2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.2极大值与极小值学案苏教版.docx

1.3.2极大值与极小值学 习 目 标核 心 素 养1.会求函数的极大值与极小值(重点)2掌握函数极大(小)值与导数的关系(难点)3理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件(易错点)1.通过极大(小)值的学习，培养数学抽象素养2通过求函数的极值及应用，培养数学运算、直观想象素养.1函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值思考1：极大值一定比极小值大吗？提示不一定，函数的极大值、极小值是一个局部概念，由图象易知函数的极大值也可能比极小值小2函数的极值与导数的关系(1)极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x1)减(2)极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x2)增思考2：导数为0的点一定是极值点吗？提示不一定，如f(x)x3，f(0)0, 但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反1已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A由f(x)的图象可知，在xx2附近当x0，函数单调递增，当xx2时，f(x)0，函数单调递减，故点x2是函数的极大值点，同理x3是函数的极小值点，x1，x4不是极值点2函数f(x)的极值点为()A0B1C0或1D1Df(x)x3x2x2(x1)，由f(x)0得x0或x1.又当x1时f(x)0，0x1时f(x)0，1是f(x)的极小值点又x0时f(x)0，故x0不是函数的极值点3函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值C由y3x26x90，得x1或x3，当2x0；当1x2时，y0，故当x1时，y极大值5；x取不到3，无极小值4若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则a_，b_.324由题意知，f(x)3x22axb两零点为2,4，求函数的极值【例1】求下列函数的极值(1)f(x)x22x1；(2)f(x)x36；(3)f(x)|x|.解(1)f(x)2x2，令f(x)0，解得x1.因为当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以函数在x1处有极小值，且y极小值2.(2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2.令f(x)0，解得x10，x21.所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x0时，函数取得极小值，且y极小值6.(3)f(x)|x|显然函数f(x)|x|在x0处不可导，当x0时，f(x)x10，函数f(x)|x|在(0，)内单调递增；当x0时，f(x)(x)10，函数f(x)|x|在(，0)内单调递减故当x0时，函数取得极小值，且y极小值0.1讨论函数的性质要注意定义域优先的原则2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：f(x0)0；点x0两侧f(x)的符号不同(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x0点)，也可能不是极值点(如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f(x)0的根，也可能是不可导点1已知函数f(x)x22ln x，则f(x)的极小值是_1f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，函数有极小值，极小值为f(1)1.利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)x3ax2bxc在x1与x时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值思路探究(1)求导函数f(x)，则由x1和x是f(x)0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(1)求出c，再列表求解解(1)f(x)3x22axb，令f(x)0，由题设知x1与x为f(x)0的解a，b2.(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1.f(x)x3x22x1.f(x)3x2x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的递增区间为和(1，)，递减区间为.当x时，f(x)有极大值为f；当x1时，f(x)有极小值为f(1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)极值的综合应用探究问题1如何画出函数f(x)2x33x236x16的大致图象提示：f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0得x2或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由f(x)0得2x3，函数f(x)的递减区间是(2,3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)2当a变化时，方程2x33x236x 16a有几解？提示：方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a60或a65时， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a有三解【例3】已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围思路探究求出函数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有解得2a2，故实数a的取值范围是(2,2)1(改变条件)本例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解由例题，知函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(改变条件)本例中，若方程f(x)0有且只有一个实根，求实数a的取值范围解由例题可知，要使方程f(x)0有且只有一个实根，只需2a0或2a0，即a2或a2.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便1极值是一个局部概念，因此极大值与极小值没有必然的大小关系2求导数极值仍然遵循定义域优先的原则3因为f(x0)0是函数在xx0处取得极值的必要不充分条件，所以在由极值求参数时要注意检验，以免产生增根4利用极值研究函数零点问题要注意数形结合思想的应用.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)2函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1,2)上函数f(x)为增函数B在(3,4)上函数f(x)为减函数C在(1,3)上函数f(x)有极大值Dx3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点D由题图可知，当1x2时，f(x)0，当2x4时，f(x)0，当4x5时，f(x)0，x2是函数f(x)的极大值点，x4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误3设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点D由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f(x)