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空间向量练习题1. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）证明 因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB.()解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是2. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；（）证明 取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面（）解 设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）解 由（），为平面法向量，点到平面的距离ACDOBEyzx3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离 证明 连结OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则， 异面直线AB与CD所成角的余弦值为解 设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离4.已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以CMSN 6分（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分5. 如图，在三棱柱中，已知学，网，侧面，（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由).（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为. 为直线与底面所成角. ， 即直线与底面所成角正切值为2. （2）当E为中点时
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