凸优化理论与应用-凸函数.ppt

信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 1 凸优化理论与应用 第二章凸函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 2 凸函数的定义 1 定义域为凸集 2 有 凸函数的定义 函数 满足 凸函数的扩展定义 若为凸函数 则可定义其扩展函数为 凸函数的扩展函数也是凸函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 3 凸函数的一阶微分条件 若函数的定义域为开集 且函数一阶可微 则函数为凸函数当且仅当为凸集 且对 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 4 凸函数的二阶微分条件 若函数的定义域为开集 且函数二阶可微 则函数为凸函数当且仅当为凸集 且对 其Hessian矩阵 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 5 凸函数的例 幂函数 负对数函数 负熵函数 范数函数 指数函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 6 凸函数的例 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 7 下水平集 sublevelset 定理 凸函数的任一下水平集均为凸集 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 8 函数上半图 epigraph 定理 函数为凸函数当且仅当的上半图为凸集 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 9 Jensen不等式 为凸函数 则有 Jensen不等式的另外形式 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 10 保持函数凸性的算子 凸函数的逐点最大值 凸函数与仿射变换的复合 凸函数的非负加权和 对固定 为凸函数 逐点最大值函数变换的例 向量中个最大分量之和 对称矩阵的最大特征值 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 11 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 12 保持函数凸性的算子 复合运算 凸函数的透视算子 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 13 共轭函数 conjugatefunction 定义 设函数 其共轭函数 定义为 共轭函数的例 共轭函数具有凸性 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 14 共轭函数的性质 Fenchel sinequality 性质 若为凸函数 且的上半图是闭集 则有 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 15 准凸函数 quasiconvexfunction 准凸函数的例 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 16 准凸函数的判定定理 定理 函数为准凸函数 当且仅当为凸集 且对 有 准凸函数的判定定理 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 17 定理 若函数一阶可微 则为准凸函数 当且仅当为凸集 且对 有 准凸函数的判定定理 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 18 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 19 最小值函数 非负权值函数的最大值函数 保持准凸性的算子 复合函数 是关于和的准凸函数 且为凸集 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 20 准凸函数的凸函数族表示 若为准凸函数 根据的任意下水平集 我们可以构造一个凸函数族 使得 性质 若为准凸函数的凸函数族表示 对每一个 若 则有 例 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 21 对数凸函数 对数凸函数的例 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 22 对数凸函数和凹函数的性质 性质 对数凸性与凹性对函数乘积和正数数乘运算均保持封闭 定理 函数二阶可微 则为对数凸函数当且仅当 性质 对数凸性对函数加运算保持封闭 但对数凹性对函数加运算不封闭 推论 函数对每一个在上对数凸 则函数也是对数凸函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 23 对数凸函数和凹函数的性质 定理 函数为对数凹函数 则函数是对数凹函数 信息与通信工程学院庄伯金bjzhuang 24 广义不等式下的凸性 广义单调性的定义 设为真锥 函数称为单调增 若函数满足 定理 对偶等价