横梁弯曲强度计算计算ppt课件.ppt

设计技术 主讲 王龙黑龙江科技大学03机械设计学院机械设计 1 直梁的弯曲技术 4 1平面弯曲概念梁的类型 1 梁弯曲分析设计常见弯曲变化变形构件 如房屋支承梁 工厂中起重机横梁及化工中的卧式容器等等 结构简图如右侧图 2 卧式化工容器 弯曲梁受力特点 在通过梁某一纵向平面内 受到垂直于轴线的外力或力偶作用 受力如图示意 3 4 变形特点 任两个截面绕垂直于梁轴线轴相对转动 梁轴线由直线变曲线 平面弯曲 所有外力或力偶作用在纵向对称面内 梁轴线在对称面内弯曲成平面曲线 纵向对称面 在纵向可将梁分成对称两半 5 6 2 梁简化对实际梁受力分析和强度计算 对梁进行简化 以轴线表示梁 梁简化成三种力学模型 1 简支梁如图 一端固定简支 另一端可动铰支 2 外伸梁如图 梁一端或两端伸出支座外 3 悬臂梁如图 梁一端固定约束 另一端自由 7 各支座处力与位移边界条件 固定铰支支座处梁左 右 上 下均不可移动 但可绕约束点转动 解除约束受力图 力的边界条件 位移边界条件 m 0Rx 0Ry 0 x 0y 0 8 可动铰支支座点左 右可移动 上 下不可动 解除约束受力图 力的边界条件 位移边界条件 Ry 0Rx 0m 0 x 0y 0 固定端约束限制固定端既不能转动 也不可移动 解除约束受力图 9 力的边界条件 位移边界条件 Rx 0Ry 0m 0 x 0y 0 各支座反力可根据平衡条件求出 如果未知力数与所列出的独立方程数相同 则可求出未知力 称为静定问题 属于静定梁 反之为静不定 称为不静定梁或超静定问题 10 集中力 作用力作用在很小面积上 可近似一点 如图 集中力偶 力偶两力分布在很短一段梁上 可简化为作用在梁的某一截面上 如图 分布载荷 载荷分布在较长范围内 以单位长度受力q表示 q单位N m如图 作用于梁上载荷有三种形式 11 12 4 2梁弯曲时的内力 一 内力计算内力计算方法如下 第一步 解除支座约束 计算约束反力 第二步 用截面法将梁分成两部分 第三步 由平衡条件计算截面处内力 13 如图 简支梁 试计算m n截面内力 解 1 解除约束 求约束反力 列平衡方程 RxA 0RyA RyB PRyB a b Pa 0 14 2 用截面法求内力 截面处存在的内力 阻止RyA作用下绕O转动 截面必存在附加内力矩M 阻止转动 平衡RyA力 截面上必有向下力Q 附加内力矩M 称为截面弯矩 截面内力Q 称为剪力 与外力平行 有使梁沿m n截面剪断趋势 分离体处于平衡 由平衡条件得 y 0RAy Q 0 M 0M RAy x 0 15 结论 受弯曲梁任一截面内力有弯矩与剪力 剪力等于截面之左 或右 所有外力代数和 弯矩等于截面之左 或右 所有外力 力偶 对截面形心之矩代数和 剪力与弯矩对梁强度影响 由经典力学分析弯矩对梁强度影响远大于剪力对梁强度 工程计算一般只考虑弯矩 忽略剪力 16 二 弯矩符号规定规定如下 所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲变形 该截面弯矩为正 反之为负 m n截面附近弯曲形状 如图 弯矩M为正 反之发生如下图弯曲形状 弯矩为负 17 由此得 左顺右逆 弯矩为正规定 截面左侧 所有对截面形心之矩为顺时针的外力及顺时针的力偶 它们在截面处产生弯矩为正 反之为负 截面右侧 所有对截面形心之矩为逆时针的外力及逆时针的力偶 它们在截面处产生弯矩为正 反之为负 18 4 3弯矩图 由截面法计算出横截面弯矩随轴线x变化规律M M x 称为梁弯矩方程将弯矩大小与正负表示在图上 弯矩图画弯矩图的基本方法 1 对双支点梁解除约束 求支座反力 悬臂梁不必求支座反力 从悬臂端开始计算 2 在有集中力或集中力偶处分段 求出每一段弯矩方程 3 选适当比例 以横截面位置x为横坐标 弯矩M为纵坐标作弯矩图 19 例一 如图 受集中载荷简支梁 试画出弯矩图 解 解除约束 求约束反力 RAy 3a P 2a m 0RAy RBy P 0 20 分段求各段弯矩 AC段 在AC段任取一截面 0 x a DC段 在DC段任取一截面 a x 2a 21 BD段 在BD段任取一截面 0 x a 画弯矩图 22 例二 有一悬臂梁长l 其上分布载荷q和集中力偶矩m 试画出弯矩图 解 悬臂梁可不必求约束反力分析直接分段AB与BC段 AB段在AB之间任取一截面弯矩 B截面右侧 MB右 0 x 23 BC段在BC之间任取一截面 B截面左侧 MB左 C点x l MC 0 24 例三 有一梁受力如图 试画出弯矩图 解 1 解除约束 求约束反力 RBx 0RBy RAy qa qa 0 RAy 1 75qaRBy 0 25qa 25 2 分段求各段弯矩 分DA AC CB三段 0 x a DA段 在之间任取一截面 AC段 在之间任取一截面 a x 2a 26 BC段 在之间任取一截面 3 画弯矩图 0 x a 27 4 4纯弯曲时梁横截面上的正应力 纯弯曲 忽略掉剪应力 梁变为只有弯矩而无剪力梁 此时弯曲为纯弯曲 纯弯曲梁 梁横截面上只有弯矩而无剪力 两端受到一对外力偶作用 典型纯弯曲梁梁上既有弯矩又有剪力作用时的弯曲称为剪切弯曲 28 分析纯弯曲梁横截面正应力方法分四步 一 实验观察与假设推论如图一矩形截面梁 在侧面分别画上与梁轴线相垂直的线1 1 2 2 及与梁轴线平行线ab cd1 1 2 2代表横向截面ab cd代表纵向截面 29 两端施加外力偶 使梁产生纯弯曲变形如图 观察现象如下 1 变形后 1 1 2 2仍为直线 但转一定角度 仍与梁轴相垂直 2 纵向线ab cd及轴线由直线变为圆弧 ab缩短 cd伸长 3 梁横截面高度不变 宽度变化 凹入顶部略增大 凸出底部略变小 30 由观察现象作两点假设 1 平面假设 梁横截面弯曲变形后均为平面 仍垂直于轴线 横截面只绕某轴转个角度 2 互不挤压假设 假设梁由很多层纤维组成 变形时各层纤维只受轴向拉伸或压缩 各层纤维互不挤压 31 由假设作如下推论 由观察得知 横截面只相对偏转了一个角度 纵向纤维受到轴向拉伸或压缩 1 纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形 不是剪切变形 2 横截面只有正应力 无剪应力 凹侧受压 有压缩应力 凸侧受拉 存在拉应力 3 中间存在一层既不受拉也不受压的中性层 其上应力为0 注意 中性层含义 32 二 应变与几何尺寸之间关系从受纯弯曲梁取一段dx长 dx微段的两横截面变形后夹角d 中性层曲率半径为 OO1 OO2 O1O2 dx d 中性层变形前后长度不变 变形后c1d1 y d c1d1的应变 33 三 物理关系 虎克定律由假设可得梁弯曲本质是拉伸与压缩hook定律 上式显示 梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成正比 y 0的中性面上应力 为0 上 下边缘正应力最大 34 四 静力学关系寻找正应力 与弯矩M之间关系如图 纯弯曲梁横截面应力分布中性轴两侧一边受拉一边受压可构成力偶 如图在梁横截面上取微面dA 距中性轴距离ydA上内力dFdF dA 35 dF对中性轴之矩dM dM y dAM AdM A ydA M Ay2dA令IZ Ay2dA IZ 横截面对中性轴的轴惯性矩y 为横截面任一点到中性层的距离 EIZ 抗弯刚度 36 此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式 y 横截面上任一点距中性轴距离 曲率与M成正比 M越大 梁弯曲越厉害 曲率与EIZ成反比 37 注意 弯曲正应力 与M成正比 与距离y成反比 最大应力存在于梁边缘处 当截面对称于中性面 最大拉 压应力相等 当中性面与上下边缘距离不等时 要分别计算拉应力与压应力 令 WZ 横截面对中性轴Z的抗弯截面模量 38 五 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出 梁截面只有弯距没有剪力 实际梁受到横向力作用 梁截面既有弯矩又有剪力 横截面存在剪力互不挤压假设不成立 梁发生翘曲 根据精确理论和实验分析 当梁跨度L与横截面高度h之比L h 5时 存在剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近 公式适用范围 梁跨度l与横截面高度h之比l h 5 可使用梁正应力计算公式 39 梁正应力计算公式由矩形截面梁导出 但未使用矩形的几何特性 所以公式适用于有纵向对称面的其它截面梁 如工字钢 槽钢及梯形截面梁等 梁材料必须服从虎克定律 在弹性范围内 且材料的拉伸与压缩弹性模量相同 公式才适用 40 4 5截面的轴惯性矩和抗弯截面模量 1 矩形截面 中性轴与截面形心重合 梁上受载荷如图 h b立放 轴惯性矩IZ 抗弯截面模量WZ IZ y2bdy h 2 h 2 IZ Ay2dAdA b dy 41 Iy y2hdy b 2 b 2 将上图矩形截面梁 如图放置时 平放 Iy Ay2dAdA h dy 对相同的矩形截面梁不同放置方法 会有不同的轴惯性矩和不同的抗弯模量 工程上承受弯曲作用时 要选择I与W大的放法 要立放 42 对中性轴与截面形心不重合如图梯形截面 IZ y2dA y2dA y1 y2 WZ1与WZ2不相等 正应力计算时采用较小抗弯模量进行计算 对中性轴与截面形心不重合的梁 IZ只有一个值 但抗弯模量有两个 在设计与计算时必须注意 A 43 2 圆形及圆环形截面 对实心圆截面对圆截面 通过形心任一轴的惯性矩相等 即Iz Iy y2dA Rsina 2 dAdA 2Rcosa dy y Rsinady Rcosa da A Iz Iy 2 2R4sin2a cos2a da 截面抗弯模量Wz Wy 0 44 对圆环截面令d D Iy Iz Wz Wy 对于口径较大 壁厚较薄管 D d 2SIz Iy 作业 4 1 c g h 2 3 45 4 6弯曲正应力的强度条件 保证梁工作时最大应力在许用应力范围内 即满足强度条件 可能存在最大应力的位置 弯矩最大截面 惯性矩IZ最小截面 46 注 弯矩有正负 计算时以绝对值代入 计算应力 max总为正 是拉应力 许用应力 由实验确定 截面不对称于中性轴时 存在两个抗弯截面模量WZ1 WZ2 计算取较小截面模量代入 材料抗拉 抗压强度不同时 分别求出梁的最大拉 压应力 保证 max拉 max压 拉 压 47 例一 有一阶梯圆柱截面梁 许用应力 200MPa 结构尺寸如图 d1 50mm d2 80mm d3 60mmP1 10kN P2 5kN 48 解 解除约束 求约束反力 N1 1500 P1 750 P2 250 0N1 5 83 kN N2 9 17 kN 画弯矩图分段求各段弯矩方程 MAB 5 83x 0 x 0 75mMCD 9 17x 0 x 0 25m 49 可能的危险截面E F B截面可能成为危险截面 E截面弯矩ME 5 83 0 5 2 92kN mB截面弯矩MB 5 83 0 75 4 37kN mF截面弯矩MF F在B C中点 对B E F截面强度校核对B截面 87MPa 200MPa安全 50 对F截面 157MPa 安全 对E截面 238 9MPa 危险 51 例二 有一梯形截面支承架 结构尺寸如图 截面惯性矩IZ 100cm4 y1 100mm y2 50mm材料许用拉应力 拉 200Mpa材料许用压应力 压 250Mpa试校核该梁强度 52 解 解除约束 求约束反力 N1 5 1 5 2 5 0N1 2 5kNN2 2 5kN 求弯矩 0 x 5 画弯矩图 53 强度校核 max拉 max拉 156MPa 拉 max压 max压 312 5MPa 压 梁不安全 54 4 7梁截面合理形状选择 工程常用的矩形截面梁如图 h b 立放 平放 立放WZ1 平放WZ2上 下表面应力小 安全或可以承受更大载荷 55 4 8梁弯曲变形 一 梁的弹性曲线 挠度和转角如图梁受力 中心轴线变形AB 的曲线为挠曲线 挠度 梁任一截面形心位移量为该截面挠度 用y表示 用f表示最大挠度 y与坐标轴y正方向相同为正 反之为负 56 将梁弯曲形状用曲线方程表示 该方程称为挠曲线方程 位移量y随截面位置变化 y f x 为挠曲线方程 截面转角 梁截面绕自身中性轴转角 表示 逆时针为正 反之为负 由微分学得 很小时 tg 即 f x 57 二 挠曲线的近似微分方程 梁轴上任一点曲率方程 由微分学方程可得 梁变形曲率方程 由于梁是微变形 截面转角很小 dy dx项极小可以忽略 由此简化得到下式 58 称为梁弹性曲线近似方程由于变形量y与弯矩符号始终一样变形微分方程为 59 积分一次可得 积分二次 M x dx C 转角方程 EIy M x dx dx Cx D 梁变形挠度方程例题 如图等截面梁抗弯刚度EI 求挠度方程 60 解 解除约束 求支反力NA NB P 2 AB BC段弯矩方程 AB段挠度方程 由边界条件求未知量C D 61 支座A点x 0 y 0 得D 0 集中力P作用处 挠曲线切线与轴线平行x L 2 转角 0 挠曲线方程 62 三 用叠加法求弯矩图和弯曲变形1 叠加法求弯矩图方法 分别求出每一载荷的弯矩图 然后弯矩图叠加 例一 梁受力如图 画弯矩图 63 解 将梁分