限如果当x的绝对值无限增大时，函数无限地接近于某一确定的常数a，则称常数a是函数当时的极限，或称当 时，函数收敛于a 。记为 = a例如，由图211可以看出 ： = 输入 Plot（2 1 / 22 + 5），x，-20，20输出图形，如图211所示。 （ 图211 ） （ 图212）由图212可以看出 ： =0输入 PlotSinx/ 2，x，-100，100输出图形，如图212所示。注意 = a 充分必要条件是 = a 且 = a 。例如，由 = 0 ， = + ，可知 不存在 。2. 当x时，函数的级限（1） 当x时，函数的级限如果说当x从的右侧无限地接近时，函数无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数当x时的右极限，或称函数从的右侧收敛于a 。记为 = a（2）当x 时，函数的极限如果当x从的左侧无限地接近时，函数无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数当x时的左极限，或称函数从的左侧收敛于a 。记为 = a例如， = 由图213可以看出 ： = 2 , = 3 （图2-13） （图2-14）（3） 当x时，函数的级限如果当x无限地接近时，函数无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数当x时的级限，或称当x时，函数收敛于a 。记为 = a例如， = ， 由图214可以看出， = 2 .函数极限的定义表明：(1) = a的充分必要条件是 = a , = a例如， = 由图213可发看出, = 2 , = 3 , ，所以 不存在；（2）函数在点是否有极限，与在点是否有定义是没有关系的，只要函数在点的某一去心邻域内有定义就可以了；（3）x是由两边同时趋向于的，但与具体的运动方式是没有关系的。说明 点的邻域，是指与点的距离小于（0）的点集x x - 。点的去心邻域，是指与点的距离小于（0），且去掉点的点集x x - 。第一章极限与连续第四节 函数的极限教学目的：掌握函数极限的运算法则教学重点、难点：应用法则求函数的极限。教学形式：讲授法和演练法。教学时间：90分钟教学过程一、引入新课函数的极限概念二、新授课二 函数极限的性质性质1 极限的唯一性。函数= 在同一个点不能有两个不同的极限，即若= A ，且= B ，则A = B 。性质2 局部有界性。函数在存在极限的点的附近局部有界，即若= A ，则存在的某一去心邻域，使得函数在这个去心邻域内有界。性质3 保号性（） 已知函数极限的符号，函数的局部保号性；若= A 0 （0），则存在的某一去心邻域，在这个去心邻域内0 （0）；（） 已知函数局部的符号，极限的保号性；若= A，且在的某一去心邻域内有0 （0），则A 0 （ 0）。性质4 夹逼准则如果 = a ， = a ，且在的某一去心邻域内有，则= a 。三 函数极限的基本运算 1. 一些基本的极限（） 基本初等函数的极限根据基本初等函数的图形，可以得到一些基本的极限例如 （a 1） （a 1）（2）初等函数的极限。 命题 如果是初等函数，是的定义域内的点，那么= 。这一命题将在讨论函数的连续性时再作介绍。2. 函数极限的四则运算 (1) 加减法则 ：如果= a ， = b ，那么（）= a b 。(2) 乘法法则 ：如果= a ， = b ，那么= = a b(3) 除法法则如果= a ， = b （b0） ，那么 = = 3. 复合函数的极限运算如果、是初等函数，= a ，在x = a的一个邻域内有定义，那么 = = 例1 计算下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解（1） = + 2 = 1 + 1 2 = 0（2） = = = （3） = = = 0（4）利用第（3）题的类似方法可以得到 = （5） = = = = （6） = = = 三、本节小结：函数极限的概念和运算。四、课外作业：课堂练习：P30习题22 1。（1）（8）2并作图来验证。3依次做。第一章极限与连续第五节 两个重要极限教学目的：会用两个重要极限求极限，了解无穷小与无穷大教学重点、难点：应用两个重要极限求函数的极限。教学形式：课堂讲授。教学时间：90分钟教学过程一、引入新课二、新授课证明（1） = e例2 求极限：解 = = = 例3 求极限：解例4 求极限：解： 因此，极限 的另一种极限形式是 （2）= 1例5求极限 ： 解 例6 求极限 解： 例7 求极限：解 三、本节小结：两个重要极限，无穷小与无穷大之间的关系。四、课外作业：P33习题23 1，2两大题。1第一章极限与连续第六节 函数的连续性教学目的：理解函数连续概念，会判断间断点类型。了解初等函数的连续性。教学重点、难点：函数的连续性与判断间断点。教学形式：课堂讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课函数图形的类型：点，线段，射线、直线和曲线。二、新授课一、在点的连续1在点的连续函数连续与否的概念于对函数图象的直观分析。例如，函数y=的图象是一条抛物线，图象上各点相互“连结”而不出现“问题”，构成了曲线“连续”的外观。而符号函数的图象也直观地告诉我们，它的“连续性”在处遭到破坏，也就是说在这一点出现了“间断”。用分析的观点来看，函数y=在某点处是否具有“连续”特性，就是指当在点附近作微小变化时，是否也在附近作微小变化。借助于己经学过的函数极限的工具，就是看当自变量趋于（）时，因变量y是否趋于（）。设函数在点的某邻域有定义，若 =，则称在点处连续。若在点处不连续，则在点处间断，称为的间断点。根据连续的定义，在点处连续，必须满足：（1）在点处有定义，即有意义；（2）存在，即 = （3）极限值等于函数值，即= 。2、单侧连续 若函数在内有定义，且，则称在点处左连续。 若函数在内有定义，且，则称在点处右连续。 定理。 例2。 解， ， 右连续但不左连续 ， 故函数在点处不连续。 二、间断点的类型按在点处的左、右极限是否存在，可以将间断点分为第一类间断点和第二类间断点。1 第一类间断点：左极限 、右极限都存在。如果说左极限 右极限，则称为跳跃间断点；如果左极限 = 右极限，则称为可去间断点；可去间断点又可以分为两种：第一种，左极限 = 右极限，但是点处没有定义；第二种，左极限 = 右极限函数值。跳跃间断点 如果在点处左，右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点。 例4。 解 ， 可去间断点 如果在点处的极限都存在，但，或在点处无定义则称点为函数的可去间断点。 例5讨论函数。 解， ， ， 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，则可使其变为连续点。 如例5中， 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。 特点 ：。 2 第二类间断点：如果在点处的左、右极限至少有一个不存在，则称点为函数的第二类间断点。每二类间断点又可以分：无穷间断点、振荡间断点等到等到。例6。 解， 。例7 。 解， 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点。 1.狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 仅在x=0处连续， 其余各点处处间断。 2. 在定义域R内每一点处都间断，但其绝对值处处连续。 判断下列间断点类型： 例8。 解， ， ， ， 。例如 X = 0 是 = ；可去间断点只要在X = 0处重新定义函数值，使得函数值 = 左极限 = 右极限 = 2 ，则就是一个连续函数。例如： X = 1 是 = 的无穷点，如图215所示。X = 0是 = 的振荡间断点，如图216所示。 图2-15 图2-16三、本节小结：1三、小结 1、函数在一点连续必须满足的三个条件； 2、区间上的连续函数； 3、间断点的分类与判别； (见下图) 四、课外作业：思考题 若在连续，则、在是否连续？又若、在、连续，在是否连续？ 思考题解答 在连续， 且 故、在都连续。 但反之不成立。 例在不连续，但 、在连续。第一章极限与连续第七节 函数的连续性教学目的：函数连续性，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质教学重点、难点：连续函数的性质应用教学形式：课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课1判断函数连续性的方法：（） 寻找使函数没有定义的点 ，如果有没有定义的点 ，则一定为间断点；（） 寻找使不存在的点 ，分段函数间断点通常发生于分段点处；（） 寻找使用 的点 。 例1 判断函数 在处的连续性。解 因为左极限、右极限不相等，所以在点处间断。2在区间上连续的几何意义如果在某区间上连续，则在该区间上函数的曲线是一条不间断连续曲线。二、新授课三、 在区间上的连续性1、区间上的连续函数如果函数在某区间上的每一点都连续，则称为该区间上的连续函数，该区间称为函数的连续区间。定理一 初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即初等函数是其定义区间上的连续函数。这个定理是求初等到函数极限 的重要依据，我们在前面计算极限时已经用到了这个定理。即：若函数在点处连续，则在点处也连续。 例如， 定理二严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。 例如，故在上也是单调增加且连续。 同理在上单调减少且连续；在上单调且连续。 反三角函数在其定义域内皆连续。 定理三若，函数在点连续，则有。 证 恒有成立。 将上两步合起来： 成立。 意义 1.极限符号可以与函数符号互换； 2.变量化换的理论依据。 例1求 解 例2求 解 同理可得 定理四设函数在点连续，且，而函数在点连续，则复合函数在点也连续。 注意定理4是定理3的特殊情况。 例如， 定理5基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 定义区间是指包含在定义域内的区间。 注意1.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义