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数学运算第一章 基本知识储备常用余数性质：1. 加法封闭性：和的余数就是余数的和的余数2. 减法封闭性：差的余数就是余数的差的余数3. 乘法封闭性：积的余数就是余数的积得余数4. 幂次封闭性：幂的余数就是余数的幂的余数第二章 基本解题思路直接代入法“直接代入”的时候，如果问的是“最少、/最小。”，那么应该从最小的数开始代入，如果问的是“最大/最多。”那么应该从最大的数开始代入。同样，如果问的是“第一次/下一次。”应从最早的时刻开始代入，这样可减少一些运算量。一、 数字特性法1、 大小特性2、 奇偶特性3、 尾数特性4、 倍数特性5、 因子特性6、 余数特性7、 幂次特性二、 特值分析法思想：很多题目的结论，与一些量的具体取值无关，此时可以将其取为某个特殊值，以便于计算三、 极端分析思想分析：题目若出现了“至多”、“至少”、“最多”、最少、最大、最小、最快、最慢、最高、最低等字样，通常可以可虑极端分析法，其基本思想是构造“极端”的情形。四、 构造思想构造思想：解题时直接构造出满足条件的情况，从而得到答案的思想五、 枚举归纳思想有些和N有关的数学问题，需要先计算当N较小的时比较容易计算的情况，再总结归纳出一些规律，从而得到较大的数的规律。六、 逆向分析思想 有些数学问题，从正面不容易入手，这时可以从他的反面进行思考。即首先算出不满足题目要求的情形，从而计算出满足题目要求的情形。第三章 计算问题模块一、 尾数法基本原理：1、 加法封闭法：和的尾数就是尾数的和的尾数2、 减法封闭法：差的尾数就是尾数的差的尾数3、 乘法封闭法：积的尾数就是尾数的积的尾数基本解题技巧：1. 各选项间的尾数不同，可考虑用尾数法2. 使用多位尾数法时需注意以下两点：(1).过程和结果当中的数字如果只有一位，则需要补零，以补足两位(2).过程和结果当中的数字如果是负数，可以反复加100补成0到100之间的数二、弃9法计算时，将计算过程中数字除以9，留其余数进行计算的方法。注意：弃9法的前提条件是选项除以9余数必须不相同三、凑整法 四、估算法五、乘法分配律正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c六、整体消去法在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法七、 分组计算法八、 裂项相加法在分数运算当中运用九、 比较大小法十、 乘方尾数法1. 底数留个位2. 指数末两位除以4留余数（余数为0则看做4）注：尾数为0，1，5，6的数，乘方尾数是不变的第四章 行程问题模块第一节 初等行程问题基本知识点：1. 基本公式：距离=速度 * 时间2. 相遇追及问题中：相遇距离=（大速度+小速度）*相遇时间追及距离=（大速度-小速度）*追及时间3环形运动问题中：环形周长=（大速度+小速度）*相向运动中的两人两次相遇的时间间隔环形周长=（大速度-小速度）*同向运动中的两人两次相遇的时间间隔4流水行船问题中：顺流路程=顺流速度*顺流时间=（船速+水速）*顺流时间逆流路程=逆流速度*逆流时间=（船速-水速）*逆流时间5. 电梯运动问题中：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）*沿电梯运动方向运动所需时间能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）*逆电梯运动方向运动所需时间5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺） 能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间 （逆）第二节 比例型行程问题基本知识点：1. 行程问题基本比例：S甲/S乙=（V甲/V乙）/（T甲/T乙）2. 运动时间相等，运动距离与运动速度成正比3. 运动速度相等，运动距离与运动时间成正比4. 运动距离相等，运动速度与运动时间成反比第三节 典型行程模型基本知识点：1.两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2两岸型S=3S1-S2例 题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？A. 1120 米B. 1280 米C. 1520 米D. 1760 米典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺）例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，AB，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？A、3天 B、21天 C、24天 D、木筏无法自己漂到B城解：公式代入直接求得243.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ）车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A. 3 B.4C. 5 D.6解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 选B4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2)例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（）A.24B.24.5 C.25D.25.5解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A第五章 比例问题模块第一节 设“1”思想1. 当题目中没有涉及具体量的大小，并且具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们使用设“1”法与设“1”思想2. 一般我们在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题等问题中使用设“1”法3. 我们在使用设“1”思想的时候，不一定把某个特定的量只是设为“1”，还可以设为某个特定的字母，或者其他方便计算的数值，都不会影响最终结果。例：什锦糖问题公式：均价A=n /（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A4.8 元 B5 元 C5.3 元 D5.5 元第二节 十字交叉法例1. 重量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r例2. 数量分别为A与B的人口，分别增长a与b，总体增长率为r例3. A个男生平均分为a，B个女生平均分为b，总体平均分为r类似上面三个例题的问题都可以列出下列公式：Aa+Bb=（A+B）r 推出 A/B = (r-b)/(a-r)十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：析：男生平均分X，女生1.2X1.2X 75-X1 75=X 1.2X-75 1.8得X=70 女生为84第三节 工程相关问题设总量为“1”是工程问题最关键的要点第四节 浓度相关问题基础知识：溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质/溶液 溶质=溶液*浓度 溶液=溶质/浓度多次混合问题公式书P148第五节 单位换算问题基本知识点：掌握公制换算问题第六章 计数问题模块 重点加强第一节 容斥问题（集合问题）文氏图示意法书P151第二节 排列问题 薄弱点书P157基本解题思路：1. 分清两组基本概念 加法原理：分类用加法 排列：与顺序有关 乘法原理：分布用乘法 组合：与顺序无关2熟练掌握排列公式及组合数公式，背诵常用数字3. 熟练掌握各种排列、组合典型技巧（捆绑法（相邻问题），插空法（不邻问题），插板法）4熟悉掌握各种排列、组合特色模型（如错位排列问题、传球问题）错位排列问题：书P161N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第 二接近的整数为末次传给自己的次数例题： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种公式解题： (4-1)的5次方 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数5.计顺逆时针顺序的环状排列公式与不计顺逆时针顺序的环状排列公式书P162 (仍不理解)6.循环赛问题比赛场次问题： 淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1淘汰赛需决前四名场次=N单循环赛场次为组合N人中取2双循环赛场次为排列N人中排2比赛赛制比赛场次循环赛单循环赛参赛选手数（参赛选手数1 ）/2 双循环赛参赛选手数（参赛选手数1 ）淘汰赛只决出冠（亚）军参赛选手数1要求决出前三（四）名参赛选手数1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（ ）A. 95 B. 97 C. 98 D. 99【解析】答案为C。在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100298（场）。2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 14【解析】答案为B。根据公式，采用单循环赛的比赛场次参赛选手数（参赛选手数1 ）/2，因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？（ ） A. 48 B. 63 C. 64 D. 65【解析】答 案为B。根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4（41）26（场），8组 共48场；第二阶段中，有2816人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数1，即15场。最后，总的比赛场次是 481563（场）。4. 某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？（ ）A. 23 B. 24 C. 41 D. 42【解析】答 案为A。根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6（61）215（场），2组共30 场；第二阶段中，有236人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30636（场）。又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36615（天），所以全部比赛完成共需18523（天）。第三节 概率问题1. 单独概率=满足条件的情况数/总的情况数2. 总体概率=满足条件的各种情况概率之和3. 分布概率=满足条件的每个步骤概率之积第四节 抽屉原理基本知识点：“最不利”原则：构造最不利的可能性，来辅助解题的方法。“逆转”原则：1. 至多 转换成 至少； 至少 转换成 至多：2. 才能 转换成 仍能； 仍能 转换成 才能3. 保证 转换成 满足； 满足 转换成 保证4. 有 转换成 无 ； 无 转换成 有5. 至多N 转换成 至少N+1； 至少M 转换成 至多M-1基本解题步骤：1. 问：理清题目问题2. 译：将问题译成较清晰地形式（可省略）3. 想：利用“逆转”原则，将问题“逆转”4. 算：构造极端情形，得到“逆转”答案5. 转：将“逆转”后问题的“答案”，再次“逆转”第五节 植树相关问1. 线型棵数=总长/间隔+12. 环型棵数=总长/间隔3. 楼间棵数=总长/间隔-1例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M树与树之间距离为6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？ A 93B 95C 96D 99题解：总长=234+186+156=576/6(间隔)=96 选C4. 一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段第六节 方阵问题基本公式：1. N排N列的实心方阵人数为N的平方2. M排N列的实心方阵人数为M*N3. N排N列的方阵，最为层有4N-4人4. M排N列的长方阵，最为层有2M+2N-4人5. 在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8热门6. 空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人7. 方阵中：方阵人数=（最外层人数/4+1）的平方方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有4N-4人例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？析：最外层每边的人数是96/4+125，则共有学生25*25=625第七节 过河问题过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次例题 (广东05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（ ）A.7B. 8 C.9 D.10解：（37-1）/（5-1）=9第七章 几何问题模块第一节 几何公式法基本知识点：公式在书P178第二节 割补平移法 用于不规则图形第三节 几何特性法一、 一个几何图形其尺度变为原来的m倍，则：对应角度不发生变化，对应长度变为原来的m倍，对应面积变为原来的m倍，对应体积变为原来的m倍。二、 几何最值理论1. 平面图形中，若周长一定，越接近圆，面积越大2. 平面图形中，若面积一定，越接近圆，周长越小3. 立体图形中，若表面积一定，越接近球，体积越大4. 立体图形中，若体积一定，越接近球，表面积越小第八章 初等数学模块第一节 余数相关问题余同问题：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期第二节 星期日期问题一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算注释：一年就是1，润日再加1：如果月份，日期不变，在原来的基础上加上（或减去）一年，则在原来的星期数基础上增加（或减去）“1”，如果中间有闰日，还要再加上“1”一月就是2，多少再补算：如果年份，日期不变，在原来的基础上加上（或减去）一月（以30天计），则在原来的星期数上增加（或减去）“2”，再根据大小月调整星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日例：2002年 9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？4+15，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到）第三节 等差数列问题基本知识点：求和公式：和