直线的倾斜角与斜率

高二数学几何2007年9月 直线的斜率和倾斜角 X Y O 初中研究一次函数时 在平面直角坐标系中 画出的是一条直线 例如函数y 2x 1的图象是直线l L 这时 满足函数式y 2x 1的每一对x和y的值都是直线l上的点的坐标 而直线l上的每一点的坐标都满足函数式 例如直线上点P的坐标是 1 3 数对 1 3 就满足函数式 P 知识回顾 kx b 一般地 一次函数 的图象是一条直线 它是以满足 的每一对 的值为坐标的点构成的 就是说 这个方程的解和直线上的点存在一一对应的关系 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点 反过来 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 这时 这个方程就叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 p1 p2 P p1 p2 P y x y x p1 p2 P y x p1 p2 P y P x2 x1 y2 y1 P x1 x2 y1 y2 如上面四个图所示 在直角坐标系中对于一条与x轴相交的直线 如果把x轴饶着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a 则a就叫做直线的倾斜角 当直线和x轴平行或重合时我们规定直线的倾斜角为0度 因此倾斜角的取值范围是 倾斜角不是 度的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 来表示 即 注意 倾斜角是90度的直线是否有斜率 倾斜角不是90度的直线都有斜率 如何求 我们知道 当角度 可求时 我们由k tan 可求出该直线的斜率k 例如 倾斜角是30度的直线的斜率是tan30 即等于1 2 倾斜角是45度的直线的斜率是tan45 即是1 由正弦余弦的诱导公式得出 tan 180 tan 特别的 tan0 0tan180 0 问题 答 tan30 tan45 1 tan60 tan120 tan150 tan135 1 一些特殊倾斜角的斜率 书山有路勤为径 学海无边苦作舟 怎样用两点坐标来表示直线的斜率 在坐标平面内 如果已知两点A B 那么直线AB的斜率是确定的 当直线AB的倾斜角不是90度时 直线的斜率也是确定的 设直线AB的倾斜角是 斜率是k 向量AB的方向是向上的 如图 X Y B A O P X Y O A B P 向量AB的的坐标是 过原点作向量OP AB 则点P的坐标是 而且直线OP的倾斜角也是 根据正切函数的定义 tan 同样 当向量AB的的方向是向上时 如图 X Y O B A P O X Y P B A tan 综上所述 我们得到经过两点A 和 的直线的 倾斜公式 K 例1 如图 直线的倾斜角 30 直线 求和的斜率 解 直线的倾率 tan tan30 倾斜角是 90 30 120 的斜率 tan120 tan 180 60 tan60 例2 求经过A 2 0 B 5 3 两点的直线的斜率和倾斜角 解 K 3 0 5 2 1 即tan 1 0 180 135 因此 这条直线的斜率是 1 倾斜角是135 练习巩固 一 已知直线的倾斜率 求直线的斜率 1 0 2 60 3 90 4 30 二 已知直线的倾斜角的范围 利用正切函数的性质 讨论直线斜率及其绝对值的变化情况 1 0 90 2 90 180 三 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角 C 10 8 D 4 4 P 0 0 Q 1 3 M 3 2 N 2 4 四 已知三点A B C 且直线AB AC的斜率相同 求证这三点在同一条直线上 提示 用向量知识证 五 已知直线斜率的绝对值是1 求直线的倾斜角 六 四边形ABCD的四个顶点是A 2 3 B 1 1 C 1 2 D 2 2 求四边形所在直线的斜率和倾斜角 课外思考题 1