高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题06三角函数的恒等变形文（含解析）.docx

专题06三角函数的恒等变形一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三【题型方法】（一）三角公式的变形例1. _【答案】2【解析】因为，又，所以，所以.故答案为2练习1_.【答案】【解析】由题=故答案为练习2.计算： _【答案】【解析】由，可得，所以，填。练习3. _【答案】8【解析】注意到可化为.项证明一般结论如下：，由于，故原式.练习4.已知为的最小正周期， ， 且，求的值【答案】【解析】因为为的最小正周期，故因，又故由于，所以（二）正切两弦的互化例2. 若钝角满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，又为钝角，所以，则，解得（正根舍去）.故选：D练习1. 化简的值为_【答案】【解析】原式，故答案为.练习2在下列五个命题中：已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为;已知， ，则；若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立；已知，则的大小为;其中错误的命题有_.（写出所有错误命题的序号）【答案】【解析】由三角形法则，不符。不符。，所以成立，对。=，错。或，所以或，错。填。练习3.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题已知：，所以.（2）由（1）知，所以.（三）角的一致性原则例3. 已知0，cos（+）=-，sin（+）=，则cos（+）=（）ABCD【答案】D【解析】由题意知，所以为第二象限角，所以，因为，所以为第二象限角，所以，则，故选：D练习1. ( )A B C D【答案】A【解析】 ，故选A.练习2.（ ）A B C D【答案】C【解析】，故选C.（四）角的相对性关系设，且，则_【答案】【解析】故tan又=故，则练习1. 已知角满足，若，则的值为_.【答案】【解析】设，即，则由，可得 ，由 求得，再由 ，求得 ，故答案为 .（五）和差倍半的灵活运用例5等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利用数列通项的符号变化确定答案.详解：由，得，即，即，即，即，因为，所以，则，即，又，得；若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则，解得.点睛：在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：若，当时，则当且仅当最大；若，当时，则当且仅当最小；若最大，则.练习1.已知，则_【答案】【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，cos=coscos，sin=sinsin，=1，=1，整理得：2+2(coscos+sinsin)=1,即coscos+sinsin=，cos()= ，02，02=或.同理可得：cos()= ,解得：=或。cos()= ;解得：=或。02，=,=,=. 故的值为.练习2.已知且的值.【答案】【解析】由 练习3.（1）证明：；（2）试结合（1）的结论，求的值.（可能用到的公式：）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将拆成，再用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式，同角的平方关系等，得出结论；（2）用（1）中的公式，再分解因式，求出的值。试题解析：（1） = . （2）由（1）得， 即，所以，解得或（舍去）或（舍去），所以. （六）三角函数与方程例6. 方程的两根为，且，则（ ）ABCD或【答案】B【解析】方程的两根为，且，再结合，故，故又，故选B练习1.函数y= sinx+cosx+2sinxcosx的最大值为_。【答案】【解析】令且，所以 则，所以所以对称轴为 ，因为所以当时取得最大值为练习2.已知圆与函数的图象有唯一交点，且交点的横坐标为，则 ( )A B2 C D3【答案】B【解析】根据题意，圆：与函数的图象有唯一交点，则圆在交点的切线与函数在交点处的切线重合；又由交点的横坐标为，则交点的坐标为，对于，其导数，则有，则有，变形可得，则；故选B（七）三角函数综合例7. 已知，求当时，的值域；若函数在内有且只有一个零点，求a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】由题意：设，则，那么，当时，转化为，当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为故得的值域为；由题意：设，在内，则则，那么转化为，函数在内有且只有一个零点，即在上只有一个零点令，即当时，可得，显然a无解；当时，可得验证：，可得，即在上有两个零点当时，要使在上只有一个零点则即，可得：，故得a的取值范围是练习1. 已知向量，函数（1）当时，求的值域；（2）若对任意，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1） 当时，所以的值域为 （2）令，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，； 当时，恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为练习2.已知函数.（1）求函