九年级数学下第二章二次函数

九年级数学(下)第二章 二次函数,9. 回顾与思考(1)二次函数小结,回顾与思考,1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图开进行描述.2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.3.小结一下作二次函数图象的方法.4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系.6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.,驶向胜利的彼岸,例.求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点式,一般地,对于二次函数y=ax+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.,驶向胜利的彼岸,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,老师提示:这个结果通常称为求顶点坐标公式.,怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?,函数y=ax+bx+c的图象,我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.,驶向胜利的彼岸,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,直接画函数y=ax+bx+c的图象,4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象,2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.,3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.,a=30,开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).,驶向胜利的彼岸,顶点坐标公式,因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0,开口向上;a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.;a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,向左平移;当 0时向上平移;当 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,1.理解问题;,“二次函数应用” 的思路,解决“最值问题”如：“最大利润”和“最大面积” 此类问题的基本思路:,驶向胜利的彼岸,2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,建立好平面直角坐标系;,3.把现实中的数转化为坐标.用数学的方式表示出它们之间的关系;,4.用函数求解;,5.检验结果的合理性,拓展,注重逆向思维,提高能力等.,二次函数复习,一般地，如果_，那么y叫做x的二次函数；它的图象是；当时，开口向上；它的对轴是；顶点坐标为；与y轴的交点坐标为.,y=ax2+bx+c(a0),抛物线,a0,(0，c),6、当a0时，图象有最点，函数有最值， ，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大；,低,小,7、当a0时，图象有最点，函数有最值，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小.,高,大,8、a决定了抛物线的和；对称轴由决定；c决定了图象与_轴的交点位置；,开口方向,形状,a和b,y,已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线上填写 “”或“=”. a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0,=,=,9、若抛物线与x轴没有交点，则；若抛物线与x轴有一个交点，则；若抛物线与x轴有两个交点，则，若两交点坐标分别为（ x1,0）、 （x2,0）则x1 +x2， x1 x2，两交点的距离为x1 -x2 ,0,0,0,向上 x=h （h，k),向下,练习1、填表,练习（四） 填空,x=-2,(-2，-1),0,2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),求抛物线解析式的三种方法,1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、 (-1,-1) 、 (2,-2)，设抛物线解析式为_, 根据题意得：,y=ax2+bx+c(a0),2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，设抛物线解析式为_, 若图象还过点(1,4) ，可得_.,y=a(x+2)2+3(a0),4=a(1+2)2+3,练习根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。,例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x,练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。（1）求抛物线解析式.,解：二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为1又图象的最高点在直线y=2x+4上当x=1时，y=6顶点坐标为（ 1 ， 6）,（2）求抛物线与直线的交点坐标.,例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，ACB=90，求抛物线解析式。,解： 点A在正半轴，点B在负半轴OA=4，点A（4，0）OB=1， 点B（-1，0）又 ACB=90 OC2=OAOB=4OC=2，点C（0，-2）,练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;,(2)、当x为何值时，y0; (2)b0中，正确的个数是（ ）1个 (B)2个 (C)3 个 (D)4个,B,（9）一元二次方程a x2+bx+c=0的根为x1= -1，x2=3，且a 0，则对于函数y= a x2+bx+c，当y 0时，x的取值范围是。,x-1或x 3,（10）抛物线经过P（2，5），Q（4，5）两点，且有最大值，则当x时，y随着x的增大而增大。,3,（11）当m_时，抛物线yx22xm位于x轴的上方。,1,（13）抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，若点A的坐标为（ 1 ，0 ），且线段AB的长为2，则 抛物线的函数解析式为(用两根式表示）_,y=(x - 1)(x - 3)或y=(x - 1)(x + 1),(12)抛物线y（x+3)2k与y轴交于点（0，2），则k_,11,（14）如果抛物线yx22（m1）xm1与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA=a，OB=b，(1)求m的取值范围；(2)若a:b3，求m的值。,(15) 如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。,（1）求抛物线的解析式；,解：令y=0，则 x+3=0，x=3，,B（3，0），,令x=0， 则y=3，,C（0，3），, y= -x2+2x+3,（3，0）,（0，3）,(15)如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。,（1）求抛物线的解析式；,（2）若抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；,（1，4）,（1，0）,（-1，0）,解：S四边形ABDC=SAOC+S梯形OEDC+S EBD,=9,= AO OC + （OC+ED） OE+ EB ED,如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y= -x2+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。,（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在点P，使SPAC= S PAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。答案一样吗？,（3）若点P在线段 BC上且SPAC= S PAB，求P的坐标；,P,（3，0）,（0，3）,x,y,o,A,B,C,Q,如图，ABC中，AB=6cm,BC=8cm,B=90.又设两边AB、AC的中点分别为M、N，动点P从B出发，以每秒1cm的速度按照图示箭头的方向，通过C、N到M。设P点从B开始运动的路程为x cm， ABP的面积为y cm2。 （1）P点从B点处出发到M处为止，写出y 和x的函数关系式（x为自变量）；（2）P从B出发几秒后，y= S ABC？,2. (P73A组第3,4,5,7题,P75B组第2,3,5题)确定函数的解析式,作函数图象,求指定的对应值.3. (P74A组第4,5,6,7题,P75B组第4,5,6题,P77C组第1,2,3,4,5,6题)二次函数的应用求最大值或最小值.4.(P73A组第2题,P75B组第1题)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系.,二次函数的图象和性质,1.(P73A组第1题)确定下列二次函数的开口方向,对称轴和顶点.,驶向胜利的彼岸,解:如图,设矩形的一边AB=xm,那么另一边BC=(15-x)cm,面积为Scm2,则,二次函数的应用A组: 6题,6.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?,驶向胜利的彼岸,解法1:(用公式)根据题意,y=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15m.,二次函数的应用B组: 6题,6.竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).,驶向胜利的彼岸,解法1:(用顶点式)根据题意,y=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15m.,解:建立如图所示的坐标系,二次函数的应用C组: 2题,2.一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).,驶向胜利的彼岸,A(2,-2),B(X,-3),二次函数的应用C组: 3题,3.(1)如图,第n个图形中有多少个小正方形?你是如何计算的?(2)求1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,，1+3+5+7+9+(2n-1).,驶向胜利的彼岸,二次函数的应用C组: 3题,3.(1)如图,第n个图形中有多