高中数学第二章2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义知识巧解学案.docx

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义疱工巧解牛知识巧学一、平面向量的数量积与投影1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos.根据定义，若a=0，则0b=0.所以规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0b=0.误区警示 两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点：两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.两个向量的数量积称为内积，应写成ab，不能写成ab(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或ab)是不同的.在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a0时，由ab=0不能推出b一定是零向量.因为其中cos有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0.已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即ab=bca=c.对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(ab)c=a(bc)未必成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)c=a(bc)不一定成立.2.向量a在b方向(或b在a方向)上的投影图2-4-2 如图2-4-2，已知=a，=b，过B作BB1垂直于直线，垂足为B1，则OB1=|b|cos. |b|cos叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cos叫做a在b方向上的投影.ab的几何意义是：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos的乘积.二、两个向量的数量积的性质设a、b都是非零向量，1.abab=0.证明：若ab，则a与b的夹角=90，所以ab=|a|b|cos90=0；反过来，ab=|a|b|cos=0，因|a|0，|b|0，所以cos=0，所以=90，则ab.学法一得 数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.2.当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别地，aa=a2=|a|2，或|a|=.学法一得 该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行.3.|ab|a|b|.由数量积的定义ab=|a|b|cos可知|ab|=|a|b|cos|.0180，|cos|1.|ab|=|a|b|cos|a|b|.学法一得 由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题.三、平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数.1.ab=ba.证明：设a与b的夹角为，则ab=|a|b|cos，ba=|b|a|cos，ab=ba.2.(a)b=(ab)=a(b).证明：若0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos=|a|b|cos=|a|b|cos，(a)b=(ab)=a(b).若0，(a)b=|a|b|cos(-)=-|a|b|(-cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos(-)=-|a|b|(-cos)=|a|b|cos.(a)b=(ab)=a(b).3.(a+b)c=ac+bc.学法一得 要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律.把未知的问题转化为已知的问题来解决，体现了化归思想的运用.典题热题知识点一 平面向量数量积的定义例1 判断下列各题正确与否：若a=0，则对任一向量b，有ab=0;若a0，则对任一非零向量b，有ab0;若a0，ab=0，则b=0;若ab=0，则a、b至少有一个为零向量;若a0，ab=ac，则b=c;若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立.答案：；.例2 已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e方向上的投影是_;e在a方向上的投影是_.思路分析：a在e方向上的投影是|a|cos=4()=-2;e在a方向上的投影是|e|cos= 1()=.答案：-2 知识点二 两个向量的数量积的性质例3 已知|a|=|b|=5，a与b的夹角为，求|a+b|，|a-b|的值.解：|a+b|2=a2+2ab+b2=25+25+2|a|b|cos=75，|a+b|=.同理|a-b|2=a2-2ab+b2=25+25-2|a|b|cos=25.|a-b|=5.方法归纳 由数量积定义式ab=|a|b|cos得cos=，它是一种等价形式，侧重于两向量的夹角问题.求向量的夹角或平面几何图形中求角的问题可考虑用这个性质来解.例4 已知a、b，ab=40，|a|=10，|b|=8.求a与b的夹角.解：ab=|a|b|cos，为a、b的夹角，而ab=40，|a|=10，|b|=8，cos=.=60，即a、b夹角为60.例5 已知|a|=2，|b|=，a与b的夹角为45，b-a与a垂直，则=_.思路分析：b-a与a垂直，(b-a)a=0，即ab-a2=0.cos45-4=0.得=2.答案：2例6 证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路分析：前提是平行四边形对角线互相垂直，结论是要证其为菱形，即需证邻边相等.如何把对角线的关系转化为边的关系呢？可结合向量的加减法.解：设在平行四边形OACB中，对角线OC和AB互相垂直，即.图2-4-3=0.又=+，=-，于是，(+)(-OA)=0，即-=0.|OB|=|.平行四边形OACB是菱形.知识点三 运用数量积的运算律来解题例7 若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( )A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+mb D.(ab)c=a(bc)思路分析：对于实数a、b、c，它们之间的运算满足(ab)c=a(bc)，但对于向量没有这样的运算律.答案：D知识点四 公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)(a-b)=a2-b2例8 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，则|a+3b|等于( )A. B. C. D.4思路分析：|a+3b|2=|a|2+6ab+9|b|2=|a|2+6|a|b|cos60+9|b|2=13,|a+3b|=.答案：C例9 已知|a|=13，|b|=19，且|a+b|=24，求|a-b|的值.思路分析：解题时要将数量积作为联系已知条件和未知值之间的一座桥梁，利用模与数量积的性质求解.解：(a+b)2=|a+b|2a2+2ab+b2=|a+b|2,即169+2ab+361=576，2ab=46,故|a-b|2=a2-2ab+b2=169-46+361=484,所以|a-b|=22.例10 已知a与b的夹角为30，且|a|=，|b|=1，求向量p=a+b，q=a-b的夹角的余弦值.思路分析：由两向量的数量积和模求夹角的余弦.解：|p|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=3+cos30+1=7，|p|=；同理可求得|q|=1.cos=.知识点五 向量数量积与垂直例11 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60，c=3a+5b，d=ma-3b.(1)当m为何值时，c与d垂直?(2)当m为何值时，c与d共线?思路分析：利用向量垂直、共线的充要条件构造关于m的方程求解.解：(1)由向量c与d垂直cd=0，而cd=(3a+5b)(ma-3b)=3ma2+(5m-9)ab-15b2=27m+3(5m-9)-60，42m-87=0.m=，即m=时，c与d垂直.(2)由c与d共线存在实数，使得c=d.3a+5b=(ma-3b)，即3a+5b=ma-3b.又a与b不共线，解得=即当m=-时，c与d共线.问题探究材料信息探究问题 关于平面向量的数量积的运算，我们学习了三个运算律：ab=ba(交换律)；(a)b=(ab)=a(b)(数乘结合律)；(a+b)c=ac+bc(分配律).它为我们实施向量的有关运算提供了理论上的保证.对于这一点我们该如何理解？探究过程:它一方面提示了平面向量的数量积的运算规律，另一方面又融入了平面向量的加法、实数与向量的积的相关内容.因而，平面向量的运算，由原有的加减法、实数与向量积的基础上，又注入了新的生机和活力.随着平面向量内容的不断丰富，我们对平面向量的了解也就越来越多，从而，用平面向量理论解决问题的观念思想