高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系知识导航学案苏教版选修.docx

4.1.2 极坐标系自主整理1.在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个_和计算角度的_（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.其中点O称为_，射线OX称为_.答案:长度单位 正方向 极点 极轴2.设M是平面上任一点，表示OM的_，表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的_.那么，有序数对（，）称为点M的极坐标.显然每一个有序实数对(,)决定一个点的位置.其中，称为点M的_，称为点M的_.答案:长度 角 极径 极角3.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x,y）和（，），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：_;_.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取_，_.答案: (x0) 0 02高手笔记1.极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式.极坐标系与平面直角坐标系一样，都是刻画点的位置和运动的参照物，是建立点的集合与坐标的集合的对应关系的桥梁.2.建立极坐标系的要素是:极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离OM，因此0；但必要时，允许0.3.建立极坐标系后，给定和，就可以在平面内惟一确定点M；反过来，给定平面内的任意一点，也可以找到它的极坐标（，）.一般地，极坐标（，）与（，+2k）（kR）表示同一个点.特别地，极点O的坐标为（0，）（R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可以用惟一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是惟一确定的.4.极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；（3）两坐标系中的长度单位相同.由2=x2+y2求时，不取负值；由tan=(x0)确定时，根据点（x,y）所在的象限取最小正角.当x0时，角才能由tan=按上述方法确定.当x=0时，tan没有意义，这时又分为三种情况：（1）当x=0,y=0时，可取任何值；（2）当x=0,y0时，可取=；（3）当x=0,y0时，可取=.5.研究直角坐标与极坐标的关系，可以从定义出发，极坐标M（，）中，是M到极点O的距离，是以极轴OX为始边，射线OM为终边的角，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴为极轴，那么（，）与（x,y）之间的联系可以用三角函数表示：cos=,sin=,tan=,由这两组式子可以方便地在两种坐标之间互化.名师解惑平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的惟一方法，为什么要使用极坐标？剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离（即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想）这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中， 如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置.有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标与却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程.总之，使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的惟一方法.讲练互动【例题1】设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的对称轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.思路分析：如图所示,建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴OX过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：（1）当=时,=30（万千米）;（2）当=时,=30（万千米）;(3)当=时,=30(万千米);(4)当=时,=30(万千米).解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30,),(30,),(30,),(30,).黑色陷阱 彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹角的概念.如果只找到了一个极坐标，这是对三角概念不清，需要我们认真审题.变式训练1.如图，写出极坐标系中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标（0，02）.思路分析：确定各点的极径和极角，并注意给定的范围.解：在极坐标系中，A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标分别是（4，0），（2，），（3，），（1，），（,），（6，），（5，）.【例题2】在极坐标中，若等边ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是( )A.(4,) B.(,)C.(2,) D.(3,)解析：如图，由题设可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.又|AB|=4，ABC为正三角形，|OC|=2，AOC=，C对应的极角=+=或+=，即C点极坐标可能为(,)或(,).答案：B绿色通道 在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的思想方法是一致的数形结合.变式训练2.设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标（限定0，-）.【例题3】把点M的极坐标（2，）化为直角坐标形式.思路分析：利用坐标变换公式.解：由坐标变换公式，得即点M的直角坐标为（-1，）.思路分析：首先建立极坐标系，标出相应的点，通过数形结合求解.解：如图所示，点A关于极轴的对称点为B（2，-），点A关于直线l的对称点为C（2，），点A关于极点O的对称点为D（2，-）.绿色通道 利用坐标变化公式可实现极坐标与直角坐标的互化.变式训练3.把点M的直角坐标（1，-1）化为极坐标形式（限定0，-）.思路分析：由坐标互化公式=,